高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.6

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1、 精品資料 8.6　雙曲線 1． 雙曲線的概念 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a (2a<2c)，則點(diǎn)P的軌跡叫雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0： (1)當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)不存在． 2． 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0)

2、－＝1(a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的半虛軸長(zhǎng) a、b、c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)  1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶?/p>

3、號(hào)中打“√”或“”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線． (　　) (3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即＝0.(　√　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于. (　√　) (5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此結(jié)論中兩條雙曲線為共軛雙曲線)． (　√　) 2． 若雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于

4、實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為 (　　) A. B．5 C. D．2 答案　A 解析　焦點(diǎn)(c,0)到漸近線y＝x的距離為＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2， ∴離心率e＝＝. 3． (2013福建)雙曲線－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　雙曲線的頂點(diǎn)(2,0)到漸近線y＝x的距離d＝＝. 4． (2012天津)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)與雙曲線C2：－＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點(diǎn)為F(，0)，則a＝_

5、_______，b＝________. 答案　1　2 解析　與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為－＝λ，即－＝1. 由題意知c＝，則4λ＋16λ＝5?λ＝，則a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2. 5． 已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)B在雙曲線的同一支上，P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q，若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1k2＝－，則雙曲線的離心率是 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，設(shè)P(x0，y0)， 則Q(－x0，y0)， ∵A(

6、0，－a)，B(0，a)，－＝1， ∴－1＝，＝， ∴k1k2＝＝＝－， ∴－＝－，∴5a2＝4(c2－a2)，∴e＝. 題型一　雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　(1)已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_(kāi)_______． (2)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程為_(kāi)_________． (3)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_______． 思維啟迪　設(shè)雙曲線方程為－

7、＝1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，由題意易得關(guān)于a、b的兩個(gè)方程；也可根據(jù)雙曲線的定義直接確定a、b、c；根據(jù)雙曲線的定義求軌跡方程．(注意條件) 答案　(1)－＝1　(2)－＝1 (3)x2－＝1(x≤－1) 解析　(1)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率為e＝.由于雙曲線－＝1與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，因此a2＋b2＝7. 又雙曲線的離心率e＝＝，所以＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k，將點(diǎn)(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.

8、 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (3)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因?yàn)閨MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1| ＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|. 又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． 思維升華　求雙曲

9、線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是定義法和待定系數(shù)法．待定系數(shù)法具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為－＝λ (λ≠0)，再由條件求出λ的值即可．利用定義時(shí)，要特別注意條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支． 　(1)(2012湖南)已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)

10、設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解． ∵－＝1的焦距為10，∴c＝5＝. ① 又雙曲線漸近線方程為y＝x，且P(2,1)在漸近線上， ∴＝1，即a＝2b. ② 由①②解得a＝2，b＝，則C的方程為－＝1，故應(yīng)選A. (2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0

11、)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 題型二　雙曲線的幾何性質(zhì) 例2　(1)(2013浙江)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2 的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若 四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是 (　　) A. B. C. D. (2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為 (　　) A．[3－2，＋∞)

12、 B．[3＋2，＋∞) C．[－，＋∞) D．[，＋∞) 思維啟迪　(1)求圓錐曲線的離心率e，可以求出a，c的關(guān)系式，進(jìn)而求出e. (2)在圓錐曲線中求某一量的值或范圍，一定要注意圓錐曲線本身的x，y的取值范圍． 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)|F1F2|＝2.設(shè)雙曲線的方程為－＝1. ∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90， ∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， 即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2， ∴a＝，∴e＝＝＝.故選D

13、. (2)由條件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3， ∴雙曲線方程為－y2＝1， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋2，y)， ∵y2＝－1， ∴＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1 ＝x2＋2x－1＝(x＋)2－. 又∵x≥(P為右支上任意一點(diǎn))， ∴≥3＋2.故選B. 思維升華　在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，半實(shí)軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多．由于e＝是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形求e，并且需注意e>1.同時(shí)注意雙曲線方程中x，y的范圍問(wèn)題． 　(1)

14、(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為 (　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x (2)過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若＝2，則此雙曲線的離心率為 (　　) A. B. C．2 D. 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)由e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈R＋)， 由b2＝c2－a2＝k2知b＝k. 所以＝. 即漸近線方程為y＝x.故選C. (2)如圖，∵＝2，

