高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.8

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1、 精品資料 8.8　曲線與方程 1． 曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解． (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 2． 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)． (3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式． (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，

2、選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程． 3． 兩曲線的交點(diǎn) (1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)． (2)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解．可見，求曲線的交點(diǎn)問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問題． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)

3、＝0上的充要條件． (　√　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線． (　　) (3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2. (　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線． (　　) 2． 若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為 (　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案　D 解析　依題意，點(diǎn)P到直線x＝－2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 3． 已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，

4、Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是 (　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 答案　D 解析　由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 4． 已知點(diǎn)A(－2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝x2－6，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________． 答案　y2＝x 解析?。?3－x，－y)，＝(－2－x，－y)， ∴＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x. 5

5、． 已知兩定點(diǎn)A(－2,0)、B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為________． 答案　4π 解析　設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得＝2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0. ∴P的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓． 即軌跡所包圍的面積等于4π. 題型一　定義法求軌跡方程 例1　已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線． 思維啟迪　利用兩圓內(nèi)、外切的充要條件找出

6、點(diǎn)M滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線的定義求解． 解　如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系． 由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則 由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1； 由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支． ∴a＝，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為－＝1 (x≤－)． 思維升華　求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的

7、方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量． 　已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是 (　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 答案　D 解析　由已知得，|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線． 題型二　相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程 例2　設(shè)直線x－y＝4a與拋物線y2＝4ax交于兩點(diǎn)A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求△ABC的重心的軌跡方程． 思維啟迪　設(shè)△ABC的重心坐標(biāo)為G(x，y)，利用重心坐標(biāo)公式建立x，y與△ABC

8、的頂點(diǎn)C的關(guān)系，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)(用x，y表示)代入拋物線方程即得所求． 解　設(shè)△ABC的重心為G(x，y)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程組： 消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0. ∴x1＋x2＝12a， y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a. 由于G(x，y)為△ABC的重心， ∴∴ 又點(diǎn)C(x0，y0)在拋物線上， ∴將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得： (3y－4a)2＝4a(3x－12a)， 即(y－)2＝(x－4a)． 又點(diǎn)C與A，B不重合，∴x≠(62)a， ∴△ABC

9、的重心的軌跡方程為(y－)2＝(x－4a)(x≠(62)a)． 思維升華　“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟： (1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)； (2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 　設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程． 解　設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y

10、0)， ∴，即. ∴－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x. 題型三　直接法求軌跡方程 例3　(2013陜西)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程； (2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點(diǎn)． 思維啟迪　(1)利用曲線的求法求解軌跡方程，但要注意結(jié)合圖形尋求等量關(guān)系； (2)設(shè)出直線方程，結(jié)合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，要特別注意判別式與位置關(guān)系的聯(lián)系． (1)解　如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O

11、1(x，y)，由題意，得|O1A|＝|O1M|， 當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中 點(diǎn)， ∴|O1M|＝， 又|O1A|＝， ∴＝， 化簡得y2＝8x(x≠0)． 又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2＝8x， ∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x. (2)證明　由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，

12、 ① x1x2＝， ② 因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線，所以＝－， 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③ 將①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此時(shí)Δ>0， ∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(diǎn)(1,0)． 思維升華　直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性．通常將步驟簡記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、

13、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略．如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步．求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性． 　如圖所示，過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x 軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程． 解　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， ∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)． ∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)． 由已知＝0， ∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 即x＋2y－5＝0. ∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為 x＋2y－5＝0. 分類討論思想在曲線與方程中

14、的應(yīng)用 典例：(15分)已知拋物線y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)M(2，－2)，橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為. (1)求拋物線與橢圓的方程； (2)若P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，＝λ(λ≠0)，試求Q的軌跡． 思維啟迪　由含參數(shù)的方程討論曲線類型時(shí)，關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，一般情況下，分類標(biāo)準(zhǔn)的確立有兩點(diǎn)：一是二次項(xiàng)系數(shù)分別為0時(shí)的參數(shù)值，二是二次項(xiàng)系數(shù)相等時(shí)的參數(shù)值，然后確定分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論，討論時(shí)注意表述準(zhǔn)確． 規(guī)范解答 解　(1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)M(2，－2)， 所以(－2)2＝4p，解得p＝2. [

