高考數(shù)學浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.3

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1、 精品資料 §8.3　圓的方程 1． 圓的定義 在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓． 2． 確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑． 3． 圓的標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑． 4． 圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，其中圓心為，半徑r＝. 5． 確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為 (1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)

2、于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程． 6． 點與圓的位置關(guān)系 點和圓的位置關(guān)系有三種． 圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0) (1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)點在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)點在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (　√　) (2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以

3、AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (　√　) (3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓心為(－，－a)，半徑為的圓． (　×　) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (　√　) 2． 若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．－1<a<1 B．0<a<1

4、 C．a(chǎn)>1或a<－1 D．a(chǎn)＝±1 答案　A 解析　因為點(1,1)在圓的內(nèi)部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1. 3． (2012·遼寧)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是 (　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 答案　C 解析　因為圓心是(1,2)，所以將圓心坐標代入各選項驗證知選C. 4． 圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是 (　　) A．(2,3) B．(－2,

5、3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案　D 解析　圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標為，即(2，－3)． 5． 已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為______________． 答案　(x－2)2＋y2＝10 解析　設(shè)圓心坐標為(a,0)，易知＝，解得a＝2，∴圓心為(2,0)，半徑為，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. 題型一　求圓的方程 例1　根據(jù)下列條件，求圓的方程： (1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6； (2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1

6、＝0相切于點P(3，－2)． 思維啟迪　(1)設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解． (2)求圓心和半徑，確定圓的標準方程． 解　(1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P、Q兩點的坐標分別代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③ 設(shè)x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36， ④ 由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為 x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0. (2)方法一　如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)

7、，依題意得＝1， ∴x0＝1，即圓心坐標為(1，－4)，半徑r＝2， 故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二　設(shè)所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2， 根據(jù)已知條件得 解得 因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 思維升華　求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法： (1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量．確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)： ①圓心在過切點且垂直切線的直線上； ②圓心在任一弦的中垂線上； ③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線． (2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系

8、數(shù)法求解． 　與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0截得的弦長為2的圓的方程為__________________________________________． 答案　(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 解析　設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為， ∴r2＝()2＋()2，即2r2＝(a－b)2＋14. ① ∵所求的圓與x軸相切，∴r2＝b2. ② 又∵所求圓心在直線3x－y＝0上，∴3a－b＝0. ③ 聯(lián)立①②③，解得a

9、＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. 題型二　與圓有關(guān)的最值問題 例2　已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 思維啟迪　顯然實數(shù)x，y所確定的點在圓x2＋y2－4x＋1＝0上運動， 而則可看成是圓上的點與原點連線的斜率， y－x可以轉(zhuǎn)化為截距，x2＋y2可以看成是圓上點與原點距離的平方． 解　(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，以為半 徑的圓

10、． 設(shè)＝k，即y＝kx， 則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最 大、最小值． 由＝，解得k2＝3， ∴kmax＝，kmin＝－. (也可由平面幾何知識，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°) (2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，僅當直線y＝x＋b與圓切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式， 得＝，即b＝－2±， 故(y－x)min＝－2－. (3)x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，故連接OC， 與圓交于B點，并延長交圓于C′，則

11、 (x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4， (x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4. 思維升華　把有關(guān)式子進行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見，要注意熟記：(1)形如m＝的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題． 　已知兩點A(－1,0)，B(0,2)，點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是

12、 (　　) A．2，(4－) B.(4＋)，(4－) C.，4－ D.(＋2)，(－2) 答案　B 解析　如圖，圓心(1,0)到直線AB： 2x－y＋2＝0的距離為d＝， 故圓上的點P到直線AB的距離的最大值是＋1，最小值是－1， 又|AB|＝， 故△PAB面積的最大值和最小值分別是2＋，2－. 題型三　與圓有關(guān)的軌跡問題 例3　設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡． 思維啟迪　結(jié)合圖形尋求點P和點M坐標的關(guān)系，用相關(guān)點法(代入法)解決． 解　如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0

