高考數學浙江理科一輪【第八章】立體幾何 第7講立體幾何中的向量方法一

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1、 精品資料 第7講 立體幾何中的向量方法（一） 一、選擇題 1．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是(　　) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2) 解析 兩直線垂直，其方向向量垂直，只有選項B中的兩個向量垂直． 答案　B 2．已知a＝，b＝滿足a∥b，則λ等于(　　)． A. B.

2、 C．－ D．－ 解析　由＝＝，可知λ＝. 答案　B 3．平面α經過三點A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是 (　　)． A. B．(6，－2，－2) C．(4,2,2) D．(－1,1,4) 解析　設平面α的法向量為n，則n⊥，n⊥，n⊥，所有與(或、)平行的向量或可用與線性表示的向量都與n垂直，故選D. 答案　D 4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為

3、 (　　)． A．2 B. C. D．1 解析　連接AC，交BD于點O，連接EO，過點O作OH⊥AC1于點H，因為AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin 45＝1. 答案　D 5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5， λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等于(　　)． A. B. C. D. 解析　由題意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， ∴∴. 答案　D 6．正方體ABCD－A1B1C1

4、D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為 (　　)． A.a B.a C.a D.a 解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設M(x，y，z)， ∵點M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　A 二、填空題 7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解

5、得λ＝－2或λ＝. 答案?。?或 8．在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設PA＝PB＝PC＝a，則點P到平面ABC的距離為________． 解析　根據題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系P－xyz，則P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．過點P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離． ∵PA＝PB＝PC， ∴H為△ABC的外心． 又∵△ABC為正三角形， ∴H為△ABC的重心，可得H點的坐標為. ∴PH＝ ＝a. ∴點P到平面ABC的距離為a. 答案　a 9．平面α的一個法向量n＝(0,

6、1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s＝________. 解析 直線l的方向向量平行于平面α的法向量，故直線l的單位方向向量是s＝. 答案 10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足＝λ的實數λ的有____________個． 解析　建立如圖的坐標系，設正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中點坐標為，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋y

7、Q＝3， ∴x＋y＝1，即點P坐標滿足x＋y＝1.∴有2個符合題意的點P，即對應有2個λ. 答案　2 三、解答題 11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： a，b，c. 解　因為a∥b，所以＝＝， 解得x＝2，y＝－4， 這時a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因為b⊥c， 所以bc＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． 12．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)

8、AM⊥平面BDF. 證明　(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 設AC∩BD＝N，連接NE. 則N，E(0,0,1)， A(，，0)，M ∴＝. ＝. ∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝， ∵D(，0,0)，F(，，1)， ∴＝(0，，1) ∴＝0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. 13．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平

9、面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論． (1)證明　如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標系，設AD＝a，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　設G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB，則由 ＝(a,0,0)＝a＝0，得x＝； 由＝(0，－a，a) ＝2＋a＝0， 得z＝0. ∴G點坐標為，即G點為AD的中點． 14．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，A

10、D＝5，∠DAB＝∠ABC＝90，E是CD的中點． (1)證明：CD⊥平面PAE； (2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積． 解　如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．設PA＝h，則相關各點的坐標為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)， P(0,0，h)． (1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)． 因為＝－8＋8＋0＝0，＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. (2)由題設和(1)知，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|， 即＝. 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h(huán))， 又＝(4,0，－h(huán))， 故＝. 解得h＝. 又梯形ABCD的面積為S＝(5＋3)4＝16， 所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝SPA＝16＝.