高中數(shù)學(xué)人教A版必修二 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測評12 含答案

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評(十二) (建議用時：45分鐘) [達標必做] 一、選擇題 1．下列條件中,能使直線m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B．m⊥b,b∥α C．m∩b＝A,b⊥α D．m∥b,b⊥α 【解析】　由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確． 【答案】　D 2．如圖238,三棱錐PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,則直線PB和平面ABC所成的角是(　　) 圖238 A．∠BPA B．∠PBA C．∠PBC D．以上都不對 【解析】　由PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC＝B, 得PA⊥平面ABC

2、, 所以∠PBA為BP與平面ABC所成的角．故選B. 【答案】　B 3．已知直線m,n是異面直線,則過直線n且與直線m垂直的平面(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：09960073】 A．有且只有一個 B．至多一個 C．有一個或無數(shù)個 D．不存在 【解析】　若異面直線m、n垂直,則符合要求的平面有一個,否則不存在． 【答案】　B 4．在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 【解析】　如圖所示,連接BD交AC于點O,連接D1O,由于BB1∥DD1,∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易

3、知∠DD1O即為所求．設(shè)正方體的棱長為1,則DD1＝1,DO＝,D1O＝, ∴cos ∠DD1O＝＝＝. ∴BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為. 【答案】　D 5．(2015成都高二檢測)已知ABCDA1B1C1D1為正方體,下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1 【解析】　正方體中由BD∥B1D1,易知A正確； 由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1, 從而BD⊥AC1,即B正確； 由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C, 因此AC1⊥平面CB1D1,即C正確；

4、 由于四邊形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正確．故選D. 【答案】　D 二、填空題 6．(2016太原高一檢測)如圖239,平面α∩β＝CD,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,則CD與AB的位置關(guān)系是________． 圖239 【解析】　∵EA⊥α,CD?α, 根據(jù)直線和平面垂直的定義,則有CD⊥EA. 同樣,∵EB⊥β,CD?β,則有EB⊥CD. 又EA∩EB＝E, ∴CD⊥平面AEB. 又∵AB?平面AEB,∴CD⊥AB. 【答案】　CD⊥AB 7．如圖2310所示,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)有____

5、____． 圖2310 【解析】　? ?BC⊥平面PAC?BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 【答案】　4 三、解答題 8．如圖2311,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE. 圖2311 【證明】　∵AD⊥平面ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面ABE. 又AE?平面ABE,∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,∴AE⊥BF. 又∵BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC＝B, ∴AE⊥平面BCE. 又BE?平面BCE,∴AE⊥BE. 9．如圖

6、2312所示,三棱錐ASBC中,∠BSC＝90,∠ASB＝∠ASC＝60,SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成的角． 【導(dǎo)學(xué)號：09960074】 圖2312 【解】　因為∠ASB＝∠ASC＝60,SA＝SB＝SC, 所以△ASB與△SAC都是等邊三角形．因此AB＝AC. 如圖所示,取BC的中點D, 連接AD,SD,則AD⊥BC. 設(shè)SA＝a,則在Rt△SBC中,BC＝a,CD＝SD＝a. 在Rt△ADC中,AD＝＝a. 則AD2＋SD2＝SA2,所以AD⊥SD. 又BC∩SD＝D,所以AD⊥平面SBC. 因此∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角．

7、 在Rt△ASD中,SD＝AD＝a, 所以∠ASD＝45, 即直線AS與平面SBC所成的角為45. [自我挑戰(zhàn)] 10．(2015淮安高二檢測)如圖2313,四棱錐SABCD的底面ABCD為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中正確的有________個． 圖2313 ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角． 【解析】　因為SD⊥底面ABCD,所以AC⊥SD. 因為ABCD是正方形, 所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D, 所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SB,故①正確． 因為AB

8、∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD, 所以AB∥平面SCD,故②正確． 因為AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影, 所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正確． 因為AB∥CD, 所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角, 故④正確． 【答案】　4 11．如圖2314,AB為⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,M為圓周上任意一點,AN⊥PM,N為垂足. 【導(dǎo)學(xué)號：09960075】 (1)求證：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB,垂足為Q,求證：NQ⊥PB. 圖2314 【證明】　(1)∵AB為⊙O的直徑, ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A,∴BM⊥平面PAM. 又AN?平面PAM,∴BM⊥AN. 又AN⊥PM,且BM∩PM＝M,∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM, PB?平面PBM,∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB,AN∩AQ＝A, ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ?平面ANQ,∴PB⊥NQ.