陜西省某知名中學(xué)高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理重點(diǎn)班含解析2

《陜西省某知名中學(xué)高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理重點(diǎn)班含解析2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《陜西省某知名中學(xué)高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理重點(diǎn)班含解析2（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 陜西省黃陵中學(xué)2018屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理（重點(diǎn)班，含解斬） 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分. 1.已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：求的集合，根據(jù)集合的運(yùn)算，即可得到． 詳解：由集合，， 所以，故選D． 點(diǎn)睛：本題考查了集合的交集運(yùn)算，正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生推理與運(yùn)算能力． 2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)z1與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

2、關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=3-4i，求出z2，代入計(jì)算即可 【詳解】∵復(fù)數(shù)z1與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=3-4i ∴z2=-3-4i z1?z2=3-4i-3-4i=-25 故選A 【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題 3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a1+a3=6，S4=16，則a4= A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 分析：根據(jù)已知條件列出方程組求出a1,d，再求a4得解. 詳解：由題得2a1+2d=64a1+6d=16,∴a1=1,d=2. 所以a4=1+3×2=7.故答案為

3、：B 點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力. 4.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹(shù)，求該株茶樹(shù)恰好種在圭田內(nèi)的概率為 A. 215 B. 25 C. 415 D. 15 【答案】A 【解析】 分析：利用面積公式以及梯形的面積公式，以及幾何概型能求出在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹(shù)，該株茶樹(shù)恰好種

4、在圭田內(nèi)的概率. 詳解：∵邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步， 圭田廣為八步，正從為五步的，在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹(shù)， 所以利用面積公式，算出圭田的面積面積，12×8×5 利用梯形的面積公式，算出邪田的面積，1210+20×10 ∴根據(jù)幾何概型概率公式可得， 該株茶樹(shù)恰好種在圭田內(nèi)的概率為：P=215，故選A. 點(diǎn)睛：本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問(wèn)題常見(jiàn)類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總面積以及事件的面積；幾何概型問(wèn)題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：

5、（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本裏件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤. 5.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=?10，a2+a3+a4+a5+a6=?20，則“Sn取得最小值”的一個(gè)充分不必要條件是（ ） A. n=5或6 B. n=5或6或7 C. n=6 D. n=11 【答案】C 【解析】 【分析】 求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，令其小于或等于零 【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ∵a2+a3+a4+a5+a6=-20 ∴5a1+15d=-20

6、 ∵a1=-10，∴d=2 ∴an=-10+2n-1=2n-12 令an=2n-12=0，解得n=6，故當(dāng)n=5或6時(shí)S5=S6都是最小值，則滿足題意“Sn取得最小值”的一個(gè)充分不必要條件是n=6，故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最小問(wèn)題，有兩種解法：一是求出an≤0的情況，另一個(gè)是化簡(jiǎn)Sn的表達(dá)式，得到一個(gè)關(guān)于n的一元二次函數(shù)問(wèn)題。 6.我國(guó)古代《九章算術(shù)》里，記載了一個(gè)例子：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺，問(wèn)積幾何？”該問(wèn)題中的羨除是如圖所示的五面體ABCDEF，其三個(gè)側(cè)面皆為等腰梯形，兩個(gè)底面為直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，E

7、F=8尺，AB,CD間的距離為3尺，CD,EF間的距離為7尺，則異面直線DF與AB所成角的正弦值為（ ） A. 9130130 B. 7130130 C. 97 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】 先找出異面直線所成的角，然后計(jì)算邊長(zhǎng)求出正弦值 【詳解】如圖： 根據(jù)題意AB∥CD，所以∠FDC異面直線DF與AB所成角， 又因?yàn)镃D=10尺，EF=8尺 且側(cè)面為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DC，則DG=9尺，CD,EF間的距離為7尺，故FG=7尺，由勾股定理得DF=81+49=130尺， 所以sin∠FDC=7130=7130130, 故選

