2016年高考 天津卷 文科數(shù)學 (原題+解析)

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1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷) 文　數(shù) 本卷滿分150分,考試時間120分鐘. 　參考公式: 如果事件A,B互斥,那么　　　　　　　　　　　　如果事件A,B相互獨立,那么 　P(A∪B)=P(A)+P(B). 　 P(AB)=P(A)P(B). 棱柱的體積公式V=Sh. 圓錐的體積公式V=13Sh. 　其中S表示棱柱的底面面積,h表示棱柱的高. 　其中S表示圓錐的底面面積,h表示圓錐的高. 第Ⅰ卷(選擇題,共40分) 一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.已知集合A={1,2,3},B={y|

2、y=2x-1,x∈A},則A∩B=(　　) A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是12,甲獲勝的概率是13,則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A.56 B.25 C.16 D.13 3.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為25,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為(　　) A.x24-y2=1 B.x2-y24=1 C.3x22

3、0-3y25=1 D.3x25-3y220=1 5.設(shè)x>0,y∈R,則“x>y”是“x>|y|”的(　　) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 6.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是(　　) A.-∞,12 B.-∞,12∪32,+∞ C.12,32 D.32,+∞ 7.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連結(jié)DE并延長到點F,使得DE=2EF,則AFBC的值為(　　) A.-58 B.18

4、 C.14 D.118 8.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx2+12sin ωx-12(ω>0),x∈R.若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點,則ω的取值范圍是(　　) A.0,18 B.0,14∪58,1 C.0,58 D.0,18∪14,58 第Ⅱ卷(非選擇題,共110分) 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9.i是虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足(1+i)z=2,則z的實部為　　　　. 10.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導函數(shù),則f (0)的值為　　　　. 11.閱讀下邊的程序框圖,運行相應的程序,則輸出S的值為　　　　

5、. 12.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為　　　　　　. 13.如圖,AB是圓的直徑,弦CD與AB相交于點E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段CE的長為　　　　. 14.已知函數(shù)f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x≥0(a>0,且a≠1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x3恰有兩個不相等的實數(shù)解,則a的取值范圍是　　　　.  三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分13分) 在△A

6、BC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=3bsin A. (Ⅰ)求B; (Ⅱ)若cos A=13,求sin C的值. 16.(本小題滿分13分) 某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示: 　　　原料 肥料　　　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為3萬元.分

7、別用x,y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). (Ⅰ)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式,并畫出相應的平面區(qū)域; (Ⅱ)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤?并求出此最大利潤. 17.(本小題滿分13分) 如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,∠BAD=60,G為BC的中點. (Ⅰ)求證:FG∥平面BED; (Ⅱ)求證:平面BED⊥平面AED; (Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值. 18.(本小題滿分13分) 已知{an}是等比數(shù)列,前n項和

8、為Sn(n∈N*),且1a1-1a2=2a3,S6=63. (Ⅰ)求{an}的通項公式; (Ⅱ)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)nbn2}的前2n項和. 19.(本小題滿分14分) 設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.

9、 20.(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R. (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若f(x)存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=0; (Ⅲ)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值不小于14. 2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷) 一、選擇題 1.A　由題意可得B={1,3,5},∴A∩B={1,3},故選A. 易錯警示　不能列舉出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因. 2.A　設(shè)“兩人下成和棋”為事件A,“甲獲勝

10、”為事件B.事件A與B是互斥事件,所以甲不輸?shù)母怕蔖=P(A+B)=P(A)+P(B)=12+13=56,故選A. 3.B　由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖,如圖所示. 該幾何體的側(cè)視圖為選項B.故選B. 4.A　由題意可得ba=12,a2+b2=5,a>0,b>0,解得a=2,b=1,所以雙曲線的方程為x24-y2=1,故選A. 易錯警示　容易把雙曲線標準方程中a,b,c的關(guān)系與橢圓標準方程中a,b,c的關(guān)系混淆,這是失分的主要原因. 5.C　令x=1,y=-2,滿足x>y,但不滿足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必

11、要而不充分條件. 6.C　∵f(x)是偶函數(shù)且在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(-2)=f(2),∴原不等式可化為f(2|a-1|)>f(2).故有2|a-1|<2,即|a-1|<12,解得12f(2)轉(zhuǎn)化為2|a-1|<2,解該不等式即可. 7.B　建立如圖所示的平面直角坐標系. 則B-12,0,C12,0,A0,32,所以BC=(1,0). 易知DE=12AC,∠FEC=∠ACE=60,則EF=14AC=14,

