與名師對話高三數學文一輪復習課時跟蹤訓練：第三章 導數及其應用 課時跟蹤訓練16 Word版含解析

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 課時跟蹤訓練(十六) [基礎鞏固] 一、選擇題 1．(20xx·四川卷)已知a為函數f(x)＝x3－12x的極小值點，則a＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 [解析]　由題意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，所以a＝2. [答

2、案]　D 2．設函數f(x)＝＋lnx，則(　　) A．x＝為f(x)的極大值點 B．x＝為f(x)的極小值點 C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點 [解析]　∵f(x)＝＋lnx，∴f′(x)＝－＋＝(x>0)，由f′(x)＝0得x＝2.當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數，∴x＝2為f(x)的極小值點． [答案]　D 3．若商品的年利潤y(萬元)與年產量x(百萬件)的函數關系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產量為(　　)

3、A．1百萬件 B．2百萬件 C．3百萬件 D．4百萬件 [解析]　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當0<x<3時，y′>0； 當x>3時，y′<0. 故當x＝3時，該商品的年利潤最大． [答案]　C 4.設函數f(x)在R上可導，其導函數為f ′(x)，且函數y＝(1－x)f ′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是(　　) A．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) C．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) D．函數f(x)有極大值f(－2)和極小

4、值f(2) [解析]　由圖可知當x<－2時，(1－x)f ′(x)>0；當－2<x<1時，(1－x)f ′(x)<0；當1<x<2時，(1－x)f ′(x)>0；當x>2時，(1－x)f ′(x)<0.所以x<－2或x>2時f ′(x)>0；－2<x<1或1<x<2時f ′(x)<0，所以函數f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上單調遞增；在(－2,1)和(1,2)上單調遞減．所以當x＝－2時函數f(x)取得極大值；當x＝2時函數f(x)取得極小值．故D正確． [答案]　D 5．

5、(20xx·河北三市二聯(lián))若函數f(x)＝x3－x2＋2bx在區(qū)間[－3,1]上不是單調函數，則函數f(x)在R上的極小值為(　　) A．2b－ B．b－ C．0 D．b2－b3 [解析]　f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)·(x－2)，∵函數f(x)在區(qū)間[－3,1]上不是單調函數，∴－3<b<1，則由f′(x)>0，得x<b或x>2，由f′(x)<0，得b<x<2，∴函數f(x)的極小值為f(2)＝2b－. [答案]　A 6．若函數f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，則實數a的取值范圍

6、是(　　) A．(－，1) B．[－，1) C．[－2,1) D．(－2,1) [解析]　由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝－1為函數的極大值點，x＝1為函數的極小值點．若函數f(x)在區(qū)間(a,6－a2)上有最小值，則函數f(x)的極小值點必在區(qū)間(a,6－a2)內，且左端點的函數值不小于f(1)，即實數a滿足得 解得－2≤a<1，故選C. [答案]　C 二、填空題 7．f(x)＝的極小值為________． [解析]　f′(x)＝＝. 令f′(x)<0，得x<－2或x>1. 令f′(x)>0，得－2<x<

7、1. ∴f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是減函數，在(－2,1)上是增函數， ∴f(x)極小值＝f(－2)＝－. [答案]?。? 8．函數f(x)＝ex－x(e為自然對數的底數)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是________． [解析]　因為f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.且當x>0時，f′(x)＝ex－1>0，x<0時，f′(x)＝ex－1<0，即函數在x＝0處取得極小值，f(0)＝1，又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，綜合比較得函數f(x)＝ex－x在區(qū)間[－1,1]上的最大值是e－1. [答案]　e－

8、1 9．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則常數c的值為________． [解析]　f′(x)＝(x－c)2＋2(x－c)x＝(x－c)(3x－c)， 因為函數f(x)在x＝2處有極大值， 所以f′(2)＝0，得c＝6或c＝2， 當c＝6時，由f′(x)>0，得x<2或x>6；由f′(x)<0，得2<x<6，所以f(x)在x＝2處取得極大值． 當c＝2時，由f′(x)>0，得x<或x>2；由f′(x)<0，得<x<2，所以f(x)在x＝2處取得極小值．不合題意． 綜上所述，c＝6. [答案]　

9、6 三、解答題 10．已知函數f(x)＝x－alnx(a∈R)， (1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數f(x)的極值． [解]　函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當a＝2時，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①當a≤0時，f′(x)>0，函數f(x)為(0，＋∞)上的增函數，函數f(x)