8、B 【點(diǎn)睛】為求異面直線所成角要先通過(guò)平行線找出或者作出異面直線所成的角，然后構(gòu)造出三角形，求出邊長(zhǎng)，就可以求三角函數(shù)值。 7.設(shè)a=log23，b=ln3，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（ ） A. 9+ln3 B. 3-ln3 C. 11 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 將a=log23，b=ln3代入，然后執(zhí)行判定語(yǔ)句輸出結(jié)果 【詳解】將a=log23，b=ln3輸入，a=log23=ln3ln2>ln3，即a>b，故S=4log23+ln9ln3=9+2=11，故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了流程圖輸出結(jié)果，只有判定

9、和b的大小即可計(jì)算出結(jié)果，較為基礎(chǔ) 8.近幾個(gè)月來(lái)，繼“共享單車”后，“共享汽車”也在我國(guó)幾座大城市中悄然興起，關(guān)系非常要好的A,B,C三個(gè)家庭（每個(gè)家庭2個(gè)大人，1個(gè)小孩，且大人都有駕照）共9人決定周末乘甲、乙兩輛共享汽車出去旅游，已知每車限坐5人（乘同一輛車的人不考慮位置），其中A戶家庭的3人需乘同一輛，則A戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有2名小孩的概率為（ ） A. 113 B. 1124 C. 1142 D. 521 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出總的基本事件，然后再求出滿足題意的至少兩名小孩的事件，運(yùn)用古典概率求出結(jié)果 【詳解】總的基本事件數(shù)

10、：C61×C21+C62×C21=42 要求至少兩名小孩：C21+C41×C21+C22=11 則A戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有2名小孩的概率P=1142 故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率，按照題目要求分別求出滿足題意的事件數(shù)，然后求出概率。 9.設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a＞0,b＞0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1作一條漸近線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)F1M與雙曲線的右支相交于點(diǎn)N，若MN=3F1M，此雙曲線的離心率為（ ） A. 53 B. 43 C. 132 D. 263 【答案】A 【解析】 分析：用雙

11、曲線的一條漸近線與過(guò)焦點(diǎn)的直線聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用MN=3F1M，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，即可的雙曲線的離心率. 詳解：由雙曲線的方程，可得其漸近線的方程為y=?bax與直線y=ab(x?c)， 聯(lián)立方程組，可得M的坐標(biāo)為M(?ac,abc)， 又由MN=3F1M，且F1(?c,0)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(3c2?4a2c,4abc)， 將N點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得(3c2?4a2)2a2c2?16a2c2=1， 整理得9c2=25a2，所以離心率為e=ca=259=53，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的曲解，以及雙曲線的漸近線方程的

12、運(yùn)用，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a,c ，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范圍)． 10.已知函數(shù)fx=sin2x+φ?π<φ<0．將fx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則關(guān)于函數(shù)fx，下列命題正確的是（ ） A. 函數(shù)fx在區(qū)間?π6,π3上有最小值 B. 函數(shù)fx的一條對(duì)稱軸為x=π12 C. 函數(shù)fx在區(qū)間?π6,π3上單調(diào)遞增 D. 函數(shù)fx的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為π3,0 【答

13、案】C 【解析】 【分析】 通過(guò)三角函數(shù)圖像的平移求出平移后的表達(dá)式，然后結(jié)合圖像關(guān)于y軸對(duì)稱求出φ的值，繼而判斷命題的真假 【詳解】由題意，函數(shù)fx=sin2x+φ-π<φ<0的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到： 函數(shù)gx=sin2x+2π3+φ ∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 ∴g0=±1 即2π3+φ=kπ+π2，k∈Z，解得φ=kπ-π6，k∈Z， ∵-π<φ<0，∴φ=-π6，即fx=sin2x-π6 令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，k∈Z 即-π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z 當(dāng)k=1時(shí)，即x∈-π6，π3，此時(shí)函數(shù)單

14、調(diào)遞增 故選C 【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)正弦圖像的性質(zhì)，依據(jù)題意結(jié)合“左加右減”求出平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱軸來(lái)對(duì)命題進(jìn)行判斷。 11.如圖，在ΔOMN中，A、B分別是OM、ON的中點(diǎn)，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），則y+1x+y+2的取值范圍是（ ） A. 13,23 B. 13,34 C. 14,34 D. 14,23 【答案】C 【解析】 分析：利用平面向量的線性運(yùn)算，得出x,y滿足的不等關(guān)系，再利用線性規(guī)劃思想求解. 詳解：由題意，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，x+y=1，當(dāng)P點(diǎn)

