2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文（含解析）新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】試卷注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法全面考查的同時(shí),又突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心能力的綜合考查, 試卷以考查考生對(duì)“雙基”的掌握情況為原則,重視基礎(chǔ),緊扣教材,回歸課本,整套試卷中有不少題目可以在教材上找到原型.對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)回歸課本,重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握起到好的導(dǎo)向作用. 選擇題：本大題共10題，每小題5分，共50分． 【題文】1．已知集合，則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)A1 【答案解析】D 解析：∵M(jìn)={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}， ∴M∩N=[0，1）．故選D． 【思路點(diǎn)撥】先解出集合N，再求兩集合的交即可得出正確選項(xiàng)． 【題文】2．下列四個(gè)函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（　?。? A． B. C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．B3 B4 【答案解析】C 解析：y=x﹣1非奇非偶函數(shù)，故排除A； y=tanx為奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，故排除B； y=log2x單調(diào)遞增，但為非奇非偶函數(shù)，故排除D； 令f（x）=x3，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）， 所以f（x）為奇函數(shù)，又f（x）在定義域R上遞增，故選C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可． 【題文】3.已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào)．C1 【答案解析】B 解析：點(diǎn)P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的終邊在第二、三象限．tanα＜0角α的終邊在第二、四象限．∴角α的終邊在第二象限． 故選：B． 【思路點(diǎn)撥】利用點(diǎn)所在象限，推出三角函數(shù)的符號(hào)，然后判斷角所在象限． 【題文】4．設(shè)則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．B7 【答案解析】C 解析：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1， ∴a＞c＞b，故選：C 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)求出，a，b，c的取值范圍，即可得到結(jié)論． 【題文】5. 在中，為的重心，在邊上，且，則 （A） （B） （C） （D） 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．菁F2 【答案解析】B 解析：如圖所示，， ==，=． ∴==．故選：B． 【思路點(diǎn)撥】利用重心的性質(zhì)和向量的三角形法則即可得出． 【題文】6. 數(shù)列{an}中，a1 =1，對(duì)所有n∈N+都有a1 a2…an =n2,則a3+ a5等于----- （ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡單表示法．D1 【答案解析】A 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，a1?a2?a3??an=n2．當(dāng)n≥3時(shí)，a1?a2?a3??an﹣1=（n﹣1）2． 兩式相除an=（）2，∴a3=，a5=．∴a3+a5=．故選A 【思路點(diǎn)撥】由n≥2，n∈N時(shí)a1?a2?a3?…?an=n2得當(dāng)n≥3時(shí)，a1?a2?a3??an﹣1=（n﹣1）2．然后兩式相除an=（）2，即可得a3=，a5=從而求得a3+a5=． 【題文】7.函數(shù)的圖像為( ) 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．B6 【答案解析】D 解析：由題設(shè)條件，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=﹣（x﹣）= 當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x 故f（x）=，故其圖象應(yīng)該為 綜上，應(yīng)該選D 【思路點(diǎn)撥】觀察題設(shè)中的函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)該 以1為界來分段討論去掉絕對(duì)值號(hào)，化簡之后再分段研究其圖象． 【題文】8在中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別，若 則的面積（ ） A.3 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理．C8 【答案解析】C 解析：由題意得，c2=a2+b2﹣2ab+6， 又由余弦定理可知， c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab， ∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故選：C． 【思路點(diǎn)撥】將“c2=（a﹣b）2+6”展開，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比較兩式，得到ab的值，計(jì)算其面積． 【題文】9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且 ()，則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．C4 【答案解析】A 解析：由圖知，T=2=π， ∴ω=2，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過（﹣），0=sin（﹣+?） ∵，所以?=，∴，， 所以．故選C． 【思路點(diǎn)撥】通過函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的圖象經(jīng)過的特殊點(diǎn)求出函數(shù)的初相，得到函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的圖象與函數(shù)的對(duì)稱性求出f（x1+x2）即可． 【題文】10.