2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列的概念及簡單的表示方法訓(xùn)練 理 新人教A版.doc

《2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列的概念及簡單的表示方法訓(xùn)練 理 新人教A版.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列的概念及簡單的表示方法訓(xùn)練 理 新人教A版.doc（95頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列的概念及簡單的表示方法訓(xùn)練 理 新人教A版 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)． 2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)． 　數(shù)列的概念在高考試題中常與其他知識綜合進行考查，主要有： (1)以考查通項公式為主，同時考查Sn與an的關(guān)系，如xx年江西T16等. (2)以遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列的各項的求法，如xx年新課標全國T16等. [歸納知識整合] 1．數(shù)列的定義 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做首項)． 2．數(shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 項數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 項與項間的大小關(guān)系 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 擺動數(shù)列 從第2項起有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項. 3．數(shù)列的表示法 數(shù)列的表示方法有列表法、圖象法、公式法． 4．數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式． [探究]　1.數(shù)列的通項公式唯一嗎？是否每個數(shù)列都有通項公式？ 提示：不唯一，如數(shù)列－1,1，－1,1，…的通項公式可以為an＝(－1)n或an＝有的數(shù)列沒有通項公式． 5．數(shù)列的遞推公式 若一個數(shù)列{an}的首項a1確定，其余各項用an與an－1的關(guān)系式表示(如an＝2an－1＋1，n＞1)，則這個關(guān)系式就稱為數(shù)列的遞推公式． [探究]　2.通項公式和遞推公式有何異同點？ 提示： 不同點 相同點 通項公式法 可根據(jù)某項的序號，直接用代入法求出該項 都可確定一個數(shù)列，都可求出數(shù)列的任何一項 遞推公式法 可根據(jù)第1項或前幾項的值，通過一次或多次賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的項 [自測牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}的前4項分別為2,0,2，0，…，則下列各式不可以作為數(shù)列{an}的通項公式的一項是(　　) A．a(chǎn)n＝1＋(－1)n＋1　　　　　　 B．a(chǎn)n＝2sin C．a(chǎn)n＝1－cos nπ D．a(chǎn)＝ 解析：選B　若an＝2sin，則a1＝2sin＝2，a2＝2sin π＝0，a3＝2sin＝－2，a4＝2sin 2π＝0. 2．已知數(shù)列的通項公式為an＝n2－8n＋15，則3(　　) A．不是數(shù)列{an}中的項 B．只是數(shù)列{an}中的第2項 C．只是數(shù)列{an}中的第6項 D．是數(shù)列{an}中的第2項或第6項 解析：選D　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是數(shù)列{an}中的第2項或第6項． 3．(教材習(xí)題改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：選D　由題意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝. 4．(教材改編題)已知數(shù)列，，2，…，根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，2應(yīng)該是該數(shù)列的第________項． 解析：由于2＝31－1,5＝32－1,8＝33－1，… 故可知該數(shù)列的通項公式為an＝ 由2＝，得n＝7. 答案：7 5．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，則此數(shù)列的通項公式為an＝________；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第________項． 解析：∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11； 當n＝1時，a1＝S1＝－9也滿足an＝2n－11， ∴an＝2n－11. ∴nan＝2n2－11n＝2＝2 ＝22－. 又∵n∈N*，∴當n＝3時，nan取最小值． 答案：2n－11　3 已知數(shù)列的前幾項求通項公式 [例1]　根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式： (1)4,6,8,10，…； (2)，，，，，…； (3)，，－，，－，，…. [自主解答]　(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以通項an＝2(n＋1)(n∈N*)． (2)注意到分母分別是21,22,23,24,25，…，而分子比分母少1， 所以其通項an＝(n∈N*)． (3)分母規(guī)律明顯，而第2,3,4項的絕對值的分子比分母少3，因此可考慮把第1項變?yōu)椋@樣原數(shù)列可化為－，，－，，－，，… 所以其通項an＝(－1)n(n∈N*)． ——————————————————— 用觀察法求數(shù)列的通項公式的技巧 用觀察歸納法求數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是找出各項的共同規(guī)律及項與項數(shù)n的關(guān)系．當項與項之間的關(guān)系不明顯時，可采用適當變形或分解，以凸顯規(guī)律，便于歸納．當各項是分數(shù)時，可分別考慮分子、分母的變化規(guī)律及聯(lián)系，正負相間出現(xiàn)時，可用(－1)n或(－1)n＋1調(diào)節(jié)． 1．寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)： (1)，，，，，…； (2)－1，，－，，－，…； (3)9,99,999,9 999，…. 解：(1)分子是連續(xù)的偶數(shù)，且第1個數(shù)是2，所以用2n表示；分母是22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，所以用(2n)2－1表示．所以an＝＝(n∈N*)． (2)正負交替出現(xiàn)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以用(－1)n表示； 　1，　　， 　　，　　　，　　　，… 　?　　 ?　　　 ? 　　　 ?　　　 ? ， ，　 ，　　，　　，… 分母是連續(xù)奇數(shù)相乘的形式，觀察和項數(shù)n的關(guān)系，用(2n－1)(2n＋1)表示； 分子是21＋1,22＋1,23＋1,24＋1，用2n＋1表示．所以 an＝(－1)n＝(－1)n(n∈N*)． (3)　　9，　　　99，　　　999，　　　9 999，… 　　　? 　　　 ?　　 　 ?　　　 　 ? 101－1，　102－1，　103－1，　　104－1，… 所以an＝10n－1(n∈N*). 