15、在線段MN上時(shí)，x+y=2，∴當(dāng)P在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界）時(shí)，x+y≥1x+y≤2x≥0y≥0（＊），又y+1x+y+2=1x+1y+1+1，作出不等式組（＊）表示的可行域，如圖， y+1x+1表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與P(?1,?1)連線的斜率，由圖形知kPB=0?(?1)2?(?1)=13，kPC=2?(?1)0?(?1)=3，即13≤y+1x+1≤3，∴13≤x+1y+1≤3，14≤1x+1y+1+1≤34， 故選C. 點(diǎn)睛：在平面向量的線性運(yùn)算中，如圖OP=xOA+yOB，x,y的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出，OA，OB類比于x,y軸，直角坐標(biāo)系中有四個(gè)象限，類比在（O,OA

16、,OB）中也有四個(gè)象限，如第Ⅰ象限有x>0y>0，第Ⅱ象限有x<0y>0，第Ⅲ象限有x<0y<0，第Ⅳ象限有x>0y<0，也可類比得出其中的直線方程，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等等. 12.設(shè)實(shí)數(shù)m>0，若對(duì)任意的x≥e，不等式x2lnx-memx≥0恒成立，則m的最大值是（ ） A. 1e B. e3 C. 2e D. 【答案】D 【解析】 分析：將原問(wèn)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為m≤xlnx對(duì)任意的x≥e恒成立，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解實(shí)數(shù)m的最大值即可. 詳解：不等式x2lnx?memx≥0 ? x2

17、lnx≥memx ? xlnx≥memxx ? lnxelnx≥mxemx. 設(shè)fx=x?exx>0，則f'x=x+1ex>0,于是f(x)在0,+∞上是增函數(shù). 因?yàn)閙x>0，lnx>0，所以mx≤lnx， 即m≤xlnx對(duì)任意的x≥e恒成立，因此只需m≤xlnxmin. 設(shè)gx=xlnxx≥e，g'x=lnx+1>0x≥e， 所以gx在e,+∞上為增函數(shù)， 所以gxmin=ge=e，所以m≤e，即m的最大值是e. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上

18、看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效. 二、填空題 13.設(shè)x、y滿足條件x+y-1≥0x+3y-4≤0y-x+3≥0 則z=4x-2y最小值是_______ 【答案】-5 【解析】 【分析】 畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小值即可 【詳

19、解】如圖： z=4x-2y，則y=2x-12z， 當(dāng)x+y-1≥0x+3y-4≤0即x=-12y=32時(shí) z=4×-12-2×32=-5 故答案為-5 【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=4x-2y的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。 14.已知0<a<1，分別在區(qū)間（0，a）和（0，4-a）內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，且取的兩數(shù)之和小于1的概率為316，則a=________ 【答案】45 【解析】 【分析】 分類討論，分別計(jì)算其面積，由幾何概型的計(jì)算公式可得答案 【詳解】由題意可知：1

20、2a4-a=316 ∴a=6±233，不合題意 121-a+1aa4-a=316， 解得a=45 故答案為45 【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是在于用平面區(qū)域表示出題干的代數(shù)關(guān)系。 15.如圖，在等腰四面體ABCD中設(shè)BC=AD=a。AC=BD=b，AB=CD=c，外接球的半徑為R，則R=______（用a、b、c表示） 【答案】24a2+b2+c2 【解析】 【分析】 由題意得四面體是長(zhǎng)方體中的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何體，其中相等的邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)方體的相對(duì)的面上的對(duì)角線，然后計(jì)算出結(jié)果 【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x，y，， 根據(jù)題意得x2+

21、y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2，相加得x2+y2+z2=a2+b2+c22， R=12x2+y2+z2=12a2+b2+c22=24a2+b2+c2 故答案為24a2+b2+c2 【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球問(wèn)題，本題需要把握住對(duì)邊相等長(zhǎng)度聯(lián)想到長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球是相同的，因此進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 16.在?ABC中三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C,所對(duì)的邊分別是a，b，c，若（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC,且a=23，則?ABC面積的最大值是________ 【答案】3 【解析】 【分析】 運(yùn)用兩角和的正弦公式逆用，然后結(jié)合正弦定理、余弦

