高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.7

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1、 精品資料 §8.7　拋物線 1． 拋物線的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 2． 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1

2、準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，準(zhǔn)線方程是x＝－. (　×　) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形． (　×　) (4)AB為拋物

3、線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p. (　√　) 2． 設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是 (　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 答案　C 解析　Q(－2,0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4

4、k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 3． (2012·四川)已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|等于 (　　) A．2 B．2 C．4 D．2 答案　B 解析　由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， 則M到焦點(diǎn)的距離為xM＋＝2＋＝3， ∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8， ∴|OM|＝＝＝2. 4． 動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為__________． 答案　y2＝4x

5、解析　設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x. 5． 若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 答案　4 解析　因?yàn)闄E圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為(2,0)，則p＝4. 題型一　拋物線的定義及應(yīng)用 例1　已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 思維啟迪　由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，求|

6、PA|＋|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的問題． 解　將x＝3代入拋物線方程 y2＝2x，得y＝±. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部，如圖． 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF| ＝|PA|＋d，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為，即|PA|＋|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn) 縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)． 思維升華　與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)

7、問題的重要途徑． 　已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 (　　) A. B．3 C. D. 答案　A 解析　拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F(，0)，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形不難得出相應(yīng)的最小值就等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離．因此所求的最小值等于 ＝，選A. 題型二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何

8、性質(zhì) 例2　拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，它與圓x2＋y2＝9相交，公共弦MN的長(zhǎng)為2，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程． 思維啟迪　首先確定方程的形式，根據(jù)條件列方程確定方程中的系數(shù)． 解　由題意，得拋物線方程為x2＝2ay (a≠0)． 設(shè)公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側(cè)， 則|MA|＝|AN|，而|AN|＝. ∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)． ∵N點(diǎn)在拋物線上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±， 故拋物線的方程為x2＝y(tǒng)或x2＝－y. 拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝－. 拋物線x

9、2＝－y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝. 思維升華　(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)的位置及p的值，再進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程． (2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 　(1)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為 (　　) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x

10、 D．y2＝8x (2)(2013·江西)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|等于 (　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)直線方程為y＝2(x－)，令x＝0，得y＝－， 故有4＝·||·|－|＝， ∴a＝±8，∴y2＝±8x. (2)由拋物線定義知M到F的距離等于M到準(zhǔn)線l的距離MH. 即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN| ＝|FO|∶|AF|＝1∶

11、. 題型三　拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 例3　設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O. 思維啟迪　證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOC＝kOA.本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決． 證明　方法一　設(shè)AB：x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2－2pmy－p2＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得yAyB＝－p2，即yB＝－. ∵BC∥x軸，且C在準(zhǔn)線x＝－上，∴C(－，yB)． 則kOC＝＝＝＝kOA. ∴直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O. 方法二　

12、如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，垂足為 D. 則AD∥EF∥BC.連接AC交EF于點(diǎn)N， 則＝＝， ＝. ∵|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|， ∴|EN|＝＝＝|NF|， 即N是EF的中點(diǎn)，從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O. 思維升華　本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力．在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB＝－p2這個(gè)重要結(jié)論．還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何題目． 　已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)、B(x2，

13、y2)是過F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋為定值； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 證明　(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)． 由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 則y1、y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2＝－p2. 因?yàn)閥＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因?yàn)閤1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得＋＝＝(定值)． (3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0

14、，y0)，分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C、 D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|) ＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 題型四　直線與拋物線的位置關(guān)系 例4　已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q. (1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)． (2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值． (3)是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說

15、明理由． 思維啟迪　拋物線上的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離，往往轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離． 解　(1)∵拋物線C：x2＝y(tǒng)，∴它的焦點(diǎn)F(0，)． (2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋，∴2＋＝3，得m＝. (3)存在，聯(lián)立方程 消去y得mx2－2x－2＝0， 依題意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0?m>－. 設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)， 則 (*) ∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴P(，)， 即P(，yP)，∴Q(，)． 得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)， 若存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