15、∴A為線段BF的中點(diǎn)， ∴∠2＝∠3. 又∠1＝∠2，∴∠2＝60， ∴＝tan 60＝， ∴e2＝1＋()2＝4，∴e＝2. 題型三　雙曲線的綜合應(yīng)用 例3　已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2. (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍； (3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍． 思維啟迪　(1)利用待定參數(shù)法求C的方程； (2)聯(lián)立直線l和雙曲線C的方程，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求k的范圍； (3)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入l0，得到m關(guān)于k的關(guān)系

16、式，求出m的取值范圍． 解　(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， ∴雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)設(shè)A(xA，yA)、B(xB，yB)， 將y＝kx＋代入－y2＝1， 得，(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由題意知解得

17、∵

18、3)， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 根據(jù)定義2a＝|－ |＝4， 故a＝2.又b2＝32－a2＝5， 故所求雙曲線方程為－＝1. 方法二　設(shè)雙曲線方程為＋＝1(27<λ<36)， 由于曲線過(guò)點(diǎn)(，4)，故＋＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求雙曲線方程為－＝1. (2)由雙曲線的方程得a＝，b＝， ∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． 直線AB的方程為y＝(x－3)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得5x2＋6x－27＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 直線AB

19、的方程變形為x－3y－3＝0. ∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為 d＝＝. ∴S△AOB＝|AB|d＝＝. 忽視“判別式”致誤 典例：(14分)已知雙曲線x2－＝1，過(guò)點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？ 易錯(cuò)分析　由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法，在解決直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)不需要考慮判別式，致使有的考生思維定勢(shì)的原因，任何情況下都沒(méi)有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 規(guī)范解答 解　設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為(x0，y0)， 若直線l的斜率不存在，顯然不符

20、合題意． [2分] 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋1－k. [3分] 由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　[6分] ∴x0＝＝. 由題意，得＝1，解得k＝2. [9分] 當(dāng)k＝2時(shí)，方程①成為2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解． [12分] ∴不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(1,1)是線段AB的中點(diǎn)．[14分] 溫馨提醒　(1)本題是以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題

21、目難度不大，思路也很清晰，但結(jié)論卻不一定正確．錯(cuò)誤原因是忽視對(duì)直線與雙曲線是否相交的判斷，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，因?yàn)樗蟮闹本€是基于假設(shè)存在的情況下所得的． (2)本題屬探索性問(wèn)題．若存在，可用點(diǎn)差法求出AB的斜率，進(jìn)而求方程；也可以設(shè)斜率k，利用待定系數(shù)法求方程． (3)求得的方程是否符合要求，一定要注意檢驗(yàn)． 方法與技巧 1． 與雙曲線－＝1 (a>0，b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為－＝t (t≠0)． 2． 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程－＝0就是雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的兩條漸近線方程

22、． 失誤與防范 1． 區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2. 2． 雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0,1)． 3． 雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x. 4． 若利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說(shuō)明斜率不存在的情況． 5． 直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)． A組　專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練

23、 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． (2013北京)若雙曲線－＝1的離心率為，則其漸近線方程為 (　　) A．y＝2x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 答案　B 解析　由e＝，知c＝a，得b＝a. ∴漸近線方程為y＝x，y＝x. 2． (2013湖北)已知0＜θ< ，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．離心率相等 答案　D 解析　雙曲線C1：e＝＝， 雙曲線C2：e＝＝1＋tan2θ＝， ∴C1，C2離心率相等． 3． 設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的

24、一條對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為 (　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝，∴y＝，故|AB|＝，依題意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝. 4． 以橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線－＝1的漸近線相切的圓的方程是 (　　) A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0 C．x2＋y2＋10x＋

25、9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0 答案　A 解析　由于右焦點(diǎn)(5,0)到漸近線4x－3y＝0的距離d＝＝4， 所以所求的圓是圓心坐標(biāo)為(5,0)，半徑為4的圓．即圓的方程為x2＋y2－10x＋9＝0. 5． 已知點(diǎn)F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋) 答案　B 解析　由題意易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－c,0)，A(－c

