高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第11單元第67講 二項(xiàng)式定理 湘教版

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1、121.掌握二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式，并會(huì)利用二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式解決有關(guān)多項(xiàng)式化簡和展開式的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)相關(guān)的問題.2.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，會(huì)求展開式的系數(shù)和，能利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算、證明整除問題，證明不等式等綜合問題.323414 16 14 11 Pxxxx 化簡1. 得4444A 1 B. 2 C D 3xxxxB解析44112.BPxx 逆用二項(xiàng)式定理可得，故選423301232 222 2. xxaaxaxaxaR對(duì)任意，恒有，則 的值為 A 3 B.6C 9 D 12B解析3322223 23323 223222C22BC26.xxaxTxa 由于，為其展開式中含項(xiàng)的

2、系數(shù)，又，故，故選易錯(cuò)點(diǎn)3322xx誤將 轉(zhuǎn)化為而計(jì)算錯(cuò)誤5 28 3. nab 二項(xiàng)式的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)為 ， 則它的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 A 24 B 18C 16 D 6D解析11126C2C 28DC24C6.rrn rrrn rrrnnnTababn 通項(xiàng)，可知，解得，故第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選易錯(cuò)點(diǎn)11rr 展開式中第項(xiàng)的系數(shù)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)概念混淆64 ()256_4. nxx 已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則展開 式中含 的項(xiàng)是第項(xiàng)解析88 2188425628.1C)C.82423nrrrrrrnTxxrxrx 由已知，求得從而由令，得，故含 的項(xiàng)為第 項(xiàng)3易錯(cuò)點(diǎn)C“

3、C ”rnrnrr 于通項(xiàng)公式中項(xiàng)數(shù)與組合數(shù)中 的關(guān)系記憶錯(cuò)誤，而誤認(rèn)為對(duì)應(yīng)第 項(xiàng)7422601260126121_5. _ .xxaa xa xa xaaaa設(shè)多項(xiàng)式， 則，1161解析02401264126 ()0.111 (2 1 1) = 211613162.xxaaaaaaaa 賦值法 令得令得，故81.二項(xiàng)式定理(a+b)n= . .這個(gè)公式所表示的定理叫做 ,右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的 .特別地,(1x)n= .2.展開式的特點(diǎn)(1)共有 項(xiàng). an+ an-1b1+ an-2b2+ an-rbr+ bn(nN*)0nC1nC2nCrnCnnC二項(xiàng)式定理展開式1 x+ x2+

4、(1)n xn1nC2nCnnCn+19(2)各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù) ,即a與b的指數(shù)和為n.(3)字母a按 排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由 逐項(xiàng)減1直到 ,字母b按 排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由 逐項(xiàng)增1直到 .(4)二項(xiàng)式的系數(shù)依次為 , , , .3.二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)二項(xiàng)式展開式的第r+1項(xiàng)是Tr+1= .n降冪n零升冪11零12n0nC1nC1nnCnnC13 an-rbrrnC104.二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即 ,而展開式的第r+1項(xiàng)系數(shù)是該項(xiàng)的 (含項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào))，是兩個(gè)不同的概念.5.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)二項(xiàng)式系數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律和等量關(guān)系.在二項(xiàng)展開式中

5、,與首末兩端 “ ”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即 .14rnC15常數(shù)部分等距離1617rn rnnCC11(2)二項(xiàng)式系數(shù)的大小規(guī)律.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)即 的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù);中間兩項(xiàng)即 與 的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和 .當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), + + = .當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), + + + = .1812nT1912nT20112nT210122nnnnnnCCCC0nC2nC4nCnnC22135112nnnnnnCCCC0nC2nC4nC1nnC2313512nnnnnnCCCC12題型一 二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例1 2 11()314 3_

6、_ _23nxx 已知的展開式的第五項(xiàng)和第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為 ，則：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；展開式中有項(xiàng)有理項(xiàng)13解析 42102510 5561021021101211431232 114432 11323872810.1()6312815281C()().272527311C()32( ) C32nnrrrrrCCn nnnn nnnnnxxTxxxTxxx 依題設(shè)， 即， 化簡得，因此，故的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 項(xiàng)， 且，故填由5520.5502.2rrxrr 令，得14 2231055-21101( ) C5.312( ) C.35 50,2,4,

7、6,8,10.2 6.356rrrrTTxrrZ 故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故填由由，則因此可知展開式中的有理項(xiàng)共有 項(xiàng)，故填評(píng)析()“” 涉及二項(xiàng)式展開式的系數(shù)、次數(shù)、項(xiàng)的性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等 ，則應(yīng)用 通項(xiàng)公式 151220(1x )9135naaxxxa 設(shè) ，若展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)等于含 的項(xiàng)的系數(shù)的 倍，且展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)為，求 的值素材1解析1622232323300.155270()69.3033nnnnnan nna 所以，化簡得解得舍去 或，所以17題型二 可化為二項(xiàng)式問題及解法 例2 263531 1().(12) (1)_(2010)(_ 122010)_xxxxxx