16、 則·＝0， 即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0， 結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， 而2∈(－，＋∞)，－?(－，＋∞)． ∴存在實(shí)數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形． 思維升華　(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系； (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式． (3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根

17、與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法． 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解． 　已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：－x＝1(x＞0)． 化簡(jiǎn)得y2＝4x(x＞0)． (2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 設(shè)

18、l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)＞0， 于是 ① 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， ·＜0? (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0. ② 又x＝，于是不等式②等價(jià)于·＋y1y2－＋1＜0?＋y1y2－＋1＜0. ③ 由①式，不等式③等價(jià)于m2－6m＋1＜4t2. ④ 對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2. 由此可

19、知，存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·＜0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2)． 直線與圓錐曲線問題的求解策略 典例：(15分)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與拋 物線C交于M，N兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，△OMN的面 積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． (1)求拋物線C的方程； (2)是否存在直線l，使得以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 思維啟迪　(1)求MN的長(zhǎng)，由面積得p的值； (2)問題的幾何條件是：線段MN的中垂線

20、與y軸的交點(diǎn)和M，N構(gòu)成等腰直角三角形，因此依次待定直線，表示中點(diǎn)，得中垂線與y軸交點(diǎn)，利用直角邊垂直關(guān)系列式求解． 規(guī)范解答 解　(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，則|MN|＝2p， ∴S△OMN＝·2p·＝＝2，即p＝2. ∴拋物線C的方程為y2＝4x. [5分] (2)∵直線l與x軸垂直時(shí)，不滿足．設(shè)正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)為P. 故可設(shè)直線l：y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)， 聯(lián)立可化簡(jiǎn)得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 則 代入直線l可得MN的中點(diǎn)為(，)， 則線段MN的垂直平分線為

21、y－＝－(x－1－)， 故P(0，＋)． [10分] 又·＝0，則x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)＝0. 即x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y＝0. 1－4－y0·＋y＝0，化解得ky－4y0－3k＝0， 由y0＝＋代入上式，化簡(jiǎn)得(3k4－4)(k2＋1)＝0. 解得k＝± . ∴存在直線l：y＝± (x－1)． [15分] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟： 第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程； 第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時(shí)參數(shù)范

22、 圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn)) 第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2 (或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果； 第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況． 溫馨提醒　本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力；(1)題比較基礎(chǔ)，易于掌握；(2)題的基本點(diǎn)是設(shè)而不求，難點(diǎn)是如何把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，重點(diǎn)考查解題思想與方法，其中我們要習(xí)慣于把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零． 方法與技巧 1． 認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px (p>0)，前者不是拋

23、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． 2． 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝； (3)若F為拋物線焦點(diǎn)，則有＋＝. 失誤與防范 1． 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般要用待定系數(shù)法求p值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程． 2． 注意應(yīng)用拋物線的定義解決問題． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一

24、、選擇題 1． 拋物線y＝－x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (　　) A．(0，) B．(－，0) C．(0，－) D．(－，0) 答案　C 解析　把原方程先化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝－2y，則2p＝2， ∴＝，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)，故選C. 2． (2013·四川)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是 (　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)， 雙曲線x2－＝1的漸近線是y＝±x，即x±y＝0， ∴所求距離為＝.選B. 3． 已

25、知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 (　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案　B 解析　∵y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)， ∴過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－， 即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2， 即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝2p，∴＝p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. 4． 已知拋物線y2＝2px(p>

26、0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于 (　　) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 答案　A 解析?、偃艚裹c(diǎn)弦AB⊥x軸， 則x1＝x2＝，則x1x2＝； ②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB：y＝k(x－)， 聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 則x1x2＝. 即x1x2＝，則y1y2＝－p2.故＝－4. 5． 如圖，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：(x－)2＋y2＝，其中p>0，直線 l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)，依次交C1，C2于A，B，C，D四點(diǎn)，則&#