已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（ ） （A） （B） (C) (D) 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題. E8 【答案解析】C 解析：當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞0恒成立 則此時(shí)a≤0 當(dāng)x≤0時(shí)，﹣x2+2x的取值為（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x x2﹣2x≥ax﹣1（x≤0）x=0時(shí)，左邊＞右邊，a取任意值都成立． x＜0時(shí)，有a≥x+﹣2 即a≥﹣4 綜上，a的取值為[﹣4，0]．故選C． 【思路點(diǎn)撥】分x的范圍進(jìn)行討論，當(dāng)x＞0時(shí)，|f（x）|恒大于0，只要a≤0不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x=0時(shí)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x＜0時(shí)，把不等式|f（x）|≥ax﹣1取絕對(duì)值整理后分離參數(shù)a，然后利用基本不等式求解a的范圍，最后取交集即可得到答案． 二.填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分 【題文】11. 【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．菁優(yōu)B7 【答案解析】3 解析：原式=+lg2（lg2+lg5）+lg5=2+lg2+lg5 =2+1=3．故答案為：3． 【思路點(diǎn)撥】利用對(duì)數(shù)的換底公式、lg2+lg5=1即可得出． 【題文】12. 設(shè)集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的 條件 【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用. A1 A2 【答案解析】充分不必要 解析：當(dāng)a=1時(shí)，N={1}，M={1，2}，則是“N?M”為真命題 若N?M，則a2=1或a2=2，a=1不一定成立∴a=1是N?M的充分不必要條件 故答案為：充分不必要條件 【思路點(diǎn)撥】當(dāng)a=1時(shí)，N={1}，M={1，2}，則是“N?M”為真命題；若N?M，則a2=1或a2=2，a=1不一定成立，從而可判斷 【題文】13、奇函數(shù)在上的解析式是，則的函數(shù)解析式是 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4 【答案解析】 解析：∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x）； 設(shè)x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x（1+x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）； 又f（0）=0,又f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x）， ∴函數(shù)的解析式為： 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合（0，+∞）上的解析式，利用f（﹣x）=﹣f（x）求x＜0時(shí)的不等式； 奇函數(shù)如果在x=0有定義，則f（0）=0 【題文】14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前xx項(xiàng)和為 ． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和．D4 【答案解析】 解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，3a5=15， ∴a5=5；又S5===15，∴a3=3；∴公差d==1， ∴an=a3+（n﹣3）d=3+（n﹣3）=n； ∴==﹣， ∴Sxx=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】依題意可求得等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n，利用裂項(xiàng)法得==﹣，從而可得數(shù)列{}的前xx項(xiàng)和． 【題文】15.如圖所示,為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)秒針針尖位置P(x,y).若初始位置為P0（,）,當(dāng)秒針從P0(注此時(shí)t=0)正常開始走時(shí),那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換.權(quán)所有C4 【答案解析】y=sin 解析：∵函數(shù)的周期為T=60，∴ω==， 設(shè)函數(shù)解析式為y=sin（﹣t+φ）（順時(shí)針走動(dòng)為負(fù)方向） ∵初始位置為P0（，），∴t=0時(shí)，y=，∴sinφ=，∴φ可取， ∴函數(shù)解析式為y=sin（﹣t+）,故答案為： 【思路點(diǎn)撥】首先確定函數(shù)的周期，再設(shè)函數(shù)的解析式，待定系數(shù)可求函數(shù)的解析式． 【題文】16.如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是 【知識(shí)點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【答案解析】22 解析：∵=3，∴=+，=﹣， 又∵AB=8，AD=5， ∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2， 故?=22，故答案為：22． 【思路點(diǎn)撥】由=3，可得=+，=﹣，進(jìn)而由AB=8，AD=5，=3，?=2，構(gòu)造方程，進(jìn)而可得答案． 【題文】17．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè). 【知識(shí)點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．B9 【答案解析】4 解析：∵函數(shù)f（x）=，f（﹣4）=f（0）， ∴b=4， ∴f（x）=， f（x）=與y=ln（x+2）的圖象如圖所示， ∴函數(shù)y=f（x）﹣ln（x+2）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有4個(gè)， 故答案為：4． 【思路點(diǎn)撥】先求出b，再做出f（x）=與y=ln（x+2）的圖象，即可得出結(jié)論． 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 【題文】18．已知向量， 求的值； (2)若的值。 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．C5 F3 【答案解析】(1) (2) 解析：(1)因?yàn)? 所以 .................................. ..3分 又因?yàn)?，所以? 即； .................................. ..7分 (2) ， .................................. ..9分 又因?yàn)椋?， ，所以，所以 .............14分 【思路點(diǎn)撥】（1）=1，同理=1．