高考數學一輪復習精講課件 第10單元第60講 雙曲線 湘教版

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1、了解雙曲線的定義、掌握雙曲線的幾何圖形和標準方程，理解它的簡單幾何性質2221 2 42 3 3.cabc由已知得，所以，故焦距為解析：22=1 102A 3 2 B 4 2C 3 3 1. D 4 3xy雙曲線的焦距為2222222224,04,0 A.1 2 B.1412124C.1 D.11060.61xyxyxyxy已知雙曲線的離心率為 ，焦點是，則雙曲線方程為2224421.112.224xycceaaab由已知有，所以，所以雙曲線的方程為解析： 2212287 A 28 B 148 2 C 148 2 3 .D 8 2xyFPQPQFPF Q過雙曲線的左焦點 有一條弦在左支上，若，

2、是雙曲線的右焦點，則的周長是21212211121224 2 148 24 2|8 2.778 2PFPFQFQFPFQFPFQFPFQFPQPFQFPF Q由雙曲線的定義知解析：所以的周長為，所以，又，所以，222210422 .1552xyyxabcabcea 由，得，即為漸近線的方程又，所以，所以解析：2214 4. .xye已知雙曲線，則其漸近線方程是，離心率221255(3 2 2) .5.xyCC若雙曲線 的焦點和橢圓的焦點相同，且過點，則雙曲線的方程是22222222222 255202012(3 2)1.211288cxCababaxyb由已知，且焦點在 軸上，設雙曲線 的方程

3、為求得，故所求雙曲線解方程為 的析：12122 (_)| 2 ._1FFaMMFMFa平面內到兩定點 、 的距離之差的絕對值為常數且的點的軌跡叫雙曲線，對該曲線上任一點，有在定義中，當雙曲線時表示兩條射線，當時，不表示任的定義何圖形 12222222221231 (1_,0,02_(0)(0)1_2000,00)0 xFcFcycaxyababFcFcybxyR焦點在 軸上的雙曲線：，其中，焦點坐標為，；焦點在 軸上的雙曲線：，其中，焦點坐標為， 范圍：，；對稱性：對稱雙曲線的標準方程雙曲線 ， 的幾何性質軸，對稱中心； 123,0,0_4(1)AaAacea一般規(guī)律：雙曲線有兩條對稱軸，它們

4、分別是兩焦點連線及兩焦點連線段的中垂線頂點：，；實軸長，虛軸長；一般規(guī)律：雙曲線都有兩個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點離心率，雙曲線的離心率在 ，內，離心率確定了雙曲線的形狀 2222222251_1_.10 xyabxyabbabc漸近線：雙曲線的兩條漸近線方程為；雙曲線的兩條漸近線方程為雙曲線有兩條漸近線，它們的交點就是雙曲線的中心；焦點到漸近線的距離等于虛半軸長 ；有公共漸近線的兩條雙曲線可能是： 共軛雙曲線； 放大的雙曲線；共軛放大或放大后共軛的雙曲線已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中的“”為“ ”就得到兩條漸2222222201xyxyaba

5、b近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程12122212222222222121202221(00)1(00)22 aFFaFFxyaFFababyxcabababxaA AaB Bbbayxyxab ； ， ； ， ；【要點指南】； 22 14210()A 6 B 14 C 614 D.8121xyPP如果雙曲線上一點 到雙曲線右焦點的距離是，那么點 到左焦點的距離為 或 或例題型一題型一 雙曲線定義的應用雙曲線定義的應用1221| 2410614C.PFPFaPFPF因為解析： ，或，故選所以 本小題主要是應用雙曲線的第一定義求評析：解問題221222491551MCxyCxyM已知動

6、圓與圓：和圓：都外切，求動圓圓心的軌素材 ：跡方程12121222|7|1 096611MCRRMCRMCxyxMCMCC設動圓半徑為 ，則，則，可知動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，其方程為解析： 2222 11916( 3 2 3)21164(3 2 2)2.xyxy根據下列條件，分別求出雙曲線的標準方程：與雙曲線有共同的漸近線，且過點，；與雙曲線有公共焦點，且過點，例題型二題型二 求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程 2222344.3443342 3331.11abyxxyxxxyab 由雙曲線的方程得，所以漸近線方程為當時，所以所求的雙曲線的焦點在 軸上設所求雙方法 ：曲線的方程

