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1、第第03章章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體力學(xué)基礎(chǔ)2內(nèi)容提要內(nèi)容提要3-1 剛體剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述3-2 力矩力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理3-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動能定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動能定理和角動量守恒定律一一.剛體剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)系，特殊的質(zhì)點(diǎn)系，理想化模型理想化模型形狀形狀和和體積體積不變化不變化在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變基本方法：基本方法：質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動定理 加加 剛體特性剛體特性剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律
2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 動能定理動能定理 角動量定理角動量定理3-1 剛體剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述二二.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動zMIIIII P角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度角速度角加速度角加速度1.描述描述 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸)作作圓周圓周運(yùn)動運(yùn)動_剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸固定不動固定不動 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 2.定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度當(dāng)當(dāng)P,剛體剛體 參參考考方方向向zOr定軸定軸一一.力矩力矩力力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加
3、速度 力力 F 對對z 軸的力矩軸的力矩力矩取決于力的大小、方力矩取決于力的大小、方向和作用點(diǎn)向和作用點(diǎn)在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩只有兩個(gè)指向只有兩個(gè)指向質(zhì)點(diǎn)獲得加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)hA 3-2 力矩力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律(1)(1)力對點(diǎn)的力矩力對點(diǎn)的力矩O .(2)(2)力對定軸力矩的矢量形式力對定軸力矩的矢量形式力矩的方向由力矩的方向由右螺旋法則右螺旋法則確定確定討論討論hA xLOMy例例已知棒長已知棒長 L,質(zhì)量質(zhì)量 M，在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為 的桌面轉(zhuǎn)動的桌面轉(zhuǎn)動(如圖如圖)解解根據(jù)力矩根據(jù)力矩
4、xdx求求 摩擦力對摩擦力對y軸的力矩軸的力矩例如例如TT在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算TTzOirifiFitFi對對 mi有有切向分量式為切向分量式為:Fit+fit=miait=miriFit ri+fit ri=miri2外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩 mifit二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 對所有質(zhì)元求和：對所有質(zhì)元求和：Fit ri+fit ri=miri2一對內(nèi)力的力矩之和為零一對內(nèi)力的力矩之和為零Fit ri=（miri2）剛體對轉(zhuǎn)軸剛體對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量合外力矩合外力矩MZJZ （轉(zhuǎn)動定律）轉(zhuǎn)動定律）圓盤以圓
5、盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動在桌面上轉(zhuǎn)動,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止(圓盤的轉(zhuǎn)動圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為J=1/2mRJ=1/2mR2 2)解解例例求求 到圓盤靜止所需到圓盤靜止所需時(shí)間時(shí)間取一質(zhì)元取一質(zhì)元摩擦力矩摩擦力矩R四四 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律14例例轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在，在t0時(shí)角速度時(shí)角速度為為 .此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩M的大小與角的大小與角速度速度的平方成正比，比例系數(shù)為的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常為大于零的常數(shù)數(shù))，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開時(shí)，飛輪的角加速度是
6、多少？從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？解解(1)(1)，故由轉(zhuǎn)動定律有，故由轉(zhuǎn)動定律有 15(2)(2)t0 0時(shí)，時(shí)，兩邊積分，兩邊積分故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，制動經(jīng)歷的時(shí)間為時(shí)，制動經(jīng)歷的時(shí)間為16一一 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半與角速度平方乘積的一半.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的動能，稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)的動能，稱為轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能3-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理17力矩的功力矩的功二二 力矩的功力矩的功 力矩的力矩的功率功率18三三 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理
7、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量.19例例3.53.5如圖所示，一根質(zhì)量為如圖所示，一根質(zhì)量為m，長為，長為l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.今使棒從水平位今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成3030角時(shí)中角時(shí)中心點(diǎn)心點(diǎn)C和端點(diǎn)和端點(diǎn)A的速度的速度.解解：棒受力如圖：棒受力如圖20則中心點(diǎn)則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)和端點(diǎn)A的速度分別為的速度分別為21一一 角動量角動量 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理及角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)