由an與Sn的關(guān)系求通項公式 [例2]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n－1，求它的通項公式an. [自主解答]　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝23n－1；當n＝1時，a1＝S1＝2也滿足an＝23n－1. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝23n－1. 若將“Sn＝3n－1”改為“Sn＝n2－n＋1”，如何求解？ 解：∵a1＝S1＝12－1＋1＝1， 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1] ＝2n－2. ∴an＝　　　　 ——————————————————— 已知Sn求an時應(yīng)注意的問題 數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是an＝當n＝1時，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當n＝1時，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示． 2．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和滿足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求數(shù)列{an}的通項公式． 解：由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S1>1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn ＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因為an>0，故an＋1＝－an不成立，舍去． 因此an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3， 從而{an}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故{an}的通項公式為an＝3n－1. 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式 [例3]　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)； (3)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2. [自主解答]　(1)∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3. ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3. 又a1＋1＝2，∴an＋1＝23n－1. ∴an＝23n－1－1. (2)∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得 an＝a1…＝＝. (3)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝(31＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. ——————————————————— 由遞推公式求通項公式的常用方法 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項公式時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解． 當出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn)時，用累乘法求解. 3．(xx大綱全國卷)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3； 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由題設(shè)知a1＝1. 當n>1時有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2， … an－1＝an－2，an＝an－1， 將以上n個等式兩端分別相乘，整理得an＝. 綜上可知，數(shù)列{an}的通項公式an＝. 數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 [例4]　已知數(shù)列{an}． (1)若an＝n2－5n＋4， ①數(shù)列中有多少項是負數(shù)？ ②n為何值時，an有最小值？并求出最小值． (2)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1>an成立．求實數(shù)k的取值范圍． [自主解答]　(1)①由n2－5n＋4<0，解得1an，知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. ——————————————————— 函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用 (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決． (2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用：①作差；②作商；③結(jié)合函數(shù)圖象等方法． 4．若數(shù)列中的最大項是第k項，則k＝________. 解析：法一：由題意知， 解得≤k≤1＋. ∵k∈N*，∴k＝4. 法二：設(shè)an＝n(n＋4)n，則 an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)n＋1－n(n＋4)n ＝n ＝n. 當n≤3時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an， 當n≥4時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an， 故a1＜a2＜a3＜a4，且a4＞a5＞a6＞…. 所以數(shù)列中最大項是第4項． 答案：4 1個關(guān)系——數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 3類問題——數(shù)列通項公式的求法及最大(小)項問題 (1)由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式常用的方法有： ①求出數(shù)列的前幾項，再歸納出數(shù)列的一個通項公式； ②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用疊加法、累乘法、迭代法． (2)由Sn與an的遞推關(guān)系求an的常用思路有： ①利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式； ②轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n的關(guān)系，再求an. (3)數(shù)列{an}的最大(小)項的求法 可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項；利用不等式組找到數(shù)列的最小項. 創(chuàng)新交匯——數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 1．數(shù)列的概念常與函數(shù)、方程、解析幾何、不等式等相結(jié)合命題． 2．正確理解、掌握函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、周期性等)是解決此類問題的關(guān)鍵． [典例]　(xx上海高考)已知f(x)＝.各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，則a20＋a11的值是________． [解析]　∵an＋2＝，又a2 010＝a2 012＝， ∴a＋a2 010＝1. 又an>0，∴a2 010＝. 又a2 010＝＝， ∴a2 008＝，同理可得a2 006＝…＝a20＝. 又a1＝1，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝， a9＝＝，a11＝＝. ∴a20＋a11＝＋＝. [答案]　 1．