26、，)，B(－c，－)，E(a,0)， 因?yàn)椤鰽BE是銳角三角形，所以>0， 即＝(－c－a，)(－c－a，－)>0， 整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0， ∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1， ∴e∈(1,2)，故選B. 二、填空題 6． 已知雙曲線的漸近線方程為x2y＝0，且雙曲線過(guò)點(diǎn)M(4，)，則雙曲線的方程為_(kāi)______． 答案?。瓂2＝1 解析　∵雙曲線過(guò)點(diǎn)M(4，)，M在y＝下方， ∴雙曲線焦點(diǎn)在x軸上， 設(shè)雙曲線方程為－＝1，又＝， 因此設(shè)a＝2k，b＝k(k>0)，∴－＝1， 代入M(4，)解得k＝1，a

27、＝2，b＝1， ∴方程為－y2＝1. 7． 已知雙曲線－＝1的離心率是，則n＝________. 答案　4 解析　根據(jù)雙曲線方程得n(12－n)>0，∴00，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小內(nèi)角為30，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______． 答案　 解析　不妨設(shè)|PF1|>|PF2|， 則|PF1|－|PF2|＝2a， 又∵|PF1|＋|PF2|＝6a， ∴

28、|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30， 由正弦定理得，∠PF2F1＝90，∴|F1F2|＝2a， ∴雙曲線C的離心率e＝＝. 三、解答題 9． 已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，且與圓x2＋y2＝10相交于點(diǎn)P(3，－1)，若此圓過(guò)點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程． 解　切點(diǎn)為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)， ∴兩漸近線方程為3xy＝0. 設(shè)所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點(diǎn)P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ

29、＝80， ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上； (3)在(2)的條件下求△F1MF2的面積． (1)解　∵離心率e＝，∴雙曲線為等軸雙曲線， 可設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)， 則由點(diǎn)(4，－)在雙曲線上， 可得λ＝42－(－)2＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明　∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上， ∴32－m2＝6，∴m2＝3， 又雙曲線x2－y2＝6的焦點(diǎn)為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，

30、0)， ∴＝(－2－3，－m)(2－3，－m) ＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0， ∴MF1⊥MF2，∴點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上． (3)解　S△F1MF2＝4|m|＝6. B組　專(zhuān)項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1． 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，如圖所示，雙曲 線的一條漸近線方程為y＝x，而kBF＝－， ∴(－)＝－1，整理得b2＝ac. ∴c2

31、－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)，故選D. 2． (2013重慶)設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O、所成的角為60的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，滿足題意的這一對(duì)直線也關(guān)于x軸(或y軸)對(duì)稱(chēng)．又由題意知有且只有一對(duì)這樣的直線，故該雙曲線在第一象限的漸近線的傾斜角范圍是大于30且小于等于60，即tan 30<

32、≤tan 60，∴<≤3.又e2＝()2＝＝1＋，∴0，b>0)的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 (　　) A．4＋2 B.－1 C. D.＋1 答案　D 解析　因?yàn)镸F1的中點(diǎn)P在雙曲線上，|PF2|－|PF1|＝2a， △MF1F2為正三角形，邊長(zhǎng)都是2c，所以c－c＝2a， 所以e＝＝＝＋1，故選D. 4． (2013遼寧)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(

33、5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　44 解析　由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， ∴點(diǎn)A(5,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)， 且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16， 由雙曲線定義，得|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6. ∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28， 因此△PQF的周長(zhǎng)為 |PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44. 5． 已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi)_______． 答案　

34、 解析　由定義，知|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝＝－e2. 要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值， ∴當(dāng)cos∠F1PF2＝－1時(shí)，得e＝， 即e的最大值為. 6． 已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程． 解　(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知F2(2,0)． 易驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)不滿足題意， 故可設(shè)直線l：y＝k(x－2)，由 消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0， k≠時(shí)，x1＋x2＝， x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)， △F1AB的面積S＝c|y1－y2|＝2|k||x1－x2| ＝2|k|＝12|k|＝6. 得k4＋8k2－9＝0，則k＝1. 所以直線l方程為x－y－2＝0或x＋y－2＝0.