8、的角動量定理及角動量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)在垂直于質(zhì)點(diǎn)在垂直于 z 軸平面軸平面上以角速度上以角速度 作半徑為作半徑為 的圓運(yùn)動的圓運(yùn)動.的方向符合右手法則的方向符合右手法則.A 質(zhì)點(diǎn)角動量（相對圓心）質(zhì)點(diǎn)角動量（相對圓心）z（圓運(yùn)動）（圓運(yùn)動）1.質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量大小大小3-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律222.質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量對時(shí)間的變化率。點(diǎn)角動量對時(shí)間的變化率。此即質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的角動量此即質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的角動量定理。定理。叫沖量矩叫沖量矩 233.質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定
9、律質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律若若 ，則，則 質(zhì)點(diǎn)所受外力對某固定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受外力對某固定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動量守恒。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動對該固定點(diǎn)的角動量守恒。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律。量守恒定律。24二二 剛體對軸的角動量剛體對軸的角動量 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體對某定軸的角動量等于剛體對該軸的剛體對某定軸的角動量等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積方向沿該轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積方向沿該轉(zhuǎn)動軸，并與這時(shí)轉(zhuǎn)動的角速度方向相同軸，并與這時(shí)轉(zhuǎn)動的角速度方向相同 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量就是剛體上各質(zhì)元的角動剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量就是剛體上各質(zhì)元的角動量
10、之和量之和1.剛體對軸的角動量剛體對軸的角動量25定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)對該軸的角動量的增量這段時(shí)間內(nèi)對該軸的角動量的增量定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受的合外力矩等于此時(shí)剛體角動定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受的合外力矩等于此時(shí)剛體角動量對時(shí)間的變化率量對時(shí)間的變化率2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理26外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量守恒同一軸的角動量守恒.三三 剛體對軸的角動量守恒定律剛體對軸的角動量守恒定律27子子彈彈擊擊入入桿桿以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能
11、機(jī)械能不不守恒守恒.角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；討討 論論例例 如圖所示如圖所示,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4,3/4,求子彈穿出后棒的角速度求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為。已知棒長為l,質(zhì)量為質(zhì)量為M,棒棒的轉(zhuǎn)動慣量為：的轉(zhuǎn)動慣量為：v0vmM解解:設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向外為正設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向外為正（逆時(shí)針為正向）（逆時(shí)針為正向）由角動量守恒得由角動量守恒得解：解：例例如如圖圖所所示示，長長為為l l的的輕輕桿桿，兩兩端端各各固固定定質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為m和和2m的的小
12、小球球，桿桿可可繞繞水水平平光光滑滑固固定定軸軸O O在在豎豎直直面面內(nèi)內(nèi)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸O O距距兩兩端端分分別別為為 和和 輕輕桿桿原原來來靜靜止止在在豎豎直直位位置置.今今有有一一質(zhì)質(zhì)量量為為m m的的小小球球，以以水水平平速速度度 與與桿桿下下端端小小球球m m作作對對心心碰碰撞撞，碰碰后后以以 的的速速度度返返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度又又將將代入代入得得30例例3.9 在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動如圖所示，相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動如圖所示，A和和B兩飛輪的兩飛輪的軸桿在同一中心線上軸
13、桿在同一中心線上A輪的轉(zhuǎn)動慣量為輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA10 kgm2，B輪的轉(zhuǎn)動慣量為輪的轉(zhuǎn)動慣量為JB20 kgm2，開始時(shí)，開始時(shí)A輪每分鐘的轉(zhuǎn)速為輪每分鐘的轉(zhuǎn)速為600轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)，B輪靜止輪靜止C為摩擦嚙合為摩擦嚙合器求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速，在嚙合過程中，兩輪的器求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速，在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？機(jī)械能有何變化？解解 系統(tǒng)所受合外力矩系統(tǒng)所受合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒量守恒，即，即31為兩輪嚙合后的共同角速度，為兩輪嚙合后的共同角速度，在嚙合過程中，摩擦力矩做功，機(jī)械能不守恒，在嚙合過程中，摩擦力矩做功，機(jī)械能不守恒，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能損失的機(jī)械能為損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能損失的機(jī)械能為
大學(xué)物理第03章 剛體