本題具有以下創(chuàng)新點 (1)數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式，以函數(shù)f(x)＝為載體間接給出； (2)給出的遞推關(guān)系式不是相鄰兩項，即an與an－1(n≥2)之間的關(guān)系，而是給出an與an＋2之間的關(guān)系式，即奇數(shù)項與奇數(shù)項、偶數(shù)項與偶數(shù)項之間的遞推關(guān)系． 2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點 (1)正確求出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式； (2)正確利用遞推公式an＋2＝，分別從首項a1推出a11和從a2 010推出a20. 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為(　　) A.　　　 B.　　　 C．10　　　 D．21 解析：選B　由已知條件可知：當n≥2時， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n－1) ＝n2－n＋33，又n＝1時，a1＝33適合， 故an＝n2－n＋33. 又＝n＋－1， 令f(n)＝n＋－1，f(n)在[1,5]上為減函數(shù)， f(n)在[6，＋∞)上為增函數(shù)，又f(5)＝，f(6)＝， 所以f(5)>f(6)．故f(n)＝的最小值為. 2．已知函數(shù)f(x)＝把函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點按從小到大的順序排成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝n(n－1)(n∈N*) C．a(chǎn)n＝n－1(n∈N*) D．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*) 解析：選C　據(jù)已知函數(shù)關(guān)系式可得f(x)＝此時易知函數(shù)g(x)＝f(x)－x的前幾個零點依次為0,1,2，…，代入驗證只有C符合. 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為. 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，即λ<.由λ<1可得λ<，但反過來，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件． 3．數(shù)列{an}的通項an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是(　　) A．3 B．19 C. D. 解析：選C　因為an＝，運用基本不等式得 ≤，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當n＝9或10時，an＝最大． 4．(xx銀川模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－，記數(shù)列{an}的前n項之積為Tr，則T2 013的值為(　　) A．－ B．－1 C. D．2 解析：選B　由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，從而T2 013＝(－1)671＝－1. 5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足50，即an＋1>an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>… ∴數(shù)列中有最大項，最大項為第9、10項， 即a9＝a10＝. 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n∈N*)均在函數(shù)y＝3x－2的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 解：(1)依題意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5； 當n＝1時，a1＝S1＝312－21＝1＝61－5. 所以an＝6n－5(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝ ＝＝， 故Tn＝i ＝ ＝. 因此，使得<(n∈N*)成立的m必須且僅需滿足≤，即m≥10，故滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 4．(xx浙江高考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求an，bn； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn. 解：(1)由Sn＝2n2＋n，得當n＝1時，a1＝S1＝3； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，易知當n＝1時也滿足通式an＝4n－1， 所以an＝4n－1，n∈N*. 由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)2n－1，n∈N*， 所以Tn＝3＋72＋1122＋…＋(4n－1)2n－1， 2Tn＝32＋722＋…＋(4n－5)2n－1＋(4n－1)2n， 2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*. [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解等差數(shù)列的概念； 2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式； 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題； 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系. 1.以選擇題的形式考查等差數(shù)列的基本量及等差數(shù)列性質(zhì)的簡單應(yīng)用，如xx年遼寧T6，北京T10，江西T12等． 2.以解答題的形式考查等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的判定、通項公式、前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)等，如xx年陜西T17等. [歸納知識整合] 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)． 2．等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.亦可以用數(shù)列中的第m項am與公差d表示為an＝am＋(n－m)d. [探究]　1.已知等差數(shù)列{an}的第m項為am，公差為d，則其第n項an能否用am與d表示？ 提示：能，an＝am＋(n－m)d. 3．等差中項 若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝. 4．等差數(shù)列的前n項和公式 Sn＝na1＋d＝. [探究]　2.等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)運用了什么方法？ 提示：倒序相加法． 3．等差數(shù)列前n項和公式能否看作關(guān)于n的函數(shù)，該函數(shù)是否有最值？ 提示：當d≠0時，Sn是關(guān)于n的且常數(shù)項為0的二次函數(shù)，則(n，Sn)是二次函數(shù)圖象上的一群孤立的點，由此可得：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值． 5．等差數(shù)列的性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和． (1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq， 特別：若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd. (3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． [自測牛刀小試] 1．