15、2分] 所以拋物線的方程為y2＝4x，其焦點(diǎn)為F(1,0)， 即橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，得c＝1. 又橢圓的離心率為，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1. [6分] (2)設(shè)Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，設(shè)P(x，y0)， 因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，所以＋＝1， 解得y＝3－x2.由＝λ可得＝λ2， 故＝λ2. 得(λ2－)x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]． [9分] 當(dāng)λ2＝，即λ＝時(shí)， 得y2＝12，點(diǎn)Q的軌跡方程為y＝2，x∈[－2,2]， 此軌跡是兩條平行于x軸的線段； [1

16、1分] 當(dāng)λ2<，即0<λ<時(shí)，得到＋＝1， 此軌跡表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足x∈[－2,2]的部分； [13分] 當(dāng)λ2>，即λ>時(shí)，得到＋＝1， 此軌跡表示長軸在x軸上的橢圓滿足x∈[－2,2]的部分． [15分] 溫馨提醒　此題求軌跡既有直接法，又有相關(guān)點(diǎn)法．求出軌跡方程后，容易忽略x的范圍，導(dǎo)致軌跡圖形出錯(cuò)． 備考建議：(1)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡的問題． (2)對(duì)常見的曲線特征要熟悉掌握． (3)除此之外，正確進(jìn)行化簡與計(jì)算是必須具備的基本能力. 方法與技巧 求軌跡的常用方法 (1)直接法： 如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距

17、離與角)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程． (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)． (3)定義法： 其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)： 當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)．如果相關(guān)點(diǎn)P所滿足某一曲線方程，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代入曲線方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相

18、關(guān)點(diǎn)法或代入法． 失誤與防范 1． 求軌跡方程時(shí)，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意義． 2． 求點(diǎn)的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題中正確的是 (　　) A．滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上 B．方程f(x，y)＝0是曲線C的方程 C．方程f(x，

19、y)＝0所表示的曲線不一定是C D．以上說法都正確 答案　C 解析　曲線C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲線上的某一小段，因此只有C正確． 2． 設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為 (　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 答案　A 解析　設(shè)圓C的半徑為r，則圓心C到直線y＝0的距離為r.由兩圓外切可得，圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離為r＋1，也就是說，圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y＝0的距離大1，故點(diǎn)C到點(diǎn)(0,3)的距離和它到直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的特征，故點(diǎn)C的軌跡為拋物線． 3． 設(shè)

20、點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為 (　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 答案　D 解析　由題意知P到圓心(1,0)的距離為， ∴P的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝2. 4． △ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 (x>3) D.－＝1 (x>4) 答案　C 解析　如圖，|AD|

21、＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲 線的右支，方程為－＝1 (x>3)． 5． 有一動(dòng)圓P恒過定點(diǎn)F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B，若△ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為 (　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 答案　D 解析　設(shè)P(x，y)，動(dòng)圓P的半徑為R， 由于△ABP為正三角形， ∴P到y(tǒng)軸的距離d＝R，即|x|＝R. 而R＝|PF|＝， ∴|x|＝. 整理得(x＋3a)

22、2－3y2＝12a2，即－＝1. ∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線． 二、填空題 6． 設(shè)P是圓x2＋y2＝100上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(8,0)，線段AP的垂直平分線交半徑OP于M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡為__________． 答案　橢圓 解析　如圖，設(shè)M(x，y)，由于l是AP的垂直平分線，于是|AM|＝ |PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA| ＝10，也就是說，動(dòng)點(diǎn)M到O(0,0)及A(8,0 )的距離之和是10，故 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)(0,0)、A(8,0)為焦點(diǎn)，中心在(4,0)，長半軸長 是5的橢圓． 7． 已知△ABC的頂點(diǎn)B(0

23、,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________________． 答案　(x－10)2＋y2＝36(y≠0) 解析　設(shè)A(x，y)，則D(，)， ∴|CD|＝ ＝3， 化簡得(x－10)2＋y2＝36， 由于A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形， ∴A不能落在x軸上，即y≠0. 8． P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________________． 答案?。? 解析　由于＝＋， 又＋＝＝2＝－2， 設(shè)Q(x，y)，則＝－ ＝(－，－)， 即P點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－)， 又P在橢

