【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十篇 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第2講　用樣本估計總體教案 理 新人教版

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1、 第2講　用樣本估計總體 【2013年高考會這樣考】 1．考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計算．主要以選擇題、填空題為主． 2．考查以樣本的分布估計總體的分布(以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù))． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．由于高考對統(tǒng)計考查的覆蓋面廣，幾乎對所有的統(tǒng)計考點都有所涉及，其中頻率分布直方圖、均值與方差、莖葉圖是核心考點，需要好好掌握．復(fù)習(xí)時，對于統(tǒng)計的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏，最主要的是掌握好統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，適度的題量練習(xí)． 2．高考對頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結(jié)合的題目考查日益頻

2、繁．因此，復(fù)習(xí)時要加強這方面的訓(xùn)練，弄清圖表中有關(guān)量的含義，并從中提煉出有用的信息，為后面的概率計算打好基礎(chǔ)．　　 基礎(chǔ)梳理 1．頻率分布直方圖 (1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征． (2)作頻率分布直方圖的步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)． ②決定組距與組數(shù)． ③將數(shù)據(jù)分組． ④列頻率分布表． ⑤畫頻率分布直方圖． (3)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示．各小長方形的面積總和等于1. 2．頻率分布折線圖和總體密度曲線

3、(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖． (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線． 3．莖葉圖的優(yōu)點 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點： 一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到； 二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示． 4．樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 設(shè)樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為， (1)樣本方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差： s＝

4、. 兩個異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． ②由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關(guān)．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題． ④某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)可能沒有影響．中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． (2)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的異同 標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均

5、數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度則越小，因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差． 三個特征 利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征： (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)值． (2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和． (3)眾數(shù)：最高的矩形的中點的橫坐標(biāo)． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)某工廠生產(chǎn)滾珠，從某批產(chǎn)品中隨機抽取

6、8粒，量得直徑分別為(單位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，則估計該廠生產(chǎn)的滾珠直徑的平均數(shù)為(　　)． A．14.8 mm B．14.9 mm C．15.0 mm D．15.1 mm 解析　平均數(shù)＝(14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9)＝14.9 (mm)． 答案　B 2．(2012合肥月考)一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下： 組別 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]

7、 頻數(shù) 12 13 24 15 16 13 7 則樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻率為(　　)． A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64 解析　由列表可知樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻數(shù)為52，故其頻率為0.52. 答案　C 3．(人教A版教材習(xí)題改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是(　　)． A．14 B．16 C．15 D．17 解析　將這組數(shù)據(jù)從小到大排

8、列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數(shù)為＝15. 答案　C 4. 某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有(　　)． A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 解析　由題圖可知，車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.0210＝0.2，則將被處罰的汽車大約有2000.2＝40(輛)． 答案　B 5．(2011江蘇)某老師從星期一到星

9、期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________. 解析　平均數(shù)＝＝7. ∴s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋ (6－7)2]＝(9＋1＋1＋4＋1)＝3.2. 答案　3.2　　 考向一　頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用 【例1】?某校從 參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機抽出60名學(xué)生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題： (1)求分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

10、(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試中的平均分． [審題視點] 利用各小長方形的面積和等于1求[70,80)內(nèi)的頻率． 解　 (1)設(shè)分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.010＋0.0152＋0.025＋0.005)10＋x＝1，可得x＝0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示． (2)平均分為：x＝450.1＋550.15＋650.15＋750.3＋850.25＋950.05＝71(分)． 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本(或者總

11、體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法． 【訓(xùn)練1】 (2011湖北)有 一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為(　　)． A．18 B．36 C．54 D．72 解析　樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻率1－(0.19＋0.15＋0.05＋0.02)2＝0.18，所以數(shù)據(jù)落在此區(qū)間的頻數(shù)為2000.18＝36. 答案　B 考向二　莖葉圖的應(yīng)用 【例2】?如圖是某青年歌手 大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個

12、)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2，則一定有(　　)． A．a(chǎn)1＞a2 B．a(chǎn)2＞a1 C．a(chǎn)1＝a2 D．a(chǎn)1，a2的大小與m的值有關(guān) [審題視點] 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的數(shù)據(jù)，剩下的數(shù)我們只要計算其葉上數(shù)字之和，即可對問題作出結(jié)論． 解析　去掉一個最高分和一個最低分后，甲選手葉上的數(shù)字之和是20，乙選手葉上的數(shù)字之和是25，故a2＞a1.故選B. 答案　B 由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著

13、對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等． 【訓(xùn)練2】 在 一項大西瓜品種的實驗中，共收獲甲種大西瓜13個、乙種大西瓜11個，并把這些大西瓜的重量(單位：斤，1斤＝500克)制成了莖葉圖，如圖所示，據(jù)此莖葉圖寫出對甲乙兩種大西瓜重量的兩條統(tǒng)計結(jié)論是： (1)__________________________________________； (2)__________________________________________． 解析　從這個莖葉圖可以看出，甲種大西瓜的重量大致對稱，平均重量、眾數(shù)及中位數(shù)都是30多斤；乙種大西瓜的重量除了一個51斤外，也大致對稱，平均重量、眾數(shù)及

14、中位數(shù)都是20多斤，但甲種大西瓜的產(chǎn)量比乙種穩(wěn)定，總體情況比乙好． 答案　(1)甲種大西瓜的平均重量大于乙種大西瓜　(2)甲種大西瓜的產(chǎn)量比乙種大西瓜穩(wěn)定 考向三　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 【例3】?甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價． [審題視點] (1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績； (2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價． 解　(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10分，13分，12分，14分，1

15、6分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分. 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s＞s可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描

16、述其波動大?。? 【訓(xùn)練3】 甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________． 解析　甲＝乙＝9環(huán)，s＝[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝＞s，故甲更穩(wěn)定，故填甲． 答案　甲 規(guī)范解答19——怎樣解答莖葉圖與概率的綜合性問題 【問題研究】 莖葉圖是一個將數(shù)據(jù)分成

17、主、次兩部分，把主要部分當(dāng)做莖、次要部分當(dāng)作葉表達數(shù)據(jù)的一個圖，它是一種常用的統(tǒng)計圖.因此考題常將莖葉圖作為載體來考查平均數(shù)、方差以及概率問題. 【解決方案】 首先對莖葉圖中的數(shù)據(jù)全面分析，然后再根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)解決其它問題. 【示例】?(本題滿分12分)(2011北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示． (1)如果X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； (2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]

18、，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 第(1)問直接套入公式求值；第(2)問利用古典概型的知識解決． [解答示范] (1)當(dāng)X＝8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為 ＝＝.(2分) 方差為 s2＝ ＝.(5分) (2)記甲組四名同學(xué)為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，它們是： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(9分) 用C表示：“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個，它們是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率為P(C)＝＝.(12分) 莖葉圖一般記錄兩組的數(shù)據(jù)，它最直觀、最清晰，但利用莖葉圖解決概率問題時對重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏． 9