12、 所以點F的坐標為18,-38, 所以AF=18,-538, 所以AFBC=18,-538(1,0)=18.故選B. 疑難突破　利用公式ab=|a||b|cos求解十分困難,可以考慮建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?利用坐標運算求解.確定點F的坐標是解題的關(guān)鍵. 8.D　f(x)=1-cosωx2+12sin ωx-12=12(sin ωx-cos ωx)=22sinωx-π4,∵x∈(π,2π),ω>0,∴ωx-π4∈ωπ-π4,2ωπ-π4,∵f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點,∴有以下兩種情況: ①ωπ-π4,2ωπ-π4?(2kπ,2kπ+π),k∈Z, 則有ωπ-π

13、4≥2kπ,2ωπ-π4≤2kπ+π,k∈Z, 得ω∈2k+14,k+58,k∈Z, 當k=0時,ω∈14,58; ②ωπ-π4,2ωπ-π4?(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z, 則有ωπ-π4≥2kπ+π,2ωπ-π4≤2kπ+2π,k∈Z, 得ω∈2k+54,k+98,k∈Z,當k=-1時,ω∈-34,18,又ω>0,∴ω∈0,18. 綜上,ω∈0,18∪14,58,故選D. 疑難突破　將函數(shù)化簡為f(x)=22sinωx-π4,將ωx-π4看作一個整體,借助函數(shù)y=sin x的圖象得出f(x)在(π,2π)內(nèi)沒有零點時需滿足的條件,建立不等式組求解. 二、填空題 9

14、.答案　1 解析　∵z=21+i=1-i,∴z的實部為1. 10.答案　3 解析　∵f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f (0)=3. 11.答案　4 解析　由程序框圖可知, S=8,n=2; S=2,n=3; S=4,n=4,此時退出循環(huán),輸出S=4. 易錯警示　審題不清是失分的主要原因. 12.答案　(x-2)2+y2=9 解析　設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0), 由題意可得|2a|5=455,(-a)2+(5)2=r2,解得a=2,r2=9,所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9. 方法總結(jié)　待定系數(shù)法是求解圓方程的常用方

15、法,一般步驟為①設(shè)出圓的方程;②列出關(guān)于系數(shù)的方程組,并求出各系數(shù)的值;③檢驗各值是否符合題意,并寫出滿足題意的圓的方程.有時也可利用圓的幾何性質(zhì)進行求解. 13.答案　233 解析　連結(jié)AC,BC.由同弧所對的圓周角相等知∠DBA=∠ACE,又易知∠DBA=∠DEB=∠AEC,故而有∠AEC=∠ACE,所以AC=AE.∵BE=2AE=2,∴AC=AE=1,AB=3.易知△ACB為直角三角形,∠ACB=90,AC=1,AB=3, 則cos A=13.在△ACE中,由余弦定理易得CE=12+12-21113=233. 14.答案　13,23 解析　∵函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,∴-4a

16、-32≥0,0

17、bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=π6. (Ⅱ)由cos A=13,可得sin A=223, 則sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA+π6 =32sin A+12cos A=26+16. 思路分析　(Ⅰ)利用正弦定理與二倍角公式將原式轉(zhuǎn)化為角B的三角函數(shù)式進行求解;(Ⅱ)利用三角形的性質(zhì)及兩角和的正弦公式求sin C的值. 16.解析　(Ⅰ)由已知,x,y滿足的數(shù)學關(guān)系式為 4x+5y≤200,8x+5y≤360,3x+1

18、0y≤300,x≥0,y≥0. 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分: 圖1 (Ⅱ)設(shè)利潤為z萬元,則目標函數(shù)為z=2x+3y. 考慮z=2x+3y,將它變形為y=-23x+z3,這是斜率為-23,隨z變化的一族平行直線.z3為直線在y軸上的截距,當z3取最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線z=2x+3y經(jīng)過可行域上的點M時,截距z3最大,即z最大. 圖2 解方程組4x+5y=200,3x+10y=300,得點M的坐標為(20,24). 所以zmax=220+324=112. 答:生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時