22、定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后運(yùn)用不等式求出面積最大值 【詳解】∵b+2sinCcosA=-2sinAcosC ∴bcosA=-2sinCcosA+sinAcosC=-2sinA+C=-2sinB 則bsinB=-2cosA，結(jié)合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA，即tanA=-3，∠A=23π 由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，化簡(jiǎn)得b2+c2=12-bc≥2bc，故bc≤4 S?ABC=12bcsinA≤12×4×32=3 故答案為3 【點(diǎn)睛】本題為求三角形面積的最大值，較為綜合，考查了正弦定理、余弦定理和均值不等式，注意兩角和公式逆

23、用還有誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)，整體計(jì)算需要把握好。 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.已知n∈N*，設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2=12且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差數(shù)列． （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列bn滿足bn=?log2an+λn(λ≠?1)，數(shù)列1bnbn+1的前n項(xiàng)和Tn滿足T2018=2018，求的值． 【答案】(1)an=(12)n?1；(2)12019. 【解析】 分析: (1)根據(jù)S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差數(shù)列求數(shù)列an的公比q,再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（2

24、）先化簡(jiǎn)得bn=(λ+1)n-1，再利用裂項(xiàng)相消求的值 詳解：（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5， 得(S6-S5)+(S6-S4)+2a6=a4+a5， 即4a6=a4，∴q2=14， ∵an是單調(diào)遞減數(shù)列，∴q=12， 又∵a2=12，∴a1=1，∴an=(12)n-1． （2）由（1）得bn=-log2(12)n-1+λn=(λ+1)n-1， ∴1bnbn+1=1(λ+1)n-1?(λ+1)(n+1)-1=1λ+11(λ+1)n-1-1(λ+1)(n+1)-1， ∴T2018=1λ+1(1λ-12019λ+2018)=2018λ(201

25、9λ+2018)=2018， ∴λ=-1或λ=12019， ∵λ≠-1，∴λ=12019． 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法和等差中項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力和計(jì)算能力.(2) 類似canan+1（其中an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法：①1nn+k=1k1n?1n+k，特別地當(dāng)k=1時(shí)，1nn+1=1n?1n+1 ②1n+k+n=1kn+k?n，特別地當(dāng)k=1時(shí)1n+1+n=n+1?n ③an=(2n)2(2n?1)(2n+1)=(4n2?1)+14n2?1=1+14n2

26、?1=1+12(12n?1?12n+1) ④an=1n(n?1)(n+2)=12[1n(n+1)?1(n+1)(n+2)]. 18.某企業(yè)對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行了改造，為了了解設(shè)備改造后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，若質(zhì)量指標(biāo)值在[20,60)內(nèi)，則該產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品．圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表． （1）完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)： 設(shè)備改造前 設(shè)備改造后 合計(jì) 合格品

27、不合格品 合計(jì) （2）根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較； （3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[30,40)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)180元；質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,30)或[40,50)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)150元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元．根據(jù)頻數(shù)分布表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率．現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附

28、： P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)改造后的設(shè)備更優(yōu)；(3)答案見(jiàn)解析. 【解析】 分析：（1）先完成2×2列聯(lián)表，再利用公式計(jì)算K2，再判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān).(2)根據(jù)產(chǎn)品合格率比較得到改造后的設(shè)備更優(yōu)．(3)先求X，再求X對(duì)應(yīng)的概率，最后寫出X的分布列和期望. 詳解：（1）根據(jù)圖1和表

29、1得到2×2列聯(lián)表： 設(shè)備改造前 設(shè)備改造后 合計(jì) 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合計(jì) 100 100 200 將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得： K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(86×4-96×14)2182×18×100×100=5000819≈6.105， ∵6.105<6.635， ∴沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)． （2）根據(jù)圖1和表1可知，設(shè)備改造