7、為解析：22222222493431.92 34144baaxabby 由題意，得，解得，所以所求雙曲線的方程為解析：222222224191631.0)9161( 3,2 3)4192944164xyyxxyxxyy 雙曲線的漸近線方程為，所以設所求雙曲線的方程為將點代入得，故所求雙曲線的方程即為，方法 ： 222222222222221.2 5.3 24(3 2 2)1.(2 5)2128.211.18xyabcabababxy設所求雙曲線的方程為由題意易求得又雙曲線過點，所以因為，所以，故所求雙曲線的方為：程方法 22221.1281416164(3222 )42xykkkxky 設所求

8、雙曲線的方程為，將點，代入得，故所求雙曲線的方程為方法 ： 222222222222222222222211(0)2(0)31 1xyabxyt tabbyxaxyt tabxyabxybkaakbk 待定系數法求雙曲線方程最常用的設法：與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設為；若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線方程可設為；與雙曲線共焦點的雙曲線方評程可設為析：； 2222222222224105101xymnmnxyababxybkaakkb過兩個已知點的雙曲線方程可設為；與橢圓共焦點的雙曲線方程可設為合理利用上述結論求雙曲線的方程可簡化解題過程，提高解評析：題速度22220,61(00)2.P

9、xyabab已知點與雙曲線，的兩個焦點的連線互相垂直，且與兩個頂點連線的夾角為求雙曲線素材的方程121222222216221261.1224.3tan2 3246FFxPFPFOPcFFOPcPaOPxcyba設 、為雙曲線的兩個焦點，依題意，它的焦點在 軸上因為，且，所以，所以又 與兩頂點連線的夾角為，所以，所以，故所求雙曲線的方程為解析：12222212 1(00)()A. 3 B. 55C. D.1323.FFxyababABOOFF AB如圖， 和分別是雙曲線 ， 的兩個焦點， 和 是以 為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 例題型三題型三

10、 雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質11221121221 .903023232 2312 3D.AFF AFAF FFFcAFc AFcaAFAFcccceacc連接由題意得，則雙曲解線的離心率為，析：故選 本題的關鍵是將平面幾何的性質轉化為雙曲線的特征量之評析：間的關系2212222121(00)30 3 . xyFFababFxPPFF已知 ，為雙曲線 ， 的焦點，過作垂直于 軸的直線交雙曲線于點 ，且，則雙曲線的漸近線方程為素材202222002221212212222222,0 (0)()13033222.12FccP cyycbbyPFabaaRt PFFPFFbFFPFcabcax

11、bbyaa設 ，則，解得，所以，在中，所以，即，又，故有，所以，故所求雙曲線的方法 ：漸近線方程為解析：12122222222 .2222 .222PFPFPFPFaPFabbPFaaabbaayx，由雙曲線的定義可知，得因為，所以，所以，所以，故雙曲線的漸近線方程為法解析：方22 1(0113.)0 xyClBBCMNlOM ONO 已知雙曲線 ：的右焦點為 ，過點 作直線交雙曲線 的右支于、 兩點，試確定 的取值范圍例，使，其中點 為坐標原點題型四題型四 雙曲線的綜合應用雙曲線的綜合應用 聯立直線方程與雙曲線方程，尋找交點坐分析：標的關系112200002 ()()1,01.(1)(1)0

12、011,1(11)1,1(11)111101 51.15.0122M xyN xyBMNxMNxMyNyyOM ONyMNMNC 設，由已知易求得當垂直于 軸時，的方程為設，由，得，所以， 又，在雙曲線 上，所以，所以，所以因為，所解以析：22222222212122222212122 111(1)(1)2(1)(1)()0.(1)02111111 1MNxMNxyyk xyk xkxk xkkkkxxx xkkky ykxxk 當不垂直于 軸時，設的方程為由，得由題意知，所以，于是解析：.2121221221222 510MN1010011512.112123 302OM ONx xy yk