24、圓上，則有＋＝1上， 即＋＝1. 三、解答題 9． 已知曲線E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過點(diǎn)M(，0)的直線l與曲線E交于點(diǎn)A，B，且＝－2.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2)，求曲線E的方程． 解　設(shè)A(x0，y0)，∵B(0,2)，M(，0)， 故＝(－，2)，＝(x0－，y0)． 由于＝－2，∴(－，2)＝－2(x0－，y0)． ∴x0＝，y0＝－1，即A(，－1)． ∵A，B都在曲線E上，∴， 解得.∴曲線E的方程為x2＋＝1. 10．已知點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝9上的任意一點(diǎn)，過P作PD垂直x軸于D，動(dòng)點(diǎn)Q滿足＝. (1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程； (2)已知

25、點(diǎn)E(1,1)，在動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的點(diǎn)M、N，使＝(＋)(O是坐標(biāo)原點(diǎn))．若存在，求出直線MN的方程；若不存在，請說明理由． 解　(1)設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，依題意， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x0,0)， ∴＝(x－x0，y)，＝(0，y0)， 又＝，∴，即. ∵P在圓O上，故x＋y＝9，∴＋＝1. ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為＋＝1. (2)存在．假設(shè)橢圓＋＝1上存在兩個(gè)不重合的點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)滿足＝(＋)， 則E(1,1)是線段MN的中點(diǎn)， 且有，即. 又M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓＋＝1上， ∴，兩式相減， 得＋＝0.

26、 ∴kMN＝＝－， ∴直線MN的方程為4x＋9y－13＝0. ∴橢圓上存在點(diǎn)M、N滿足＝(＋)， 此時(shí)直線MN的方程為4x＋9y－13＝0. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1． 已知定點(diǎn)P(x0，y0)不在直線l：f(x，y)＝0上，則方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一條(　　) A．過點(diǎn)P且平行于l的直線 B．過點(diǎn)P且垂直于l的直線 C．不過點(diǎn)P但平行于l的直線 D．不過點(diǎn)P但垂直于l的直線 答案　A 解析　由題意知f(x0，y0)≠0，又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0， ∴直線f(x，y)＝0與直線f(x，y)－f(x0，y0)＝0平行

27、， 且點(diǎn)P在直線f(x，y)－f(x0，y0)＝0上． 2． 平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足＝λ1＋λ2(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是 (　　) A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線 答案　A 解析　設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)， ∵＝λ1＋λ2，∴， 又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一條直線． 3． 點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是 (　　

28、) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案　A 解析　如圖，延長F2M交F1P延長線于N. ∵|PF2|＝|PN|，∴|F1N|＝2a. 連接OM，則在△NF1F2中，OM為中位線， 則|OM|＝|F1N|＝a. ∴M的軌跡是圓． 4． 已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是______________． 答案　x2＋y2＝4 (x≠2) 解析　設(shè)P(x，y)，因?yàn)椤鱉PN為直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.

29、 ∵M(jìn)，N，P不共線，∴x≠2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4 (x≠2)． 5． 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M在AB上，且 AM＝AB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平 方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程是____________． 答案　y2＝x－ 解析　過P作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連接PH、 PM，可證PH⊥A1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1， 得x2＋1－＝1， 化簡得y2＝x－. 6． 如圖，DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長線上，

30、且|DM|＝2|DP|.當(dāng)點(diǎn)P 在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)時(shí)． (1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)T(0，t)作圓x2＋y2＝1的切線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求 △AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)． 解　(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝， ① 因?yàn)镻(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1. ② 將①代入②，得點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2＋＝1. (2)由題意知，|t|≥1. 當(dāng)t＝1時(shí)，切線l的方程為y＝1， 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(－，1)，(，1)

31、， 此時(shí)|AB|＝，當(dāng)t＝－1時(shí)，同理可得|AB|＝； 當(dāng)|t|>1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝kx＋t，k∈R， 由得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0. ③ 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由③得 x1＋x2＝－，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，即t2＝k2＋1， 所以|AB|＝ ＝ ＝. 因?yàn)閨AB|＝＝， 且當(dāng)t＝時(shí)，|AB|＝2，所以|AB|的最大值為2. 依題意，圓心O到直線AB的距離為圓x2＋y2＝1的半徑， 所以△AOB面積S的最大值為21＝1， 此時(shí)t＝，相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0，－)或(0，)．