高中數學 第三章 三角函數 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣課件 湘教版必修2

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1、第3章3.1弧度制與任意角3.1.1角的概念的推廣 學習目標 1.掌握正角、負角和零角的概念,理解任意角的意義.2.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念,會用集合符號表示這些角1 預習導學 挑戰(zhàn)自我，點點落實2 課堂講義 重點難點，個個擊破3 當堂檢測 當堂訓練，體驗成功1手表慢了5分鐘,如何校準？手表快了半小時,又如何校準？答可將分針順時針方向旋轉30；可將時針逆時針方向旋轉180.2在初中角是如何定義的？答定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角定義2：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角3初中所學角的范圍是什么？答角的范圍是0,360 知識鏈接 1角的

2、概念(1)角的定義：角可以看成平面內 繞著 從一個位置 到另一個位置所成的圖形(2)角的表示方法：常用大寫字母 等表示；也可以用希臘字母 , , 等表示；特別是當角作為變量時,常用字母 表示 預習導引 一條射線端點旋轉A,B,C x(3)角的分類：一條射線繞著端點以 的旋轉為正向,所成的角稱為 ,用 來表示； 旋轉所成的角稱為 ,用負的角度來表示；不旋轉所成的角稱為 ,用 表示逆時針方向正角正的角度順時針方向負角零角02象限角角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是 .如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限3終邊相

3、同的角設AOB,則所有以OA為始邊,OB為終邊的角都是與_的和,組成集合 ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與 的和.第幾象限角整數個周角整數個周角S|k360,kZ例1在下列說法中：090的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；鈍角都是第二象限角；小于90的角都是銳角.其中錯誤說法的序號為_要點一任意角概念的辨析解析090的角是指090,0角不屬于任何象限,所以不正確.120是第二象限角,390是第一象限角,顯然390120,所以不正確.鈍角的范圍是90180,顯然是第二象限角,所以正確.銳角的范圍是090,小于90的角也可以是零角或負角,所以不正確.答案規(guī)律方法判斷說法錯誤,只需

4、舉一個反例即可.解決本題關鍵在于正確理解各類角的定義.隨著角的概念的推廣,對角的認識不能再停留在初中階段,否則判斷容易錯誤.跟蹤演練1設A小于90的角,B銳角,C第一象限角,D小于90而不小于0的角,那么有()A.B C A B.B A CC.D (AC) D.CDB解析銳角、090的角、小于90的角及第一象限角的范圍,如下表所示.角集合表示銳角B|090090的角D|090小于90的角A|90第一象限角C|k360k36090,kZ答案D要點二象限角的判定例2在0360范圍內,找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因為150

5、360210,所以在0360范圍內,與150角終邊相同的角是210角,它是第三象限角.(2)因為650360290,所以在0360范圍內,與650角終邊相同的角是290角,它是第四象限角.(3)因為95015336012945,所以在0360范圍內,與95015角終邊相同的角是12945角,它是第二象限角.規(guī)律方法本題要求在0360范圍內,找出與已知角終邊相同的角,并判斷其為第幾象限角,這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數的值打基礎.跟蹤演練2給出下列四個說法：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315是第一象限角,其中正確的有()A.1個 B.2個

6、C.3個 D.4個解析對于：如圖1所示,75角是第四象限角；對于：如圖2所示,225角是第三象限角；對于：如圖3所示,475角是第二象限角；對于：如圖4所示,315角是第一象限角.答案D要點三終邊相同的角的應用例3在與角10 030終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360720的角.解(1)與10 030終邊相同的角的一般形式為k36010 030(kZ),由360k36010 0300,得10 390k36010 030,解得k28,故所求的最大負角為50.(2)由0k36010 030360,得10 030k3609 670,解得k27,故所求的

7、最小正角為310.(3)由360k36010 030720,得9 670k3609 310,解得k26,故所求的角為670.規(guī)律方法求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構建不等式求出k的值.跟蹤演練3寫出與1 910終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式720360的元素寫出來.解由終邊相同的角的表示知與角1 910終邊相同的角的集合為：|k3601 910,kZ.720360,即720k3601 910360(kZ),k4時,43601 910470；k5時,53601 910110；k6時,63601 910250.要點四區(qū)域角的表

8、示例4 寫出終邊落在陰影部分的角的集合.解設終邊落在陰影部分的角為,角的集合由兩部分組成.|k36030k360105,kZ.|k360210k360285,kZ.角的集合應當是集合與的并集：|k36030k360105,kZ|k360210k360285,kZ|2k180302k180105,kZ|(2k1)18030(2k1)180105,kZ|2k180302k180105,或(2k1)18030 (2k1)180105,kZ|n18030n180105,nZ.規(guī)律方法解答此類題目應先在0360上寫出角的集合,再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合,如果集合能化簡的還要化成最簡.本

9、題還要注意實線邊界與虛線邊界的差異.跟蹤演練4已知集合A|k18030k18090,kZ,集合B|k36045k36045,kZ.求：(1)AB；(2)AB.解 在直角坐標系中,分別畫出集合A,B所包含的區(qū)域,結合圖形可知,AB|30k36045k360,kZ,AB|k36045k36090或k360210k360270,kZ.1.361的終邊落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D2.集合A|k9036,kZ,B|180180,則AB等于()A.36,54 B.126,144C.126,36,54,144 D.126,54解析令180k9036180,則144k9021

10、6,當k1,0,1,2時,不等式均成立,所對應的角分別為126,36,54,144,故選C.C3.若角滿足180360,角5與有相同的始邊,且又有相同的終邊,那么角_.解析由于5與的始邊和終邊相同,所以這兩角的差應是360的整數倍,即54k360.又180360,令k3,得270.2704.寫出終邊落在坐標軸上的角的集合S.解終邊落在x軸上的角的集合：S1|k180,kZ；終邊落在y軸上的角的集合：S2|k18090,kZ；終邊落在坐標軸上的角的集合：SS1S2|k180,kZ|k18090,kZ|2k90,kZ|(2k1)90,kZ|n90,nZ.1.對角的理解,初中階段是以“靜止”的眼光看,高中階段應用“運動”的觀點下定義,理解這一概念時,要注意“旋轉方向”決定角的“正負”,“旋轉量”決定角的“絕對值大小”.2.關于終邊相同角的認識一般地,若角始邊與x軸非負半軸重合,則所有與角終邊相同的角,連同角在內,可構成一個集合S|k360,kZ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數個周角的和.課堂小結注意：(1)為任意角；(2)k360與之間是“”號,k360可理解為k360()；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數多個,它們相差360的整數倍；(4)kZ這一條件不能少.