高中數(shù)學北師大版選修22 第2章 單元綜合檢測 Word版含解析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學資料 第二章　單元綜合檢測 (時間120分鐘　　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1． 若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用．由y′＝2x＋a，得y′＝2x＋a＝a＝1，將(0，b)代入切線方程得b＝1，故選A. 答案：A　 2． 若曲線y＝x3＋ax2＋x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－]∪[1，＋∞) B．

2、(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．[－，＋∞) 解析：本題主要考查切線斜率的求解及一元二次方程判別式的應(yīng)用．令y＝x3＋ax2＋x＝f(x)，由f′(x)＝x2＋2ax＋1，∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)＝0有解，即x2＋2ax＋1＝0有解，∴Δ＝(2a)2－4≥0，∴a≥1或a≤－1，即a的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故選B. 答案：B　 3． 若函數(shù)y＝(m>0)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)等于0，那么x0＝(　　) A．m B．－m C．－m和m D．m2 解析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)運算法則確定函數(shù)解析式的能力．由y

3、′＝(x＋)′＝1－，結(jié)合題意得1－＝0?x＝m2?x0＝±m，故選C. 答案：C　 4． 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲線過原點，且在點(1，f(1))和點(－1，f(－1))處的切線斜率均為－2，則f(x)的奇偶性為(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)運算法則及待定系數(shù)法的應(yīng)用． ∵f(0)＝0，∴c＝0.∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴，解得a＝0，b＝－5， ∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)為奇函數(shù)，故選A. 答案：A　 5． 已知f

4、(x)＝logax(a>1)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，記A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，則(　　) A．A>B>C B．A>C>B C．B>A>C D．C>B>A 解析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義比較切線與割線的斜率大?。汳(2，f(2))，N(3，f(3))，則由于B＝f(3)－f(2)＝表示直線MN的斜率，A＝f′(2)表示函數(shù)f(x)＝logax在點M處的切線的斜率，C＝f′(3)表示函數(shù)f(x)＝logax在點N處的切線的斜率．由f(x)的圖像易得A>B>C，故選A. 答案：A　 6．

5、 [2014·河南省六市聯(lián)考]若過函數(shù)f(x)＝lnx＋ax上的點P的切線與直線2x－y＝0平行，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率及兩直線平行的條件等知識．設(shè)過點P(x0，y0)的切線與直線2x－y＝0平行，因為f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由題意知x0>0，所以a＝2－<2，故選B. 答案：B　 7． 曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　) A． B． C． D．1 解析：

6、依題意得y′＝e－2x×(－2)＝－2e－2x，y′＝－2e－2×0＝－2，曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐標系畫出直線y＝－2x＋2、y＝0與y＝x，注意到直線y＝－2x＋2與y＝x的交點坐標是，直線y＝－2x＋2與x軸的交點坐標是(1,0)，結(jié)合圖形不難得知，這三條直線所圍成的三角形的面積＝×1×＝，故選A. 答案：A　 8． 設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)－ω(ω>0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最大值為3，則f(x)的最大值為(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 解析：本題主

7、要考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．由f′(x)＝ωcos(ωx＋)的最大值為3，得ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋)－3，則f(x)的最大值為－2，故選C. 答案：C　 9. 函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像過原點，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像是如圖所示的一條直線，則(　　) A．－>0，>0 B．－<0，>0 C．－>0，<0 D．－<0，<0 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)運算法則及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像過原點，則c＝0，于是f(x)＝ax2＋bx，則f′(x)＝2ax＋b，圖像是

8、直線，結(jié)合f′(x)的圖像可知，a<0，b>0.所以－>0，＝－>0，故選A. 答案：A　 10. [2014·陜西省西安交大附中月考]已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f′(e)＝(　　) A． B．e C．－ D．－e 解析：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及解方程思想．由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋，則f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－，故選C. 答案：C　 11. [2014·河南省信陽高中模考]設(shè)點P在曲線y＝ex上，點Q在

9、曲線y＝1－(x>0)上，則|PQ|的最小值為(　　) A．(e－1) B．(e－1) C． D． 解析：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、兩平行線距離的概念和兩點間距離公式等．設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)．曲線y＝ex在點P(x1，y1)處的切線斜率為y′＝ex1，曲線y＝1－(x>0)在點Q(x2，y2)處的切線斜率為y′＝，結(jié)合圖像可知，當ex1＝時，|PQ|的值最小，此時x1＝0，x2＝1，于是P(0,1)，Q(1,0)，|PQ|的最小值為，故選D. 答案：D　 12. 函數(shù)f(x)＝x2＋bx的圖像在點A(1，f(1))處的切線l的斜率為3，若數(shù)列{an}滿

10、足an＝，則數(shù)列{an}的前2014項和S2014的值為(　　) A． B． C． D． 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與數(shù)列的求和的相關(guān)知識．∵f(x)＝x2＋bx，∴f′(x)＝2x＋b，由條件知f′(1)＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴an＝＝＝－，∴Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝，∴S2014＝，故選C. 答案：C　 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. [2014·江西高考]若曲線y＝xlnx上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． 解析：令f(x)＝xlnx，則f′(x)＝lnx＋1，設(shè)