10、無極值； ②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又當x∈(0，a)時，f′(x)<0；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， 從而函數f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值． 綜上，當a≤0時，函數f(x)無極值； 當a>0時，函數f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值． [能力提升] 11．(20xx·浙江金華、麗水、衢州十二校聯(lián)考)如圖，已知直線y＝kx＋m與曲線y＝f(x)相切于兩點，則F(x)＝f(x)－kx有(　　) A．1個極大值點，2個極小值點 B．2個極大值點，1個極小

11、值點 C．3個極大值點，無極小值點 D．3個極小值點，無極大值點 [解析]　F′(x)＝f′(x)－k，如圖所示，從而可知F′(x)共有三個零點x1，x2，x3，由圖可知，F(x)在(－∞，x1)上單調遞減，在(x1，x2)上單調遞增，在(x2，x3)上單調遞減，在(x3，＋∞)上單調遞增，∴x1，x3為極小值點，x2為極大值點，即F(x)有1個極大值點，2個極小值點，故選A. [答案]　A 12．(20xx·河北唐山一模)直線y＝a分別與曲線y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于A，B，則|AB|的最小值為(　　) A．3 B．2 C． D． [解析]　當y＝a時

12、，2(x＋1)＝a，x＝－1.設方程x＋lnx＝a的根為t，則t＋lnt＝a，則|AB|＝＝＝.設g(t)＝－＋1(t>0)，則g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1.當t∈(0,1)，g′(t)<0；t∈(1，＋∞)，g′(t)>0， 所以g(t)min＝g(1)＝， 所以|AB|≥，即|AB|的最小值為. [答案]　D 13．(20xx·全國卷Ⅱ)設函數f(x)＝(1－x2)ex. (1)討論f(x)的單調性； (2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1，求a的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex. 令f′(x)＝0得x＝

13、－1－，x＝－1＋. 當x∈(－∞，－1－)時，f′(x)<0；當x∈(－1－，－1＋)時，f′(x)>0；當x∈(－1＋，＋∞)時，f′(x)<0. 所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)單調遞減，在(－1－，－1＋)單調遞增． (2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex. 當a≥1時，設函數h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)單調遞減，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1. 當0<a<1時，設函數g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝e

14、x－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)單調遞增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1. 當0<x<1時，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝，則x0∈(0,1)，(1－x0)·(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.不合題意． 當a≤0時，取x0＝，則x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.不合題意． 綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)． 14．(20xx·山東濰坊模擬)設f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－

15、1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調區(qū)間； (2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實數a的取值范圍． [解]　(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a， 可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 則g′(x)＝－2a＝. 當a≤0時，x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增． 當a>0時，x∈時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增； x∈時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減． 所以當a≤0時，g(x)的單調增區(qū)間為(0，＋∞)； 當a>0時，g(x)的單調增區(qū)間為， 單調減區(qū)

16、間為. (2)由(1)知，f′(1)＝0. ①當a≤0時，f′(x)單調遞增， 所以，當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增． 所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意． ②當0<a<時，>1，由(1)知f′(x)在內單調遞增， 可得，當x∈(0,1)時，f′(x)<0，x∈時，f′(x)>0. 所以f(x)在(0,1)內單調遞減，在內單調遞增． 所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意． ③當a＝時，＝1， f′(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞

17、)內單調遞減． 所以當x∈(0，＋∞)時，f′(x)≤f′(1)＝0，f(x)單調遞減，不合題意． ④當a>時，0<<1， 當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調遞增， 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減， 所以f(x)在x＝1處取得極大值，符合題意． 綜上可知，實數a的取值范圍為. [延伸拓展] 　(20xx·海南華僑中學考前模擬)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定義域x∈[－2,2]上表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為－1.有以下命題 ： ①f(x)是奇函數；②若f(x)在[s，t

18、]內遞減，則|t－s|的最大值為4；③若f(x)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝0；④若對?x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，則k的最大值為2. 其中正確命題的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由題意得函數過原點，則c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 則解得 所以f(x)＝x3－4x，f′(x)＝3x2－4＝0. ①因為f(－x)＝－x3＋4x＝－f(x)，即f(x)是奇函數，①正確； ②由f′(x)≥0得x≥或x≤－，f(x)在內單調遞減．若f(x)在[s，t]內遞減，則t≤，s≥－時，|t－s|的最大值為，②錯誤； ③由奇函數的圖象關于原點對稱可知，最大值與最小值互為相反數，f(x)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝0，③正確； ④若對?x∈[－2,2]，由于f′(x)＝3x2－4∈[－4,8]，則k≤f′(x)恒成立，則k≤－4，則k的最大值為－4，④錯誤．故正確的個數為2，故選B. [答案]　B