13、xxkx x 因為，且、 在雙曲線的右支上，所以由知，解析： 直線與雙曲線的位置關系與直線與橢圓的位置關系有類似的處理方法，但要注意聯立后得到一元二次方程的二次項系數評析：能否為零 221212 184120,4(4.)83xyCyxCCPlCABxQQCPQQAQBQ 雙曲線 與橢圓有相同的焦點，直線為雙曲線 的一條漸近線求雙曲線 的方程；過點的直線 ，交雙曲線 于 、兩點，交 軸于 點點與素材的頂點不重合 當，且時，求 點的坐標 22222222221.12,01.32,084231313xyabxyCcyxCbabaCyx設雙曲線方程為由橢圓，求得兩焦點為，所以對于雙曲線 有，又為雙曲線

14、 的一條漸近線，所以，所以，所以雙曲線 的方程為解析： 11221111111111114()4()(0)44(4)()4444()424lklykxA xyB xyQPQQAkxykkxkkxkkyy 由題意知，直線 的斜率 存在且不等于零設 的方程為，則，因為，所以，解，所以析：1121221122221112221122222()11616()1031616321603161632160.3161632160.3A xyCkkkkkkk 因為，在雙曲線 上，所以，所以，所以解同理有析：22122222122160160.16163216033284163( 2,002.)klkkxxkk

15、kkQ 若，則直線 過頂點，不合題意所以所以 、是一元二次方程的兩根所以，所以，此時，所以所以所求 的坐為析標解： 221212122141222()xCyCCCCClykxCABOA OBOk 已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點求雙曲線的方程；若直線 ：與雙曲線恒有兩個不同的交點 和 ，且其中 為原點，求 的取備選例題值范圍 222222222222221(00)4 134111.3CxyababacabxycbC 設雙曲線的方程為： ， ，則，再由，得，故的程析：方為解 2222222222211221212222131 36 290.

16、1 306 236 1 336 1011.()()36 2932.11 3xykxykxkxlCkkkkkkA xyB xykxxx xkk 將代入，得由直線 與雙曲線交于不同的兩點，得，所以且設，則，1212112212122212122121222222() ()(2)(2)37122.3122373912.0331333( 1)(1331)3x xy yOA OBxyxyx xkxkxkkx xk xxkOA OBx xy ykkkkkk 所以，又因為，得，所以即，解得，綜合，得 的取值范圍為，2221000.2()()()3abccababcabababab雙曲線中的參變量 ， ， 有

17、關系式成立，且，其中 與 的大小關系，可以為，雙曲線的幾何性質的實質是圍繞雙曲線中的“六點”兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點 ，“四線”兩條對稱軸、兩條漸近線 ，“兩形”中心、焦點以及虛軸端點構成的三角形，雙曲線上一點和兩焦點構成的三角形 研究它們之間的相互聯系橢圓是封閉性曲線，而雙曲線是開放性的又雙曲線有兩支，故在應用時要注意在哪一支上2222222222451061(0)AxByABxyabxyab 根據方程判定焦點的位置時，注意與橢圓的差異性求雙曲線的標準方程時應首先考慮焦點的位置，若不確定焦點的位置時，需進行討論，或可直接設雙曲線的方程為與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為22222711

18、ebcackeaaae 雙曲線的形狀與 有關系：，越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊22122212102401090FxyxFxyxMFFM已知定圓 ：，定圓 ：，動圓與定圓 ，都外切，求動圓圓心的軌跡方程2211122222212211222515,01.545,04.143352441.991FxyFrFxyFrMRMFRMFRMFMFMFFacxy定圓 ：，圓心，半徑定圓 ：，圓心，半徑設動圓的半徑為 ，則有，所以，故點的軌跡是以 、為焦點的雙曲線，且，所以雙曲線方程為錯解：實際上本題所求的軌跡應該是雙曲線的一支，而非整條雙曲線，上述解法忽視了雙曲線定義中的關鍵詞“絕錯解分析：對值”2122122135,05, 4431()0 9912MFMFMFMFMFMxyxFM 由，可得，即點到的距離大于點到的距離，所以點的軌跡應該是雙曲線的左支，故軌跡方程為正解：