30、前的產(chǎn)品為合格品的概率約為86100=4350，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為96100=2425，顯然設(shè)備改造后合格率更高，因此，改造后的設(shè)備更優(yōu)． （3）由表1知： 一等品的頻率為12，即從所有合格品產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件一等品的概率為12； 二等品的頻率為13，即從所有合格品產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件二等品的概率為13； 三等品的頻率為16，即從所有合格品產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件三等品的概率為16． 由已知得：隨機(jī)變量X的取值為：240,270,300,330,360， P(X=240)=16×16=136，P(X=270)=C21×13×16=19， P(X

31、=300)=C21×12×16+13×13=518， P(X=330)=C21×12×13=13，P(X=360)=12×12=14， ∴隨即變量X的分布列為： X 240 270 300 330 360 P 136 19 518 13 14 ∴E(X)=240×136+270×19+300×518+330×13+360×14=320． 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和應(yīng)用能力.

32、(2) 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱Eξ= x1p1+ x2p2+…+xnpn+… 為ξ的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望． 19.已知直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D是BC邊上的中點(diǎn)，E點(diǎn)滿足B1E=2EB，平面ACE⊥平面AC1D，求： (1)側(cè)棱長(zhǎng)； (2)直線A1B1與平面ACE所成的角的正弦值. 【答案】(1)36；(2)6622. 【解析】 分析：(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量垂直對(duì)應(yīng)向量數(shù)量積為零列式解得豎坐標(biāo)，

33、即側(cè)棱長(zhǎng)；(2)利用方程組解得平面ACE一個(gè)法向量，由向量數(shù)量積得直線A1B1方向向量與平面ACE一個(gè)法向量的夾角，最后根據(jù)直線A1B1與平面ACE所成的角與向量夾角互余得結(jié)果. 詳解： （1）如圖所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D33,0,0，C33,3,0.設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為3a，則C133,3,3a，E33,-3,a. ∵ AD⊥平面BCC1B1， ∴ AD⊥CE. 故要使平面ACE⊥平面AC1D，只需CE⊥C1D即可，就是當(dāng)CE⊥C1D時(shí)， 則CE⊥平面AC1D， ∴平面ACE⊥平面AC1D. ∴ CE·C1D=0,-6,a

34、3;0,-3,-3a=18-3a2=0，即a=6. 故側(cè)棱長(zhǎng)為36時(shí)，平面ACE⊥平面AC1D. （2）設(shè)平面ACE法向量為n=x,y,z， 則n·CE=x,y,z·0,-6,6=-6y+6z=0，∴ z=6y. n·AC=x,y,z·33,3,0=33x+3y=0，∴ y=-3x. 取n=1,-3,-32. 又A1B1=33,-3,0， ∴ cosn,A1B1=1,-3,-32·33,-3,022?6=6622. 故直線A1B1與平面ACE所成的角的正弦值為6622. 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，

35、破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 20.已知M?1,0，N1,0，MR=22，OQ=12ON+OR，MP=λMR，QP·NR=0，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C. (1)求曲線C的軌跡方程. (2)若斜率為22的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，與x軸相交于D點(diǎn)，則DA2+DB2是否為定值？若為定值，則求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)x22+y2=1；(2)答案見(jiàn)解析. 【解析】 分析：(1)根據(jù)向量幾何意義得P點(diǎn)為線段NR的垂直平分線與直線MR的

36、交點(diǎn)，即得PM+PN=MR=22 ，再根據(jù)橢圓定義得曲線C的軌跡方程. (2) 設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Dm,0，化簡(jiǎn)DA2+DB2得32x1+x22-2x1x2-2mx1+x2+2m2，再聯(lián)立侄媳婦與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得定值. 詳解： （1）由OQ=12ON+OR可知，Q為線段NR的中點(diǎn).由MP=λMR可知，P點(diǎn)在直線MR上. 由QP·NR=0可知，QP⊥NR.所以P點(diǎn)為線段NR的垂直平分線與直線MR的交點(diǎn)，所以PN=PR，所以PM+PN=MR=22，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22的橢圓，即a=2，c=1，所以b=1.所以曲線C的軌跡方程為x