27、183;的值 為 (　　) A．p2 B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，D(x2，y2)， 則|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋－＝x1， 同理|CD|＝x2. 又·＝|AB||CD|＝x1·x2＝. 二、填空題 6． 若點(diǎn)P到直線y＝－1的距離比它到點(diǎn)(0，3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________． 答案　x2＝12y 解析　由題意可知點(diǎn)P到直線y＝－3的距離等于它到點(diǎn)(0，3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，且p

28、＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y. 7． 已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________. 答案　2 解析　設(shè)A(x0，y0)，由拋物線定義知x0＋1＝2， ∴x0＝1，則直線AB⊥x軸，∴|BF|＝|AF|＝2. 8． 已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若A＝M，則p＝________. 答案　2 解析　如圖，由AB的斜率為， 知∠α＝60°，又A＝M， ∴M為AB的中點(diǎn)． 過點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P， 則∠ABP＝60

29、°，∴∠BAP＝30°. ∴＝＝. ∴M為焦點(diǎn)，即＝1，∴p＝2. 三、解答題 9． 如圖，已知拋物線y2＝2px (p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn) 在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長(zhǎng)分別為1和8，求拋物線的方程． 解　設(shè)直線OA的方程為y＝kx，k≠0， 則直線OB的方程為y＝－x， 由得x＝0或x＝. ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，－2pk)， 由|OA|＝1，|OB|＝8， 可得 ②÷①解方程組得k6＝64，即k2＝4. 則p2＝＝. 又p>0，則p＝，故所求拋物線方程為y2＝x. 10．(2013&

30、#183;福建)如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn) 為A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與 準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑． 解　(1)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線l的方程為x＝－1. 由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)， 所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d＝2，又|CO|＝， 所以|MN|＝2＝2＝2. (2)設(shè)C(，y0)，則圓C的方程為 (x－)2＋(y－y0)2＝＋y， 即x2－x＋y2－2y0y＝0. 由x＝－1，得y

31、2－2y0y＋1＋＝0， 設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，則 由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4， 所以＋1＝4，解得y0＝±，此時(shí)Δ>0. 所以圓心C的坐標(biāo)為(，)或(，－)， 從而|CO|2＝，|CO|＝，即圓C的半徑為. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1． 設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||等于 (　　) A．9 B．6 C．4 D．3 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)

32、，又F(1,0)． 由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 2． 已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線C上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (　　) A．(2,2) B．(2，－2) C．(2，±) D．(2，±2) 答案　D 解析　如圖所示，由題意， 可得|OF|＝1，由拋物線的定義， 得|AF|＝|AM|， ∵△AMF與△AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)

33、)的面積之比為3∶1， ∴＝＝3， ∴|AF|＝|AM|＝3，設(shè)A， ∴＋1＝3，解得y0＝±2. ∴＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，±2)． 3． (2012·安徽)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為 (　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　如圖所示， 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)， 又|AF|＝3， 由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3， ∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2. 將x＝2代入y2＝4x得y2＝8， 由

34、圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝2， ∴A(2,2)，∴直線AF的方程為y＝2(x－1)． 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解之得或 由圖知B， ∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|2＋| ＝.故選C. 4． 已知直線l1：4x－3y＋11＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________． 答案　3 解析　因?yàn)閤＝－1恰為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線， 所以可畫圖觀察．如圖，連接PF. d2＝|PF|， ∴d1＋d2＝d1＋|PF|≥|FQ| ＝＝＝3. 5． 如圖，過拋物線y2＝2px(p

35、>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B， 交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若BC＝2BF，且AF＝3，則此拋物線的方程為 ________． 答案　y2＝3x 解析　如圖，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1， 由拋物線的定義知AF＝AA1，BF＝BB1， ∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1， ∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°. 則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K， 則KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝， ∴拋物線方程為y2＝3x. 6． 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物

36、線于A，B兩點(diǎn)． (1)若＝2，求直線AB的斜率； (2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值． 解　(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得 y2－4my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. ① 因?yàn)椋?，所以y1＝－2y2. ② 聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)， 從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等， 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因?yàn)?S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2| ＝＝4， 所以當(dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.