2020高中數(shù)學 3.3第2課時雙曲線的簡單性質練習 北師大版選修21

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 第三章　3.3　第2課時 雙曲線的簡單性質 一、選擇題 1．下列曲線中離心率為的是(　　) A．－＝1　　　　　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 [答案]　B [解析]　雙曲線的離心率e＝＝＝＝，得＝，只有B選項符合，故選B． 2．雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 [答案]　C [解析]　雙曲線離心率e＝>，所以m>1，選C． 3．已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－

2、＝1 D．－＝1 [答案]　A [解析]　本題考查雙曲線標準方程的求法． 由題意知，焦距為10，∴c＝5， 又∵P(2,1)在雙曲線的漸近線上， ∴a＝2b，聯(lián)立得a2＝20，b2＝5， 故雙曲線方程－＝1，注意焦距為2c而不是c，雙曲線的漸近線方程的求法． 4．(2014山東理)已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A．xy＝0 B．xy＝0 C．x2y＝0 D．2xy＝0 [答案]　A [解析]　e＝＝，e＝＝， ∴ee＝＝1－()4＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 5

3、．(2015天津理，6)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(2，)，且雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4x的準線上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　D [解析]　雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，由點(2，)在漸近線上，所以＝，雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4x準線方程x＝－上，所以c＝，由此可解得a＝2，b＝，所以雙曲線方程為－＝1，故選D． 6．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，P為雙曲線上一點，且|PF1|＝3|PF2|，則該雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．

4、e＞2 B．1＜e≤2 C．e＞ D．e＜ [答案]　B [解析]　由題意，∴， ∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c， ∴e＝≤2，∴1b，∴∠B1F1B2＝60，

5、 ∴∠B1F1O＝30.在△B1OF1中，＝tan30， ∴＝. ∴＝.∴1－＝，∴＝. ∴e2＝＝，∴e＝. 三、解答題 9．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)過點A(，)，且點A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程． [解析]　雙曲線－＝1的兩漸近線的方程為bxay＝0. 點A到兩漸近線的距離分別為 d1＝，d2＝ 已知d1d2＝，故＝① 又A在雙曲線上，則 14b2－5a2＝a2b2② ②代入①，得3a2b2＝4a2＋4b2③ 聯(lián)立②、③解得b2＝2，a2＝4. 故所求雙曲線方程為－＝1. 10．如圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：－＝1(a，b>

6、0)的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|＝|F1F2|，求C的離心率． [解析]　本題考查雙曲線的幾何性質． F1(－c,0)，B(0，b)． ∴k＝，那直線F1B方程為y＝x＋b， 聯(lián)立， 得P點坐標(，)． Q點坐標為(，)，中點N的坐標為(，)， ∴MN的直線方程為y－＝－(x－)． 令y＝0，∴x＝， 又由|MF2|＝|F1F2|知＝3C． ∴a2＝2b2，∴＋1＝e2＝. ∴e＝. 一、選擇題 1．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m等于(　　)

7、 A．－　 B．－4 C．4 D． [答案]　A [解析]　雙曲線方程化為標準形式：y2－＝1， 則有：a2＝1，b2＝－， 由題設條件知，2＝，∴m＝－. 2．已知雙曲線kx2－y2＝1的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，則這個雙曲線的離心率是(　　) A．　　　　 B． C． D． [答案]　D [解析]　由2x＋y＋1＝0，知此直線的斜率k1＝－2，則給定的雙曲線的一條漸近線的斜率為k2＝.而雙曲線的一條漸近線為y＝x，則k＝，∴e＝＝＝，故選D． 3．已知雙曲線－＝1，過其右焦點F的直線交雙曲線于P、Q兩點，PQ的垂直平分線交x軸于點M，則的值為(　　)

8、A．　　　　 B． C． D． [答案]　B [解析]　依題意，將直線PQ特殊化為x軸，于是有點P(－3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0)，＝，選B． 4．已知雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在該雙曲線上，則等于(　　) A．－12　 B．－2 C．0 D．4 [答案]　C [解析]　由漸近線方程y＝x，得b＝，把點P(，y0)代入－＝1中，得y0＝1.不妨取P(，1)，∵F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，∴＝(－2－，－1)(2－，－1)＝3－4＋1＝0. 二、填空題 5．若雙曲線－＝1(b>0)的

9、漸近線方程為y＝x，則b等于________________． [答案]　1 [解析]　雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，又漸近線方程為y＝x，故b＝1. 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)、F2(c,0)，若雙曲線上存在點P使＝，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________________． [答案]　(1，＋1) [解析]　考查雙曲線的性質． 不妨設P為雙曲線右支上一點，由正弦定理可得 ＝＝，∴＝e，故＝＝e－1， 而PF2＝>c－a，即>e－1，∴e<＋1， 又∵e>1，∴1

10、2＝a2及其上一點P，求證： (1)P到它兩個焦點的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方； (2)過P作兩漸近線的垂線，構成的矩形面積為定值． [證明]　(1)設P(x0，y0)，則x－y＝a2， 又F1(－a,0)、F2(a,0)， ∴|PF1||PF2| ＝ ＝ ＝|x0＋a||x0－a|＝|2x－a2| ＝|x＋y|＝|PO|2. (2)設垂足分別為Q、R，則由點到直線距離公式知 |PQ|＝，|PR|＝， ∴SPQOR＝|PQ||PR|＝|x－y|＝a2(定值)． [總結反思]　證定值問題亦可從特殊值出發(fā)找出定值，然后再進行論證． 8．在平面直角坐標系xOy中

11、，已知雙曲線C：2x2－y2＝1. (1)F是C的左焦點，M是C右支上一點．若|MF|＝2，求點M的坐標； (2)過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積； (3)設斜率為k(|k|<)的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ. [解析]　(1)雙曲線C：－y2＝1，左焦點F(－，0)． 設M(x，y)，則|MF|2＝(x＋)2＋y2＝(x＋)2， 由M點是右支上一點，知x≥，所以|MF|＝x＋＝2，解得x＝，所以M(，)． (2)左頂點A(－，0)，漸近線方程：y＝x. 過點A與漸近線y＝x平行的直線方程為：y＝(x＋)，即y＝x＋1. 解方程組得 所求平行四邊形的面積為S＝|OA||y|＝. (3)設直線PQ的方程是y＝kx＋b，因直線PQ與已知圓相切，故＝1，即b2＝k2＋1　(*)． 由得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，所以 ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 ＝＋＋b2 ＝. 由(*)知，＝0，所以OP⊥OQ.