2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 (II).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 (II) 考試說明： 1.考試時間為120分鐘，滿分150分，選擇題涂卡。 2.考試完畢交答題卡。 一、選擇題（本題包括12個小題，每小題只有一個正確選項(xiàng)，每小題5分，共60分） 1．命題“若則”的逆否命題是（ ） A． 若則 B． 若則 C． 若則 D． 若則 2．進(jìn)制數(shù)，則可能是( ) A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 3．如圖所示的程序框圖的運(yùn)行結(jié)果是（ ） A． 2 B． 2.5 C． 3.5 D． 4 4．下列說法正確的是( ) A． 甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽5場，甲勝3場 B． 某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈 C． 天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90% D． 隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等 5．已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另一個焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（ ） A．16 B． C．12 D． 8 6．從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為（ ） A． B． C． D． 7．設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ） A． 1或5 B． 6 C． 7 D． 9 8．，兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中的成績統(tǒng)計如下面的莖葉圖所示，若，兩人的平均成績分別是，，觀察莖葉圖，下列結(jié)論正確的是（ ） A．，B比A成績穩(wěn)定 B．，B比A成績穩(wěn)定 C．，A比B成績穩(wěn)定D．，A比B成績穩(wěn)定 9．如圖，在中，，、邊上的高分別為、，則以，為焦點(diǎn)，且過、的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為（ ） A． B． 1 C． D． 2 10．如圖所示是一個長方形，其內(nèi)部陰影部分為兩個半圓，在此長方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ） A． B． C． D． 11．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動時，使取得最小值的的坐標(biāo)為（） A． B． C． D． 12．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則橢圓的離心率為（） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空題（本題包括4個小題，每小題5分，共20分） 13．為了了解2100名學(xué)生早晨到校時間，計劃采用系統(tǒng)抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則分段間隔為__________． 14．命題“”為假命題，是“”的____________條件． 15．已知命題：關(guān)于的方程有實(shí)根；命題：．若“”是真命題，“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 16．已知橢圓：，，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個動點(diǎn)，則的范圍為____________． 三、解答題（本題包括6個小題，17題10分，18--22每題12分，共70分） 17．（1）求焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為12，離心率為 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 18．近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國．某選拔賽后，隨機(jī)抽取100名選手的成績，按成績由低到高依次分為第1，2，3，4，5組，制成頻率分布直方圖如下圖所示： （1）在第3、4、5組中用分層抽樣抽取5名選手，求第3、4、5組每組各抽取多少名選手； （2）在（1）的前提下，在5名選手中隨機(jī)抽取2名選手，求第4組至少有一名選手被抽取的概率． 19．（本小題滿分12分） 已知是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列． （1）求的值； （2）設(shè)是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，求使成立的最大的的值． 20．某地區(qū)xx年至xx農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表： 年份 xx xx xx xx xx xx xx 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）若關(guān)于的線性回歸方程為，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求出實(shí)數(shù)并預(yù)測xx該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入； （2）在xx年至xx中隨機(jī)選取兩年，求這兩年人均純收入高于3.6千元的概率． 21．如圖，在四棱柱中，平面底面，且． （1）求證： 平面； （2）求證：平面平面． 22．已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形，且橢圓的短軸長為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． 汽開區(qū)六中高二年級xx~xx上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）參考答案 1．B 【解析】本題主要考查命題及其關(guān)系。逆否命題是將原命題的條件與結(jié)論否定，然后再將否定后的條件和結(jié)論互換，故命題“若則”的逆否命題是“若，則”。故選 2．D 【解析】因?yàn)閗進(jìn)制數(shù)3651(k)中出現(xiàn)的最大數(shù)字為6， 可得：k>6， 故選：D. 3．B 【解析】，故選B。 4．C 【解析】 【分析】 概率表示事件發(fā)生的可能性的大小，具有隨機(jī)性，頻率代表實(shí)驗(yàn)中事件實(shí)際發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)之比，為實(shí)際值，由此判斷即可. 【詳解】 A選項(xiàng)，此概率只說明發(fā)生的可能性大小，具有隨機(jī)性，并非一定是5場勝3場； B選項(xiàng)，此治愈率只說明發(fā)生的可能性大小，具有隨機(jī)性，并非10人一定有人治愈； C選項(xiàng)，概率為90%，即可能性為90%. D選項(xiàng)，試驗(yàn)的頻率可以估計概率，并不等于概率； 故選C. 【點(diǎn)睛】 本題考查概率的特點(diǎn)以及概率與頻率之間的關(guān)系，由概率的隨機(jī)性即可判斷. 5．A 【解析】 △ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓上， 頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另一個焦點(diǎn)在BC上， 由橢圓的定義可得：△ABC的周長是4a=44=16． 故答案為：A。 6．B 【解析】從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，共有共6個基本事件，其中這兩個數(shù)字之積小于5的有共3個基本事件，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為；故選B. 7．