11、P(x0，y0)，則f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，此時y0＝x0lnx0＝elne＝e，∴點P的坐標為(e，e)． 答案：(e，e) 14. 已知函數(shù)g(x)＝x3－x2(x>0)，h(x)＝ex－x，p(x)＝cos2x(0<x<π)的導(dǎo)函數(shù)分別為g′(x)，h′(x)，p′(x)，其零點依次為x1，x2，x3，則將x1，x2，x3按從小到大用“<”連接起來為________． 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)運算法則及函數(shù)零點的概念．由g′(x)＝3x2－2x＝0得x＝0或x＝，∵x>0，∴x＝；由h′(x)＝ex－1＝0得x＝0；由p′(x)＝－2

12、sin2x＝0，得2x＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，∵0<x<π，∴x＝.∴x1＝，x2＝0，x3＝，故有x2<x1<x3. 答案： x2<x1<x3 15. 點P是函數(shù)y＝x＋x(x>0)圖像上的動點，且在點P處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________． 解析：依題意得y＝x＋x，y′＝x＋x－(x>0)，又當x>0時，y′＝x＋x－≥2 ＝，即圖像在點P處的切線的斜率不小于，即tanθ≥，又θ∈[0，π)，因此≤θ<，即θ的取值范圍是. 答案： 16. 已知曲線y＝(1－x)xn(n∈N*)在點(2，

13、－2n)處的切線的縱截距為bn，則數(shù)列{bn}的通項公式是________． 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式與數(shù)列通項公式等相關(guān)知識．∵y＝xn(1－x)(n∈N*)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.y′＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.又點(2，－2n)在切線上，∴曲線在點(2，－2n)處的切線方程為y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，∴bn＝(n＋1)·2n(n∈N*)． 答案： bn＝(n＋1)·2n(n∈

14、N*) 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x(x2＋＋)； (2)y＝(＋1)(－1)； (3)y＝xtanx； (4)y＝x－sincos； (5)y＝3lnx＋ax(a>0，且a≠1)． 解：(1)∵y＝x(x2＋＋)＝x3＋1＋， ∴y′＝3x2－. (2)∵y＝·－＋－1＝－＋， ∴y′＝(－＋)′＝－＋＝－(1＋)． (3)y′＝(xtanx)′＝()′ ＝ ＝＝. (4)y′＝(x－sincos)′＝(x－sinx)′ ＝1－cosx. (5)y′＝(3lnx＋ax)′＝＋axln

15、a. 18．(12分)[2014·福建省南平市?？糫為了預(yù)防H7N9禽流感，某養(yǎng)雞場每天對雞房使用殺菌劑消毒，如果使用殺菌劑t小時后的有毒細菌數(shù)量為b(t)＝1000(－t2＋10t＋1)(0≤t<24)． (1)求有毒細菌繁殖的速度； (2)求b′(5)的值，并說明它表示的實際意義． 解： (1)設(shè)有毒細菌繁殖的速度為v，即為b(t)對t的導(dǎo)數(shù)， 則v＝b′(t)＝1000(－2t＋10)． (2)b′(5)＝1000(－2×5＋10)＝0， 它的實際意義表示有毒細菌在t＝5時繁殖的瞬時速度為0. 19．(12分)求滿足下列條件的函數(shù)f(x)． (

16、1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f(x)是二次函數(shù)，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. 解： (1)由題意設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由已知， 解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3， 故f(x)＝x3－3x2＋3. (2)由題意設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b. 所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 化簡得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1， 此式對任意x都成立，所以， 得a＝2，

17、b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1. 20．(12分)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2lnx(a∈R)在點(1，f(1))處的切線l與圓C：x2＋y2＝1相切，求a的值及切線l的方程． 解： 依題意有f(1)＝a， f′(x)＝2ax＋，∴f′(1)＝2a＋2. ∴直線l的方程為y－a＝(2a＋2)(x－1)， 即(2a＋2)x－y－a－2＝0.(*) ∵l與圓C相切，∴＝1，解得a＝－1或a＝－. 把a＝－1或a＝－代入(*)式并整理得切線l的方程為y＝－1或4x－3y－5＝0. 21．(12分)有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上端下滑的距離s(單位：m)關(guān)于時間t(

18、單位：s)的函數(shù)為s＝s(t)＝5－.求函數(shù)在t＝時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義． 解： 函數(shù)s＝5－是由函數(shù)f(x)＝5－和函數(shù)x＝φ(t)＝25－9t2復(fù)合而成的，其中x是中間變量． 由導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(x)＝－x－，φ′(t)＝－18t. 再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 s′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝－x－·(－18t)＝， 將t＝代入s′(t)，得s′()＝0.875. 它表示當t＝時，梯子上端下滑的速度為0.875 m/s. 22．(12分)[2014·山東高考]設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋，其中a為常數(shù)． (1)若a＝0，求曲線y＝f(x)在點

19、(1，f(1))處的切線方程； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解：(1)由題意知a＝0時，f(x)＝，x∈(0，＋∞)， 此時f′(x)＝. 可得f′(1)＝，又f(1)＝0， 所以曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x－2y－1＝0. (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝＋＝. 當a≥0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 當a<0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)． ①當a＝－時，Δ＝0， f′(x)＝≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減

20、． ②當a<－時，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ③當－<a<0時，Δ>0， 設(shè)x1，x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點， 則x1＝，x2＝. 由于x1＝＝>0， 所以x∈(0，x1)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， x∈(x1，x2)時，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， x∈(x2，＋∞)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 綜上可得： 當a≥0時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當a≤－時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當－<a<0時， f(x)在， 上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增．