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)|﹣|=，可得=，展開即可得出； （2）由0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，可得0＜α﹣β＜π，，sin（α﹣β）=．再利用sinα=sin[（α﹣β）+β]展開即可得出． 【題文】19.已知函數(shù)的定義域是且滿足 ,, 如果對(duì)于,都有. (1)求,； （2）解不等式 【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．B10 【答案解析】(1) f（2）=﹣1,(2) [﹣1，0） 解析：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）∴令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1）， ∴f（1）=0，再令x=2，y=，∴f（1）=f（2）+f（）=0，∴f（2）=﹣1 （2）∵對(duì)于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．∴函數(shù)在（0，+∞）減函數(shù)， 令x=y=2，∴令x=y=2得f（4）=f（2）+f（2）=﹣2， ∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．∴f（x）+f（x﹣8）≥f（4）， ∴f[x（x﹣3）]≥f（4），∴，解得﹣1≤x＜0，∴原不等式的解集為[﹣1，0） 【思路點(diǎn)撥】（1）令x=y=1易得f（1）=0；再令x=2，y=，可得f（2）值； （2）先求出f（4）=﹣2，由f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，得到f[x（x﹣3）]≥f（4），再由函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)，能求出原不等式的解集． 【題文】20.在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，， 若， (1) 若，求的大小。 (2) 若三角形為非等腰三角形，求的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．C8 【答案解析】(1) 或 (2) 解析：(1) .................2分 .................3分 所以 .................4分 若,，則. .................5分 若,,則. ..................6分 (2) 若三角形為非等腰三角形，則 且 .......8分 又因?yàn)槿切螢殇J角三角形， 故 ...................10分 而 ...................12分 所以 ...................14分 【思路點(diǎn)撥】（1）將已知等式變形，整理得，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得C=2B或C+2B=π，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和，即可算出∠A的大?。? （2）根據(jù)三角形為非等腰三角形，結(jié)合（1）中化簡的結(jié)果可得C=2B，從而將化簡整理得．利用△ABC是銳角三角形，得到B∈（），結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出的取值范圍． 【題文】21.在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項(xiàng). （Ｉ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)，記，求. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．D2 D4 【答案解析】（I）（II） 解析：（I）由題意知， ................... 2分 即， 解得， ................... 4分 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ................... 6分 （II）由題意知. ................... 8分 所以. 因?yàn)? ................... 10分 可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 所以. ................... 14分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由于a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得bn=a=n（n+1），因此Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn=﹣1（1+1）+2（2+1）﹣…+（﹣1）nn?（n+1）．對(duì)n分奇偶討論即可得出． 【題文】22.．（本小題滿分14分） 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且函數(shù)對(duì)稱軸方程為. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值； （3）探究：函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，使它的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；函數(shù)的值域；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【答案解析】：（1）（2）（3） 解析：（1）∵　的對(duì)稱軸方程為，∴　． ……… 2分 又的圖象過點(diǎn)（1，13），∴　，∴　． ∴　的解析式為． ………………………………………… 4分 （2） 由：（1）得： …………… 6分 結(jié)合圖象可知：當(dāng)，； 當(dāng)，； 當(dāng)，．……………………………… 9分 ∴ 綜上：　……………………………………… 11分 （3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P（m，n2）， 其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則m2+m+11=n2，從而4n2﹣（2m+1）2=43， 即[2n+（2m+1）][2n﹣（2m+1）]=43． 注意到43是質(zhì)數(shù)，且2n+（2m+1）＞2n﹣（2m+1），2n+（2m+1）＞0， 所以，解得mm=10，n=11 因此，函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為．………… 16分 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸方程為x=﹣，求得b的值，再由f（x）=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），求出c的值，從而求得f（x）的解析式；（2）由題意可得 g（x）=（x﹣2）?|x|，畫出它的圖象，討論t的范圍，結(jié)合圖象求出g（x）在[t，2]上的最值．（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P（m，n2），從而4n2﹣（2m+1）2=43，由此求得m、n的值，從而得出結(jié)論． .