C 【解析】 【分析】 由雙曲線的方程，漸近線的方程求出，由雙曲線的定義求出 【詳解】 由雙曲線的方程，漸近線的方程可得：，解得 由雙曲線的定義可得： 解得 故選 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行計算求出結(jié)果，較為簡單，屬于基礎(chǔ)題 8．A 【解析】 【分析】 根據(jù)莖葉圖看出和的五次成績離散程度，計算出和的平均數(shù)，比較大小即可 【詳解】 的成績?yōu)?，的平均?shù)為 的成績?yōu)榈钠骄鶖?shù)為 從莖葉圖上看出的數(shù)據(jù)比的數(shù)據(jù)集中，比成績穩(wěn)定 故選 【點(diǎn)睛】 本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，考查了平均數(shù)的求法，解題時應(yīng)該觀察莖葉圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)解答問題，屬于基礎(chǔ)題。 9．A 【解析】 若是橢圓，則， ，， ，而橢圓的離心率 ，若是雙曲線，則，，所以，故選A. 10．C 【解析】 故選C 11．D 【解析】 【分析】 已知拋物線y2=4x，畫出拋物線圖象，以及焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，與拋物線交于點(diǎn)M，即為所求點(diǎn). 【詳解】 如圖，已知y2=4x，可知焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線：x= -1， 過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，與拋物線交于點(diǎn)M，作根據(jù)拋物線的定義，可知|BM|=|MF| |MF|+|MA|=|MB|+|MA|取最小值， 已知A（3,2），可知M的縱坐標(biāo)為2，代入y2=4x中，得M的橫坐標(biāo)為1， 即M(1，2).故選：D 【點(diǎn)睛】 拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，可以轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，與已知定點(diǎn)，構(gòu)造出“一條直線”，根據(jù)“點(diǎn)到直線垂線段最短”求解. 12．A 【解析】以為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，由知此平行四邊形的對角線垂直，即此平行四邊形為菱形，∴，∴是直角三角形，即，設(shè)，則，∴，故選A． 13． 【解析】 【分析】 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征，求出分段間隔即可. 【詳解】 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征，得： 從2100名學(xué)生中抽取100個學(xué)生，分段間隔為， 故答案是21. 【點(diǎn)睛】 該題所考查的是有關(guān)系統(tǒng)抽樣的組距問題，應(yīng)用總體除以樣本容量等于組距，得到結(jié)果，屬于簡單題目. 14．充要 【解析】∵命題“”為假命題，∴命題“”為真命題，則判別式，即，解得，則命題“”為假命題，是“”的充要條件，故答案為充要. 15． 【解析】當(dāng)命題為真時，有，解得或． ∵“”是假命題， ∴是真命題． 又“”是假命題， ∴一個為真命題，一個為假命題． ①當(dāng) 則，解得； ②當(dāng)， 則，解得． 綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是． 答案： 16． 【解析】 由題意，得的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則，；故填. 【技巧點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；本題的難點(diǎn)在于如何設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，常用三角函數(shù)代換設(shè)法降低了困難. 17．（1）；（2）. 【解析】試題分析：（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)出拋物線方程，利用經(jīng)過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程． 試題解析： （１）解：焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為=1．由題意，得　解得，．∴．所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的方程為． （2）解：由于點(diǎn)P在第三象限，所以拋物線方程可設(shè)為： 或 在第一種情形下，求得拋物線方程為： ；在第二種情形下，求得拋物線方程為： 18．（1）2人、2人、1人；（2）. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可以求出3、4、5組的頻數(shù)分別為20、20、10，根據(jù)分層抽樣的原則：比例相同，可以得到抽取的人數(shù)：3組2人；4組2人；5組1人；（2）根據(jù)古典概型分別列舉出從五位選手中抽取兩位選手的總事件有10種，其中第4組至少有一名選手的事件有7，故概率為. 試題解析：（1）由頻率分布直方圖易知第3組的頻率為，從而第3組的頻數(shù)為，同理可得第4、5組的頻數(shù)分別為20、10，所以第3、4、5組共有50名選手. 利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手，每組抽取的人數(shù)分別為： 第3組： 人，第4組： 人，第5組： 人， 所以第3、4、5組分別抽取2人、2人、1人. （2）設(shè)第3組的2位選手為， ，第4組的2位選手為， ，第5組的1位選手為，則從這五位選手中抽取兩位選手有， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10種.其中第4組的2位選手， 中至少有一位選手入選的有： ， ， ， ， ， ， ，共有7種，所以第4組至少有一名選手的概率為. 19．解：（1）由成等差數(shù)列知，即，所以 所以或而，所以． （2）由已知得，所以，可得，所以滿足條件的． 20．（1）6.3（千元）;（2）. 【解析】分析:（1）根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn),求出b的值，再利用回歸方程預(yù)測xx該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入. （2）利用古典概型的概率公式求這兩年人均純收入高于3.6千元的概率. 詳解：（Ⅰ）由題，， ， 代入得， 當(dāng)時，（千元） （Ⅱ）記： 即， 記事件“這兩年人均純收入都高于千元”，則 ，即 則. 點(diǎn)睛：回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，這是回歸分析里的一個重要考點(diǎn)，在解題時注意運(yùn)用. 21．（1）見解析;（2）見解析. 【解析】（1）立體幾何中線面平行的證明，可根據(jù)線面平行的判定定理來進(jìn)行證明，只需證明直線與該平面內(nèi)的某一直線平行即可，一般常用的方法是平行四邊形對邊平行的性質(zhì)或者是三角形中位線與底邊平行的性質(zhì)；（2）可根據(jù)面面垂直的判定定理來進(jìn)行證明，一般思路是“面面垂直線面垂直線線垂直”的過程. 試題解析：（1）在四棱柱中， . 因?yàn)槠矫妫?平面， 所以平面. （2）因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面?底面， 且由知， 所以平面. 又， 故平面. 而平面， 所以平面平面. 22．(1) ；(2)答案見解析. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何意義， 得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓，得到二次方程，向量坐標(biāo)化得到，進(jìn)而求得參數(shù)值。 解析： （1）由題意得： ，解得 ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時， ， ，不符合題意 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為， ， 由消整理得： ，解得或 ， ∴ ∵ ∴ 解得，滿足 所以存在符合題意的直線，其方程為 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．