高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 第6講空間向量及其運(yùn)算

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1、 精品資料 第6講 空間向量及其運(yùn)算 一、選擇題 1．以下四個(gè)命題中正確的是 (　　)． A．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示 B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間向 量的另一組基底 C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0 D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同時(shí)為1，設(shè)μ≠

2、1，則a＝b＋c，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾． 答案　B 2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝ (　　)． A．－4 B．－2 C．4 D．2 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案　D 3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是(　　)． A．{a

3、，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析　若c、a＋b、a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底． 答案　C 4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為 (　　)． A．0 　　　　 B. C. 　　　　 D. 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c， 由已知條件〈a，b〉＝〈a，

4、c〉＝，且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0. 答案　A 5．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是 (　　)． A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析　＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 答案　A 6．如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，

5、D兩點(diǎn)間的距離是(　　) A. B. C．1 D. 解析 ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 答案　D 二、填空題 7. 設(shè)R，向量，且，則 解析 . 答案 8. 在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝________. 解析　如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c， ·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0. 答案　0 9．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①(＋＋)2＝

6、32；②·(－)＝0；③向量與向量的夾角是60°；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號(hào)是________． 解析 由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正確；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故③不正確；④中|··|＝0.故④也不正確． 答案 ①② 10．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余

7、弦值等于________． 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c. OA與BC所成的角為θ， ·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16. ∴cos θ＝＝＝. 答案　 三、解答題 11．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足＝(＋＋)． (1)判斷、、三個(gè)向量是否共面； (2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)． 解　(1)由已知＋＋＝3 ， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，，共面且基線過(guò)同一點(diǎn)M

8、， ∴四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)． 12．把邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求： (1)EF的長(zhǎng)； (2)折起后∠EOF的大?。? 解 如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A（0，－a,0）， B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a）， F（a，a,0）. (1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a. (2)＝，＝， ·＝0×a＋×＋a×0＝－， ||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，

9、 ∴∠EOF＝120°. 13．如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三點(diǎn)共線． 證明　設(shè)＝a，＝b，＝c，則 ＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B、G、N三點(diǎn)共線． 14．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，計(jì)算： (1)·；(2)·；(3)EG的長(zhǎng)； (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 解　設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b

10、|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝， (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－； (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是(0°，90°]， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.