8、x的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_遼寧卷全國_的展開式中 的為卷系數(shù) 66 2163446561()C13C204C152 0155 . .51rrrrxTxxrTrT 的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此常數(shù)項(xiàng)為故填解析18 3r5323m35m35r335300032203535(12)C 2(1)C1.(12) (1)C 2 C1.1.230203,05,30C 2 C2CC. 2121rrmmrmxxxxxxxrmrrrmmmx的展開式的通項(xiàng)為，的展 開式的通項(xiàng)為 設(shè)的展開式中 的系數(shù)為 令 因?yàn)椋曰?故展開式中 的系數(shù)為評(píng)析“” 有關(guān)非 標(biāo)準(zhǔn) 二項(xiàng)式問題，通項(xiàng)是依據(jù)題設(shè)所給式的結(jié)構(gòu)特征轉(zhuǎn)化為

9、二項(xiàng)式，并利用二項(xiàng)式定理的基本知識(shí)分析求解190nC0n1n1nC2nC2nnnCnn 設(shè)f(x)是定義在R上的一個(gè)給定的函數(shù),函數(shù)g(x)= f( )x0(1-x)n+ f( )x(1-x)n-1 + f( )x2(1-x)n-2+ f( )xn(1-x)0(x0,1). (1)當(dāng)f(x)=1時(shí)，求g(x); (2)當(dāng)f(x)=x時(shí)，求g(x).素材2200nC1nCnnC0n1nnn0nC1nCnnCknCnn11knC01nC11nC11nnC01nC11nC11nnC (1)當(dāng)f(x)=1時(shí),g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+ xn=(1-x)+xn=1.(2)當(dāng)f(x)

10、=x時(shí)，g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+ xn.因?yàn)?= ,所以g(x)= x(1-x)n-1+ x2(1-x)n-2+ xn=x (1-x)n-1+ x(1-x)n-2+ xn-1=x(1-x)+xn-1=x.解析21題型三 展開式系數(shù)和問題及求法 例3 201122011012201120111222011 12()222 1xaa xa xaxaaa若，則的值為 A 2 B 0C1 D2 22212012212220242135212()2()()_2.nnnnnnnxaa xa xaxa xaaaaaaaa設(shè)，則22解析 201120111202201120111202

11、20112011120022011201220123212121(12)22220.222011.22221(1) .221 12(1)2Cnnnnnxaaaaaaaaaaaxaaxaaaxaaaaaa 依題設(shè)，令， 得， 則 令，得，故，故選令，得 令，得，23220221321022132102213210122120123212222()() ()( ) ()()22 (1)(1)2211 ().2414nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 則故填評(píng)析“”“”“”“” 有關(guān)二項(xiàng)式展開式的 系數(shù)和 問題，通常是應(yīng)用賦值法 求解，同時(shí)，賦值

12、時(shí)一定要分析 已知與待求式的特征，恰當(dāng) 取值 化歸24素材3525012521xaa xa xa x設(shè)，求： 01234012345.12aaaaaaaaaaa；解析 525012501234550123455501234012345012345211113243.231312432132.2 1.f xxaa xa xa xfaaaaaafaaaaaaaaaaaafaaaaaaaaaaaaf 設(shè)，則，因?yàn)?，所?51n1n1nC1n2nC21nnnC1nn1nC1n1n2(1)2!n nn3(1)(2)3!n nnn(1)(2)2 1!nn nnn n 12!13!1!n12212112n1

13、12n111(1)22112n若nN且n1,求證:2(1+ )n3. (1+ )n=1+ + + 1+ =2.又(1+ )n=2+ + +2+ + + 2+ + +=2+ =3- 3,故原不等式成立.證明261.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用常見的問題有：求展開式的某一項(xiàng)或適合某種條件的項(xiàng)；求展開式各項(xiàng)系數(shù)的和；取二項(xiàng)展開式的前幾項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算；證明組合數(shù)等式；整數(shù)與整式的整除問題;證明不等式.因此必須牢固掌握二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與特征、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等基本理論.272.關(guān)注二項(xiàng)式定理問題“四大熱點(diǎn)、六條規(guī)律”.(1)四大熱點(diǎn)是：通項(xiàng)運(yùn)用型；系數(shù)配對(duì)型；系數(shù)和差型；綜合應(yīng)用型.(2)六條規(guī)律是：常規(guī)問題通項(xiàng)分析法；系數(shù)配對(duì)型問題分配法；系數(shù)和差型問題賦值法；近似問題截項(xiàng)法；整除（或余數(shù)）問題展開法；最值問題不等式法.28錯(cuò)解92792181911 92.S所以 被 除余29錯(cuò)解分析 90,82S由 于被除 所 得 余 數(shù) 應(yīng) 是 屬 于的整 數(shù) ， 可 知 余 數(shù) 為的 判 定 是 錯(cuò) 誤 的 正解977.S所以 被 除余 應(yīng)填