19、利潤最大,且最大利潤為112萬元. 疑難突破　解決有關(guān)線性規(guī)劃實際問題的關(guān)鍵是找出兩變量之間所滿足的關(guān)系式,利用圖解法進行解答. 17.解析　(Ⅰ)證明:取BD中點O,連結(jié)OE,OG.在△BCD中,因為G是BC中點,所以O(shè)G∥DC且OG=12DC=1,又因為EF∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥OE. 又FG?平面BED,OE?平面BED, 所以,FG∥平面BED. (Ⅱ)證明:在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60,由余弦定理可得BD=3,進而∠ADB=90,即BD⊥AD.又因為平面AED⊥平面ABCD,BD?平面

20、ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因為BD?平面BED, 所以,平面BED⊥平面AED. (Ⅲ)因為EF∥AB,所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角. 過點A作AH⊥DE于點H,連結(jié)BH. 又平面BED∩平面AED=ED, 由(Ⅱ)知AH⊥平面BED. 所以,直線AB與平面BED所成的角即為∠ABH. 在△ADE中,AD=1,DE=3,AE=6,由余弦定理得cos∠ADE=23,所以sin∠ADE=53,因此,AH=ADsin∠ADE=53. 在Rt△AHB中,sin∠ABH=AHAB=56. 所以,直線EF與平面B

21、ED所成角的正弦值為56. 方法總結(jié)　證明線面平行常用線線平行或面面平行進行轉(zhuǎn)化;在證明面面垂直時注意線、面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化;解決線面角的關(guān)鍵是找出斜線在平面內(nèi)的射影,常用定義法求解. 18.解析　(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2,或q=-1. 又由S6=a11-q61-q=63,知q≠-1,所以a11-261-2=63,得a1=1.所以an=2n-1. (Ⅱ)由題意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n-1+log22n)=n-12, 即{bn}是首項為12,公差為1的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{(-1)n

22、bn2}的前n項和為Tn,則 T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2) =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2. 思路分析　(Ⅰ)利用“基本量”思想,建立關(guān)于a1,q的方程求解;(Ⅱ)利用分組求和法. 19.解析　(Ⅰ)設(shè)F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,橢圓的方程為x24+y23=1. (Ⅱ)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0), 則直線l的方程為y=k(x-2)

23、. 設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3. 由(Ⅰ)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3. 由BF⊥HF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k. 因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k. 設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx

24、+9-4k212k消去y, 解得xM=20k2+912(k2+1). 在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64. 所以,直線l的斜率為-64或64. 20.解析　(Ⅰ)由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a. 下面分兩種情況討論: (1)當a≤0時,有f (x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞). (2)當a>0時,令f (x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3. 當x變化時, f (x), f(

25、x)的變化情況如下表: x -∞,-3a3 -3a3 -3a3,3a3 3a3 3a3,+∞ f (x) + 0 - 0 + f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-3a3,3a3,單調(diào)遞增區(qū)間為-∞,-3a3,3a3,+∞. (Ⅱ)證明:因為f(x)存在極值點,所以由(Ⅰ)知a>0,且x0≠0.由題意,得f (x0)=3x02-a=0,即x02=a3,進而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b. 又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x

26、0),且-2x0≠x0,由題意及(Ⅰ)知,存在唯一實數(shù)x1滿足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0. 所以x1+2x0=0. (Ⅲ)證明:設(shè)g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M,max{x,y}表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論: (1)當a≥3時,-3a3≤-1<1≤3a3,由(Ⅰ)知, f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為[f(1), f(-1)], 因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=a-1+b,b≥0,

27、a-1-b,b<0. 所以M=a-1+|b|≥2. (2)當34≤a<3時,-23a3≤-1<-3a3<3a3<1≤23a3,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)≥f -23a3=f 3a3, f(1)≤f 23a3=f -3a3, 所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為f3a3, f-3a3, 因此M=maxf3a3,f-3a3 =max-2a93a-b,2a93a-b =max2a93a+b,2a93a-b =2a93a+|b|≥2934334=14. (3)當0

28、>f 23a3=f -3a3, 所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為[f(-1), f(1)], 因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|} =max{|1-a+b|,|1-a-b|} =1-a+|b|>14. 綜上所述,當a>0時,g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值不小于14. 思路分析　(Ⅰ)求含參數(shù)的函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,需要進行分類討論;(Ⅱ)由第(Ⅰ)問可知a>0,要證x1+2x0=0,只需證出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得結(jié)論;(Ⅲ)求g(x)在[-1,1]上的最大值,對a分情況討論即可.