(xx重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝5，則{an}的前5項和S5＝(　　) A．7　　　 B．15　　　 C．20　　　 D．25 解析：選B　數(shù)列{an}的公差d＝＝2，則a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15. 2．(xx遼寧高考)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝(　　) A．58 B．88 C．143 D．176 解析：選B　因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項和為S11＝＝11a6＝88. 3．(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a5＝15，a7＝15，則a2的值為(　　) A．－3 B．0 C．1 D．2 解析：選B　由題意知，a2＋a7＝a4＋a5，所以a2＝a4＋a5－a7＝0. 4．(教材習(xí)題改編)已知兩個數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且x≠y，則的值為________． 解析：∵a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)， ∴＝. 答案： 5．(教材習(xí)題改編)有兩個等差數(shù)列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：兩個等差數(shù)列的公共項為2,14,26，…即新數(shù)列的首項為2，公差為12. 故an＝2＋(n－1)12＝12n－10. 答案：12n－10 等差數(shù)列的判定與證明 [例1]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求Sn和an. [自主解答]　(1)證明： ∵當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1. 由上式，若Sn－1≠0，則Sn≠0. ∵S1＝a1≠0， 由遞推關(guān)系知Sn≠0(n∈N*)， 由①式得－＝2(n≥2)． ∴是等差數(shù)列，其中首項為＝＝2，公差為2. (2)∵＝＋2(n－1)＝＋2(n－1)， ∴Sn＝. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－， 當n＝1時，a1＝S1＝不適合上式， ∴an＝ 若將條件改為“a1＝2，Sn＝(n≥2)”，如何求解． 解：(1)證明：∵Sn＝， ∴＝＝＋2. ∴－＝2. ∴是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝＋(n－1)2＝2n－， 即Sn＝. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－ ＝； 當n＝1時，a1＝2不適合an， 故an＝　　　　 ——————————————————— 等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)； (2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立； (3)通項公式法：驗證an＝pn＋q； (4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn. 注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷． 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由． 解：(1)證明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝， ∴bn＋1－bn＝－＝－ ＝－＝1. 又b1＝＝－， ∴數(shù)列{bn}是以－為首項，以1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知bn＝n－，則an＝1＋＝1＋， 設(shè)f(x)＝1＋，則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)． 故當n＝3時，an取得最小值－1，當n＝4時，an取得最大值3. 等差數(shù)列基本量的計算 [例2]　(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于(　　) A．－1　　　 B．1　　　 C．3　　　 D．7 (2)(xx廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________. (3)(xx北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________. [自主解答]　(1)兩式相減，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由已知得即 解得 由于等差數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，因此 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (3)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋d＝a1＋2d，把a1＝代入得d＝，所以a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n(n＋1)． [答案]　(1)B　(2)2n－1　(3)1　 ——————————————————— 等差數(shù)列運算問題的通法 等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中，共涉及五個量，知三可求二，如果已知兩個條件，就可以列出方程組求解，體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以． 2．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d(n≥1，n∈N*)． 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3， 解得d＝－2. 從而，an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n. (2)由(1)知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 進而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7為所求結(jié)果. 等差數(shù)列前n項和的最值 [例3]　已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n項和，S10＝S22， (1)求Sn； (2)這個數(shù)列的前多少項和最大，并求出這個最大值． [自主解答]　(1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S22＝a1＋a2＋…＋a22， 又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0， 即＝0，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0. 又a1＝31，∴d＝－2. ∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2. (2)法一：由(1)知，Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256， ∴當n＝16時，Sn有最大值256. 法二：由(1)知， (n∈N*)， 解得≤n≤， ∵n∈N*，∴n＝16時，Sn有最大值256. 若將“a1＝31，S10＝S22”改為“a1＝20，S10＝S15”，則n為何值時，Sn取得最大值？ 