13、，y0)，則線段OP的中點坐標為， 線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相 平分， 故＝，＝.從而. N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但應(yīng)除去兩點和(點P在直線OM上的情況)． 思維升華　求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程． ②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程． ③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程． ④代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等． 　(2013·山東調(diào)研)如圖所示，已知P(

14、4,0)是圓x2＋y2＝ 36內(nèi)的一點，A，B是圓上兩動點，且滿足∠APB＝90°，求矩形 APBQ的頂點Q的軌跡方程． 解　設(shè)AB的中點為R，坐標為(x，y)，連接OR，PR， 則在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|. 又R是弦AB的中點，所以在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝ 36－(x2＋y2)． 又|AR|＝|PR|＝， 所以有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)， 即x2＋y2－4x－10＝0. 因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，點Q即在所求的軌跡上運動． 設(shè)Q(x，y)，R(x1，y1)，因為R是PQ的中點， 所以x

15、1＝，y1＝，代入方程x2＋y2－4x－10＝0， 得()2＋()2－4×－10＝0， 整理得x2＋y2＝56，此即為所求頂點Q的軌跡方程． 利用方程思想求解圓的問題 典例：(14分)已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑． 思維啟迪　(1)求圓心及半徑，關(guān)鍵是求m. (2)利用OP⊥OQ，建立關(guān)于m的方程求解． (3)利用x1x2＋y1y2＝0和根與系數(shù)的關(guān)系或利用圓的幾何性質(zhì)． 規(guī)范解答 解　方法一　將x＝3－2y， 代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0， 得5

16、y2－20y＋12＋m＝0. [2分] 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件： y1＋y2＝4，y1y2＝. [4分] ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝. [8分] 故＋＝0，解得m＝3， [12分] 此時Δ>0，圓心坐標為，半徑r＝. [14分] 方法二　如圖所示，設(shè)弦PQ中點為M， ∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2. [2分] ∴O1M的方程為y

17、－3＝2， 即y＝2x＋4.[5分] 由方程組. 解得M的坐標為(－1,2)． [8分] 則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2. ∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2. 在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2. ∴＝2＋(3－2)2＋5. ∴m＝3. [12分] ∴半徑為，圓心坐標為. [14分] 方法三　設(shè)過P、Q的圓系方程為 x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0.

18、 [2分] 由OP⊥OQ知，點O(0,0)在圓上． ∴m－3λ＝0，即m＝3λ. [5分] ∴圓系方程可化為 x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0. 即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0. [8分] ∴圓心M，又圓心在PQ上． ∴－＋2(3－λ)－3＝0， ∴λ＝1，∴m＝3. [12分] ∴圓心坐標為，半徑為. [14分] 溫馨提醒　(1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算． (2)本題中三種解法都是用方程

19、思想求m值，即三種解法圍繞“列出m的方程”求m值． (3)本題的易錯點：不能正確構(gòu)建關(guān)于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計算錯誤. 方法與技巧 1． 確定一個圓的方程，需要三個獨立條件．“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數(shù)． 2． 解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算． 失誤與防范 1． 求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程． 2． 過圓外一定點，求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況． A組　專

20、項基礎(chǔ)訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 設(shè)圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，則原點與圓的位置關(guān)系是(　　) A．原點在圓上 B．原點在圓外 C．原點在圓內(nèi) D．不確定 答案　B 解析　將圓的一般方程化成標準方程為(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a， 因為0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0， 即>，所以原點在圓外． 2． 若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過(　　) A．第一象限 B．第二

21、象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為， 則a<0，b>0.直線y＝－x－，k＝－>0，－>0， 直線不經(jīng)過第四象限． 3． 圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為 (　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　設(shè)圓心坐標為(0，b)，則由題意知 ＝1，解得b＝2， 故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 4． 點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4

22、上任一點連線的中點的軌跡方程是 (　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 答案　A 解析　設(shè)圓上任一點坐標為(x0，y0)， x＋y＝4，連線中點坐標為(x，y)， 則?， 代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 5． 若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為 (　　) A．1 B．5 C．4 D．3＋2 答案　D

