【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 曲線與方程學(xué)案 理

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1、第五十六課時(shí) 曲線與方程 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解坐標(biāo)法研究解析幾何問(wèn)題的基本思想，會(huì)根據(jù)條件求曲線的軌跡方程. 2.掌握常用的幾種求軌跡方程的方法． 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1． 曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關(guān)系： (1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是 ． (2)以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都 ．那么這個(gè)方程叫做 ，這條曲線叫做 ． 2． 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)

2、的坐標(biāo)系． (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)． (3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式． (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程． 3． 兩曲線的交點(diǎn) (1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)． (2)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解．可見(jiàn)，求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解

3、問(wèn)題． 4.求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)； (3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用

4、時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 預(yù)習(xí)自測(cè) 1． 已知點(diǎn)A(－2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝x2－6，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________． 2． 已知兩定點(diǎn)A(－2,0)、B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為_(kāi)_______． 3． 方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲線是 (　　) A．兩條直線 B．兩條射線 C．兩條線段 D．一條直線和一條射線 4． 已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)

5、，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是 (　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 5． 若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為 (　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 第五十六課時(shí) 曲線與方程（課堂探究案） 典型例題 考點(diǎn)1 　直接法求軌跡方程 【典例1】已知M(4,0)，N(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足·＝6||. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求

6、Q到直線l：x＋2y－12＝0的距離的最小值． 【變式1】 如圖所示，過(guò)點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x 軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程． 考點(diǎn)2 　定義法求軌跡方程 【典例2】已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線． 【變式2】如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線 段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平

7、面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C： (x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線E. (1)證明曲線E是橢圓，并寫(xiě)出當(dāng)a＝2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e∈，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍． 考點(diǎn)3　相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程 【典例3】設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程． 【變式3】已知長(zhǎng)為1＋的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且＝，求點(diǎn)P的軌跡C的方程． 當(dāng)堂檢測(cè) 1．

8、 方程(x2＋y2－4)＝0的曲線形狀是 (　　) 2． △ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 (x>3) D.－＝1 (x>4) 3． 平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足＝λ1＋λ2(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是 (　　) A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線 4． 動(dòng)點(diǎn)P為橢圓＋＝1 (a>

9、;b>0)上異于橢圓頂點(diǎn)(±a,0)的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)圓C與線段F1P、F1F2的延長(zhǎng)線及線段PF2相切，則圓心C的軌跡為 (　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 第五十六課時(shí) 曲線與方程 課后拓展案 A組全員必做題 1． 已知點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為 (　　) A．x2－＝1 (x>1) B．x2－＝1 (x<－1) C．x2＋＝1 (x>0)

10、 D．x2－＝1 (x>1) 2． 有一動(dòng)圓P恒過(guò)定點(diǎn)F(a,0) (a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B，若△ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為 (　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 3． 點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是 (　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 4． P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是__________

11、____． 5． 已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是______________． B組提高選做題 1． 過(guò)橢圓＋＝1 (a>b>0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是____________． 2． 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在AB上，且 AM＝AB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平 方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程是____________． 3．已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y

12、＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若＝，求點(diǎn)P的軌跡方程． 4．如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝|PD|. (1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．  參考答案 預(yù)習(xí)自測(cè) 1．【答案】y2＝x 【解析】＝(3－x，－y)，＝(－2－x，－y)， ∴·＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x. 2．【答案】　4π 【解析】設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2， ∴3x2＋3y2－12x＝0

13、，即x2＋y2－4x＝0. ∴P的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓．即軌跡所包圍的面積等于4π. 3．【答案】D 【解析】原方程可化為或－1＝0， 即2x＋3y－1＝0 (x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線． 4．【答案】D 【解析】由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 5．【答案】D 【解析】依題意，點(diǎn)P到直線x＝－2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線. 典型例題 【典例1】　(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)， 則＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，

14、－y)， 由已知得－3(x－4)＝6， 化簡(jiǎn)得3x2＋4y2＝12，即＋＝1. ∴點(diǎn)P的軌跡是橢圓C：＋＝1. (2)由幾何性質(zhì)意義知，l與平行于l的橢圓C的切線l′的距離等于Q與l的距離的最小值．設(shè)l′：x＋2y＋D＝0.將其代入橢圓方程消去x，化簡(jiǎn)得：16y2＋12Dy＋3(D2－4)＝0. ∴Δ＝144D2－192(D2－4)＝0?D＝±4， l′和l的距離的最小值為. ∴點(diǎn)Q與l的距離的最小值為. 【變式1】 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， ∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)． ∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y