37、22+y2=1. （2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Dm,0，則直線的方程為y=22x-m，將y=22x-m代入x22+y2=1得2x2-2mx+m2-2=0. ∴ Δ=4m2-8m2-2=16-4m2>0，所以-2<m<2. 則x1+x2=m，x1x2=m2-22. 所以DA2+DB2=x1-m2+y12+x2-m2+y22 =32x1-m2+32x2-m2=32x1-m2+x2-m2 =32x12+x22-2mx1+x2+2m2 =32x1+x22-2x1x2-2m2+2m2 =32m2-m2-2=3 故DA2+DB2是定值3. 點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通

38、常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 21.已知fx=lnx，gx=12ax2+bxa≠0，hx=fx?gx. （Ⅰ）若a=3,b=2，求hx的極值； （Ⅱ）若函數(shù)y=hx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2x1≠x2，記x0=x1+x22，證明：h′x0<0． 【答案】（Ⅰ）極大值為?ln3?56，無(wú)極小值；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析. 【解析】 分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)hx在0

39、,+∞上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)x=13時(shí)，hx有極大值，無(wú)極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)0<x1<x2，由題意可得hx1-hx2=lnx1-lnx2-a2x12-x22-bx1-x2=0，即lnx1-lnx2=a2x12-x22+bx1-x2，又由條件得h'x0=2x1+x2-ax1+x22+b，構(gòu)造x1-x2h'x0=x1-x22x1+x2-ax1+x22-b=2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2，令x1x2=t0<t<1，則rt=2t-1t+1-lnt，0<t<1，利用導(dǎo)數(shù)可得rt>r1=0，故得x1-x2h'x0>0，又x1

40、-x2<0，所以h'x0<0． 詳解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)x=lnx-32x2-2x,x∈0,+∞， ∴h'x=1x-3x-2=-3x2-2x+1x=-3x-1x+1x， 由h'x=-3x-1x+1x=0得x=13， 且當(dāng)0<x<13時(shí)，h'x>0，即hx在0,13上單調(diào)遞增， 當(dāng)x>13時(shí)，h'x<0，即hx在13,+∞上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)x=13時(shí)，hx有極大值，且hx極大值=h13=-ln3-56，無(wú)極小值． （Ⅱ）∵函數(shù)y=hx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2x1≠x2，不妨設(shè)0<x1<x2， ∴h

41、x1=lnx1-a2x12-bx1=0，hx2=lnx2-22x22-bx2=0． ∴hx1-hx2=lnx1-a2x12-bx1-lnx2-a2x22-bx2 =lnx1-lnx2-a2x12-x22-bx1-x2=0， 即lnx1-lnx2=a2x12-x22+bx1-x2， 又h'x=f'x-g'x=1x-ax+b，x0=x1+x22， ∴h'x0=2x1+x2-ax1+x22+b， ∴x1-x2h'x0=x1-x22x1+x2-ax1+x22-b =2x1-x2x1+x2-12ax12-x22+bx1-x2 =2x1-x2x1+

42、x2-lnx1-lnx2 =2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2． 令x1x2=t0<t<1，則rt=2t-1t+1-lnt，0<t<1 ∴r't=4t+12-1t=-t-12t+12t<0， ∴rt在0,1上單調(diào)遞減， 故rt>r1=0， ∴2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2>0， 即x1-x2h'x0>0， 又x1-x2<0， ∴h'x0<0． 點(diǎn)睛：（1）研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲?、函數(shù)的變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后

43、通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)． （2）證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明． 22.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程是x=3cosαy=sinα（α是參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρsinθ+π4=42 （1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo). 【答案】（1）x23+y2=1，x+y?8=0；（2）d的最小值為32,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32

44、,12 【解析】 【分析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式，，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 求得橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為 ，可得的最小值，以及此時(shí)的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo) 【詳解】(1）由曲線:可得：，兩式兩邊平方相加可得： 曲線的普通方程為:. 由曲線得:, 即,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為:. (2)由(1)知橢圓與直線無(wú)公共點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為, 當(dāng)時(shí),d的最小值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力及三角恒等變換的掌握，屬于中檔題。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375