解：法一：∵a1＝20，S10＝S15， ∴1020＋d＝1520＋d， 解得d＝－. ∴an＝20＋(n－1)＝－n＋. ∴a13＝0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0. ∴當n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為 S12＝S13＝1220＋＝130. 法二：同法一求得d＝－. ∴Sn＝20n＋＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N*， ∴當n＝12或13時，Sn有最大值， 且最大值為S12＝S13＝130. 法三：同法一得d＝－. 又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當n＝12或13時，Sn有最大值， 且最大值為S12＝S13＝130.　　　　 ——————————————————— 求等差數(shù)列前n項和的最值的方法 (1)運用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解； (2)通項公式法：求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可．一般地，等差數(shù)列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，則 ①若p＋q為偶數(shù)，則當n＝時，Sn最大； ②若p＋q為奇數(shù)，則當n＝或n＝時，Sn最大． 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范圍； (2)指出S1，S2，…，S12中，哪一個最大，并說明理由． 解：(1)設(shè)數(shù)列首項為a1，公差為d，由題意可得， 將a1＝a3－2d＝12－2d代入，得 即－0， ∴a7<0，a6>0.∴前6項和S6最大． 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 [例4]　(1)(xx江門模擬)等差數(shù)列{an}前17項和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．6 C．17 D．51 (2)等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則前9項的和S9等于(　　) A．66 B．99 C．144 D．297 [自主解答]　(1)由于S17＝17＝17a9＝51，所以a9＝3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a5＋a13＝a7＋a11， 所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3. (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9. 所以S9＝＝＝99. [答案]　(1)A　(2)B ——————————————————— 在等差數(shù)列有關(guān)計算問題中，結(jié)合整體思想，靈活應(yīng)用性質(zhì)，可以減少運算量，達到事半功倍的效果. 4．(1)(xx山西四校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，則此數(shù)列前20項的和等于(　　) A．290 B．300 C．580 D．600 (2)(xx江西高考)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________. 解析：(1)選B　依題意得3(a1＋a20)＝90，即a1＋a20＝30，數(shù)列{an}的前20項的和等于＝300. (2)法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋27＝35. 法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5， ∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1) ＝221－7＝35. 答案：35 1個技巧——利用等差數(shù)列的性質(zhì)妙設(shè)項 若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項為a－d，a，a＋d； 若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項為a－d，a＋d，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設(shè)元． 2種選擇——等差數(shù)列前n項和公式的選擇 等差數(shù)列前n項和公式有兩個，如果已知項數(shù)n、首項a1和第n項an，則利用Sn＝，該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用．如果已知項數(shù)n、首項a1和公差d，則利用Sn＝na1＋，在求解等差數(shù)列的基本運算問題時，有時會和通項公式結(jié)合使用． 3個結(jié)論——等差數(shù)列前n項和Sn的幾個結(jié)論 (1)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2n，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd， ＝. (2)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝. (3)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm. 4種方法——等差數(shù)列的判斷方法 ①定義法；②等差中項法；③通項公式法；④前n項和公式法. 數(shù)學(xué)思想——整體思想在數(shù)列中的應(yīng)用 利用整體思想解數(shù)學(xué)問題，就是從全局著眼，由整體入手，把一些彼此獨立但實際上緊密聯(lián)系的量作為一個整體考慮的方法．有不少數(shù)列題，其首項、公差無法確定或計算繁瑣，對這類問題，若從整體考慮，往往可尋得簡捷的解題途徑． [典例]　(xx鹽城模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n(m≠n)則它的前m＋n項的和Sm＋n＝________. [解析]　法一：設(shè){an}的公差為d， 則由Sn＝m，Sm＝n， 得 ②－①得(m－n)a1＋d＝n－m， ∵m≠n，∴a1＋d＝－1. ∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d ＝(m＋n)＝－(m＋n)． 法二：設(shè)Sn＝An2＋Bn(n∈N*)， 則 ③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m. ∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1. ∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)， 即Sm＋n＝－(m＋n)． [答案]　－(m＋n) 1．本題的兩種解法都突出了整體思想，其中法一把a1＋d看成了一個整體，法二把A(m＋n)＋B看成了一個整體，解起來都很方便． 2．整體思想是一種重要的解題方法和技巧，這就要求學(xué)生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征． 3．本題的易錯點是，不能正確運用整體思想的運算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤． 1．等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B?。剑剑剑剑? 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知其前6項和為36，Sn＝324，最后6項的和為180(n>6)，求該數(shù)列的項數(shù)n及a9＋a10. 解：由題意知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36， an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＋an－5＝180， ∴6(a1＋an)＝36＋180＝216. ∴a1＋an＝36. 