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1、【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第2節(jié) 圓與方程課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
圓的方程
2
直線與圓的位置關系
1、6、8、9、10、13、15、16
圓與圓的位置關系
3、4、14
與圓有關的最值問題
5、7、12
與圓有關的軌跡問題
11、15
一、選擇題
1.對任意的實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關系一定是( C )
(A)相離
(B)相切
(C)相交但直線不過圓心
(D)相交且直線過圓心
解析:直線y=kx+1恒過定點(0,1),且定點
2、(0,1)在圓x2+y2=2內(nèi),
故直線y=kx+1一定與圓相交.又圓心(0,0)不滿足方程y=kx+1,
∴直線與圓相交但不過圓心.
2.(2014合肥模擬)已知圓x2+y2-2x+my-4=0上兩點M、N關于直線2x+y=0對稱,則圓的半徑為( B )
(A)9 (B)3 (C)23 (D)2
解析:由題意知,圓心(1,-m2)在直線2x+y=0上,
∴2-12m=0,解得m=4;
∴圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=9,圓的半徑為3.
3.(2014青島模擬)過點P(2,3)向圓x2+y2=1作兩條切線PA、PB,則弦AB所在直線的方程為( B )
(A)2x-3y
3、-1=0 (B)2x+3y-1=0
(C)3x+2y-1=0 (D)3x-2y-1=0
解析:以PO為直徑的圓(x-1)2+(y-32)2=134與圓x2+y2=1的公共弦即為所求,直線方程為2x+3y-1=0.
4.(2013高考安徽卷)直線x+2y-5+5=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為( C )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)46
解析:直線與圓相交問題必考慮圓心到直線的距離,圓半徑及半弦長組成的直角三角形.由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圓心為(1,2),半徑為5,又圓心到直線的距離為|1+4-5+5|5=1,所以半弦長為
4、2,弦長為4.故選C.
5.(2014銀川模擬)過圓x2+y2=1上一點作圓的切線與x軸,y軸的正半軸交于A,B兩點,則|AB|的最小值為( C )
(A)2 (B)3 (C)2 (D)3
解析:設圓上的點為(x0,y0),其中x0>0,y0>0,則切線方程為x0x+y0y=1.分別令x=0,y=0得A(1x0,0),B(0,1y0),則|AB|=(1x0)2+(1y0)2=1x0y0≥1x02+y022=2.當且僅當x0=y0時,等號成立.
6.(2013高考山東卷)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A、B,則直線AB的方程為( A )
(A)2x+y-
5、3=0
(B)2x-y-3=0
(C)4x-y-3=0
(D)4x+y-3=0
解析:由圖知切點A(1,1),圓心坐標
C(1,0),
所以kCM=1-03-1=12.
易證CM⊥AB,
所以kAB=-2.
直線AB的方程為y-1=-2(x-1),
即2x+y-3=0.
7.(2014高考北京卷)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P,使得∠APB=90,則m的最大值為( B )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:由題意知以AB為直徑的圓與圓C有公共點,且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+
6、m即4≤m≤6.
故選B.
8.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為( B )
(A)52 (B)102 (C)152 (D)202
解析:圓的方程化為標準形式為(x-1)2+(y-3)2=10,由圓的性質(zhì)可知最長弦AC=210,最短弦BD恰以E(0,1)為中點,設點F為其圓心,坐標為(1,3).
故EF=5,
∴BD=210-(5)2=25,
∴S四邊形ABCD=12ACBD=102.
9.(2014高考福建卷)已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面區(qū)域Ω:x+y-7≤0,x-y+3≥0,y≥0.
7、若圓心C∈Ω,且圓C與x軸相切,則a2+b2的最大值為( C )
(A)5 (B)29 (C)37 (D)49
解析:作出不等式組x+y-7≤0,x-y+3≥0,y≥0表示的平面區(qū)域Ω(如圖陰影部分所示,含邊界),圓C:(x-a)2+(y-b)2=1的圓心坐標為(a,b),半徑為1.由圓C與x軸相切,得b=1.解方程組x+y-7=0,y=1,得x=6,y=1,即直線x+y-7=0與直線y=1的交點坐標為(6,1),設此點為P.