23、解析　由題意知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝0上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， ∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋ ≥3＋2 ＝3＋2， 當且僅當＝，即b＝2－，a＝－1時，等號成立． ∴＋的最小值為3＋2. 二、填空題 6． 如果直線l將圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐標原點O到直線l的最大距離為________． 答案　 解析　由題意，知直線l過圓心C(2，－3)， 當直線OC⊥l時，坐標原點到直線l的距離最大， |OC|＝＝. 7． 若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓，則m的取值范圍是________；

24、當半徑最大時，圓的方程為________． 答案　2<m<4　(x－1)2＋(y＋3)2＝1 解析　∵原方程可化為(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8， ∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0， ∴2<m<4. 當m＝3時，r最大為1， 圓的方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝1. 8． 已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________． 答案　(－∞，1) 解析　∵圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a， ∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，即a<

25、;5. 又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱， ∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1. 三、解答題 9． 一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程． 解　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ① 又因為圓過點A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0. ② 1＋9－D＋3E＋F＝0. ③ 解①②

26、③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0. 10．已知圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，且經(jīng)過點(9,6)，求圓C的方程． 解　因為圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)， 所以過點(4，－1)的直徑所在直線的斜率為－＝－6， 其方程為y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23. 又因為圓心在以(4，－1)，(9,6)兩點為端點的線段的中垂線y－＝－(x－)， 即5x＋7y－50＝0上， 由解得圓心為(3,5)， 所以半徑為＝， 故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－5)2＝37. B組　專項能力提

27、升 (時間：30分鐘) 1． (2012·湖北)過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 (　　) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 答案　A 解析　當圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件． 圓心O與P點連線的斜率k＝1， ∴過點P垂直于OP的直線方程為x＋y－2＝0. 2． 光線從A(1,1)出發(fā)，經(jīng)y軸反射到圓C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程為________． 答案　6－2 解

28、析　圓心坐標為C(5,7)，半徑為2，A(1,1)關(guān)于y軸的對稱點為A1(－1,1)， ∴最短路程為|A1C|－2＝6－2. 3． 設(shè)P為直線3x＋4y＋3＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為________． 答案　 解析　依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點C(1,1)，半徑是1， 易知|PC|的最小值等于圓心C(1,1)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，即＝2， 而四邊形PACB的面積等于 2S△PAC＝2×(|PA|·|AC|) ＝|PA|·

29、|AC|＝|PA|＝， 因此四邊形PACB的面積的最小值是＝. 4． 已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓x2＋y2＝4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為________． 答案　 解析　作出可行域D及圓x2＋y2＝4，如圖所示， 圖中陰影部分所在圓心角θ＝α－β所對的弧長即為所求． 易知圖中兩直線的斜率分別為、－，得tan α＝，tan β＝－， tan θ＝tan(α－β)＝＝1， 得θ＝，得弧長l＝θ·R＝×2＝(R為圓的半徑)． 5． (2013·課標全國Ⅱ)在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2. (1)

30、求圓心P的軌跡方程； (2)若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 解　(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. ∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1. ∴P點的軌跡方程為y2－x2＝1. (2)設(shè)P的坐標為(x0，y0)， 則＝，即|x0－y0|＝1. ∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1. ①當y0＝x0＋1時，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1. ∴∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3. ②當y0＝x0－1時，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1. ∴∴r2＝3. ∴圓P的方程為x2＋(y

31、＋1)2＝3. 綜上所述，圓P的方程為x2＋(y±1)2＝3. 6． 在以O(shè)為原點的直角坐標系中，點A(4，－3)為△OAB的直角頂點，已知|AB|＝2|OA|，且點B的縱坐標大于0. (1)求的坐標； (2)求圓x2－6x＋y2＋2y＝0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程． 解　(1)設(shè)＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0， 得解得或 若＝(－6，－8)，則yB＝－11與yB>0矛盾． 所以舍去．即＝(6,8)． (2)圓x2－6x＋y2＋2y＝0， 即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2， 其圓心為C(3，－1)，半徑r＝， ∵＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直線OB的方程為y＝x. 設(shè)圓心C(3，－1)關(guān)于直線y＝x的對稱點的坐標為(a，b)， 則解得 ∴所求的圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10.