又Sn＝324，∴＝324， 即n＝＝18. ∴a9＋a10＝a1＋a18＝36. 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，則該數(shù)列的公差是(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．14 C．－4 D．－14 解析：選A　因為a3＋a9＝4a5，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a6＝2a5.所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0.又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4. 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S17＝a，則a2＋a9＋a16等于(　　) A. B. C. D．－ 解析：選C　∵S17＝＝a， ∴17a9＝a，a9＝.∴a2＋a9＋a16＝3a9＝. 3．(xx秦皇島模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選D　依題意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5. 4．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 解析：選B　∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99， ∴3a3＝105,3a4＝99，即a3＝35，a4＝33. ∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n. 令an>0且an＋1<0，n∈N*，則有n＝20. 5．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S1＝1，＝4，則的值為(　　) A. B. C. D．4 解析：選A　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，由＝4得＝3，則S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝. 6．(xx玉溪模擬)數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：選B　因為{bn}是等差數(shù)列，且b3＝－2，b10＝12， 故公差d＝＝2.于是b1＝－6， 且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8. 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．等差數(shù)列{an}中a1＝1，前n項和Sn滿足＝4，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________. 解析：設(shè)公差為d，則由＝4得＝4. 又∵a1＝1，∴d＝2. ∴Sn＝na1＋＝n＋n(n－1)＝n2. 答案：n2 8．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0，若n>1且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，則n等于________． 解析：∵2an＝an－1＋an＋1， 又an－1＋an＋1－a＝0， ∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0. ∵an≠0，∴an＝2. ∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10. 答案：10 9．(xx南京模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若(a2－1)3＋2 012(a2－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 012(a2 011－1)＝－1，則下列四個命題中真命題的序號為________． ①S2 011＝2 011；②S2 012＝2 012；③a2 0110，f(1)＝2 013>1知f(1)>f(a2－1)，故a2－1<1即a2<2又f(a2－1)＝－f(a2 011－1)＝1，故a2 011a1＋a2＝S2，又假設(shè)S2 011＝2 011，則a1＝1，a2 011＝1矛盾． 綜上，正確的為②③. 答案：②③ 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍． 解：(1)由題意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8， 所以解得a1＝7. 所以S6＝－3，a1＝7. (2)因為S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤－2或d≥2. 11．已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，前n項和為Sn，a2a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)由題設(shè)，知{an}是等差數(shù)列，且公差d>0，則由得解得 故an＝4n－3(n∈N*)． (2)由bn＝＝＝. ∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列． 即存在一個非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列． 12．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn滿足關(guān)系式2Sn＝Sn－1－n－1＋2(n≥2，n為正整數(shù))，a1＝. (1)令bn＝2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)在(1)的條件下，求Sn的取值范圍． 解：(1)由2Sn＝Sn－1－n－1＋2，得2Sn＋1＝Sn－n＋2，兩式相減得2an＋1＝an＋n， 上式兩邊同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故數(shù)列{bn}是等差數(shù)列， 且公差為1.又因為b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)1＝n.因此2nan＝n，從而an＝nn. (2)由于2Sn＝Sn－1－n－1＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－n－1，即Sn＋an＝2－n－1. Sn＝2－n－1－an，而an＝nn，所以Sn＝2－n－1－nn＝2－(n＋2)n. 所以Sn＋1＝2－(n＋3)n＋1，且Sn＋1－Sn＝＞0.所以Sn≥S1＝，又因為在Sn＝2－(n＋2)n中，(n＋2)n＞0，故Sn＜2， 即Sn的取值范圍是. 1．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q為常數(shù))． (1)當p和q滿足什么條件時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？ (2)求證：對任意實數(shù)p和q，數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列． 解：(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差數(shù)列，則2pn＋p＋q應(yīng)是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以2p＝0，即p＝0. 故當p＝0時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列． (2)證明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q， ∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1