15、－4)． 由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 即x＋2y－5＝0. ∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x＋2y－5＝0. 【典例2】如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系． 由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則 由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1； 由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3.∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的左支． ∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為－＝1 (x≤－)

16、． 【變式2】(1)證明　依題意，直線m為線段AM的垂直平分線， ∴|NA|＝|NM|. ∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2， ∴N的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2的橢圓． 當(dāng)a＝2時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4，焦距為2c＝2， ∴b2＝a2－c2＝3. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)解　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (a>b>0)． 由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)， ∴直線l的方程為＋＝1.即bx－y＋b＝0. 設(shè)Q(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l對(duì)稱， ∴　消去x得y＝.

17、∵離心率e∈，∴≤e2≤，即≤≤.∴≤a2≤4. ∴≤b2＋1≤4，即≤b≤， ∵y＝＝≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)取等號(hào)． 又當(dāng)b＝時(shí)，y＝；當(dāng)b＝時(shí)，y＝，∴≤y≤2. ∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是[，2]． 【典例3】設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴，即. ∴－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x. 【變式3】設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝，又＝(x－x

18、0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因?yàn)閨AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化簡(jiǎn)得＋y2＝1.∴點(diǎn)P的軌跡方程為＋y2＝1. 當(dāng)堂檢測(cè) 1． 【答案】　C 【解析】　由題意可得x＋y＋1＝0或它表示直線x＋y＋1＝0和圓x2＋y2－4＝0在直線x＋y＋1＝0右上方的部分． 2．【答案】　C 【解析】如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙

19、曲 線的右支，方程為－＝1 (x>3)． 3． 【答案】　A 【解析】　設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)， ∵＝λ1＋λ2，∴，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一條直線． 4． 【答案】　D 【解析】　如圖所示，設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為M、N、Q. ∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝ 2a， ∴|F2N|＝a－c，∴N點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)， ∴CN⊥x軸，∴圓心C的軌跡為直線． A組全員必做題 1．【答案】　A 【解析】　設(shè)另兩個(gè)切點(diǎn)為E、F，如圖所示，則|

20、PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|， |NF|＝|NB|. 從而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以P的 軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支．a(chǎn)＝1，c＝3， ∴b2＝8.故方程為x2－＝1 (x>1)． 2．【答案】　B 【解析】　設(shè)P(x，y)，動(dòng)圓P的半徑為R，由于△ABP為正三角形， ∴P到y(tǒng)軸的距離d＝R，即|x|＝R. 而R＝|PF|＝，∴|x|＝·. 整理得：(x＋3a)2－3y2＝12a2，即－＝1. ∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線． 3．【答案】　A 【解析】　如圖，延長(zhǎng)F2M

21、交F1P延長(zhǎng)線于N. ∵|PF2|＝|PN|，∴|F1N|＝2a. 連接OM，則在△NF1F2中，OM為中位線， 則|OM|＝|F1N|＝a.∴M的軌跡是圓． 4． 【答案】?。? 【解析】　由＝＋，又＋＝＝2＝－2， 設(shè)Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝， 即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上， 則有＋＝1，即＋＝1. 5．【答案】　x2＋y2＝4 (x≠±2) 【解析】　設(shè)P(x，y)，因?yàn)椤鱉PN為直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4. ∵M(jìn)，N，P不共線，∴x≠

22、7;2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4 (x≠±2)． B組提高選做題 1． 【答案】?。? 【解析】　設(shè)MN的中點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)M(x,2y)在橢圓上， ∴＋＝1，即＋＝1. 2．【答案】　y2＝x－ 【解析】　過(guò)P作PQ⊥AD于Q，再過(guò)Q作QH⊥A1D1于H，連接PH、 PM，可證PH⊥A1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1， 得x2＋1－＝1，化簡(jiǎn)得y2＝x－. 3．解　∵＝，∴R，A，P三點(diǎn)共線，且A為RP的中點(diǎn)， 設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，則由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，則， 即x1＝2－x，y1＝－y，將其代入直線y＝2x－4中，得y＝2x， ∴點(diǎn)P的軌跡方程為y＝2x. 4．解　(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)， 由已知得∵P在圓上， ∴x2＋(y)2＝25，即軌跡C的方程為＋＝1. (2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，即x2－3x－8＝0. ∴x1＝，x2＝. ∴線段AB的長(zhǎng)度為|AB|＝ ＝＝＝.