又點C∈Ω,則當點C與P重合時,a取得最大值,
所以,a2+b2的最大值為62+12=37.
二、填空題
10.(2014高考江蘇卷)在平面直角坐標系x
8、Oy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為 .
解析:由題意可得,圓心為(2,-1),r=2,圓心到直線的距離d=|2-2-3|12+22=355,
所以弦長為2r2-d2=24-95=2555.
答案:2555
11.(2014 浙江省瑞安十校聯(lián)考)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是 .
解析:設圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2,
又因為點Q在圓x2+y2=4上,
所以x02+y02=4,
即(2x-4)2+(
9、2y+2)2=4,
即(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:(x-2)2+(y+1)2=1
12.已知x,y滿足x2+y2=1,則y-2x-1的最小值為 .
解析:y-2x-1表示圓上的點P(x,y)與點Q(1,2)連線的斜率,
所以y-2x-1的最小值是當直線PQ與圓相切時的斜率.
設直線PQ的方程為y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0,
由|2-k|k2+1=1得k=34,
結合圖形可知y-2x-1≥34,
∴最小值為34.
答案:34
13.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,其中O為坐標
10、原點,則實數(shù)a的值為 .
解析:如圖,作平行四邊形OADB,則OA→+OB→=OD→,OA→-OB→=BA→,
∴|OD→|=|BA→|.
又|OA→|=|OB→|,
∴四邊形OADB為正方形.
∴a=2.
答案:2
14.在平面內(nèi),與點A(1,2)距離為1,與點B(3,1)距離為2的直線共有
條.
解析:與點A距離為1的直線是以A為圓心,1為半徑的圓的切線,同理與點B距離為2的直線是以B為圓心,2為半徑的圓的切線,即所求直線為兩圓的公切線,由于|AB|=5,所以兩圓相交,公切線有2條.
答案:2
三、解答題
15.已知圓C:x2+(y-2)2=5,直
11、線l:mx-y+1=0.
(1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同交點;
(2)若圓C與直線相交于點A和點B,求弦AB的中點M的軌跡方程.
(1)證明:法一 直線方程與圓的方程聯(lián)立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0,
∵Δ=4m2+16(m2+1)=20m2+16>0,
∴對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同交點.
法二 直線l:mx-y+1=0恒過定點(0,1),且點(0,1)在圓C:x2+(y-2)2=5內(nèi)部,
∴對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同交點.
(2)解:設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,
12、
得x1+x2=2mm2+1,∴x=mm2+1.
當x=0時m=0,點M(0,1),
當x≠0時,由mx-y+1=0,
得m=y-1x,
代入x=mm2+1,得x[(y-1x)2+1]=y-1x ,
化簡得x2+(y-32)2=14.
經(jīng)驗證(0,1)也符合,
∴弦AB的中點M的軌跡方程為x2+(y-32)2=14.
16.已知直線l:mx-(m2+1)y=4m(m∈R)和圓C:x2+y2-8x+4y+16=0,是否存在實數(shù)m,使得直線l將圓C分割成弧長的比值為12的兩段圓弧,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
解:直線l的方程可化為y=mm2+1x-4mm2+1,此時l的斜率k=mm2+1,因為|m|≤12(m2+1),
所以|k|=|m||m2+1|≤12,當且僅當|m|=1時等號成立,所以斜率k的取值范圍是[-12,12].
又y=mm2+1(x-4),
即l的方程為y=k(x-4),
其中|k|≤12,圓C的圓心為C(4,-2),半徑r=2;
圓心C到直線l的距離d=21+k2,
由|k|≤12,得2>d≥45>1,
即r>d>r2,
從而l與圓C相交,且直線l截圓C所得的弦所對的圓心角小于2π3,
所以l不能將圓C分割成弧長的比值為12的兩段弧.
【導與練】新課標高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第2節(jié) 圓與方程課時訓練 理
