積分微分點(diǎn)積差積

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1積分微分點(diǎn)積差積積分微分點(diǎn)積差積高等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)第1頁(yè)/共23頁(yè)一、微積分基礎(chǔ)知識(shí)一、微積分基礎(chǔ)知識(shí) 1.1.函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與微分 函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域等；函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對(duì)稱(chēng)性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域等；函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對(duì)稱(chēng)性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)當(dāng)自變量在點(diǎn)當(dāng)自變量在點(diǎn)x x處有一增量處有一增量x x時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y y相應(yīng)的有一改變量相應(yīng)的有一改變量y=f(x+y=f(x+x)-f(x)

2、x)-f(x)，那么當(dāng)那么當(dāng)x x趨于零時(shí)，若比值趨于零時(shí)，若比值y/y/x x的極限存在（為一確定的有限值），則這個(gè)極限為函數(shù)的極限存在（為一確定的有限值），則這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x處導(dǎo)數(shù)，記作：處導(dǎo)數(shù)，記作：這時(shí)稱(chēng)函數(shù)這時(shí)稱(chēng)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x處是可導(dǎo)的。處是可導(dǎo)的。第2頁(yè)/共23頁(yè)函數(shù)函數(shù) y=f(x)y=f(x)在在 x x 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f(x)f(x)等于等于曲線(xiàn)曲線(xiàn) y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x處的切線(xiàn)的斜率，即：處的切線(xiàn)的斜率，即：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在物理上，動(dòng)點(diǎn)的位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是該動(dòng)點(diǎn)

3、的速度矢量；位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)（也是：速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)）是動(dòng)點(diǎn)的加速度矢量，詳見(jiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)部分在物理上，動(dòng)點(diǎn)的位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是該動(dòng)點(diǎn)的速度矢量；位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)（也是：速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)）是動(dòng)點(diǎn)的加速度矢量，詳見(jiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)部分速度矢量與加速度矢量。速度矢量與加速度矢量。第3頁(yè)/共23頁(yè)注意：以下是易混淆的兩個(gè)表示：注意：以下是易混淆的兩個(gè)表示：和和前者：只要是在上面加一點(diǎn)的，都是對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即：前者：只要是在上面加一點(diǎn)的，都是對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即：，當(dāng)然加兩點(diǎn)，則是對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即：，當(dāng)然加兩點(diǎn)，則是對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即：后者：永遠(yuǎn)是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)

4、。如對(duì)于函數(shù)后者：永遠(yuǎn)是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。如對(duì)于函數(shù)y=y(x)y=y(x)，則，則第4頁(yè)/共23頁(yè)若自變量有多個(gè)，則應(yīng)該用偏導(dǎo)，若自變量有多個(gè)，則應(yīng)該用偏導(dǎo)，是函數(shù)是函數(shù)y=y(x,t)y=y(x,t)(同時(shí)又有同時(shí)又有x=x(t)x=x(t)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)。（注意：對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)。（注意：，對(duì)于多元函數(shù)，一般，對(duì)于多元函數(shù)，一般）。）。第5頁(yè)/共23頁(yè)基本求導(dǎo)公式：基本求導(dǎo)公式：(1)(C)0，(2)(xm)mxm1，(3)(sinx)cosx，(4)(cosx)sinx，(5)(tanx)sec2x，(6)(cotx)csc2x，(7)(secx)secxtanx，(8)(cscx)csc

5、xcotx，(9)(ax)axlna，(10)(ex)ex，第6頁(yè)/共23頁(yè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：(1)(uv)=u v，(2)(Cu)=Cu(C是常數(shù))，(3)(uv)=uv+uv，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：反函數(shù)求導(dǎo)法：求導(dǎo)法則第7頁(yè)/共23頁(yè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：解：函數(shù)y=lntanx是由y=lnu，u=tanx復(fù)合而成，例1y=lntan x，求dxdy。第8頁(yè)/共23頁(yè)例2y=3xe，求dxdy。第9頁(yè)/共23頁(yè) 例3212sinxxy，求dxdy。第10頁(yè)/共23頁(yè)函數(shù)函數(shù)y=y(x)y=y(x)的微分存在的充分必要條件是：函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù)的微分存在的充分

6、必要條件是：函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù) y=f(x)y=f(x)，這時(shí)函數(shù)的微分是：，這時(shí)函數(shù)的微分是：微分微分：若函數(shù)：若函數(shù) y=y(x)y=y(x)的改變量可表示為：的改變量可表示為：式中式中dx=dx=x x，則此改變量的線(xiàn)性主部，則此改變量的線(xiàn)性主部A(x)dxA(x)dx稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y y的微分，記作：的微分，記作：第11頁(yè)/共23頁(yè)2.2.不定積分不定積分 不定積分：對(duì)函數(shù)不定積分：對(duì)函數(shù) y=y(x)y=y(x)，如果在給定區(qū)間，如果在給定區(qū)間a,ba,b上有上有則其逆運(yùn)算就是求則其逆運(yùn)算就是求 G(x)G(x)的不定積分（即：求的不定積分（即：求 G(x)G(x)的原函數(shù)）：的原

7、函數(shù)）：上式中可以看出：上式中可以看出：G(x)G(x)（被積函數(shù)）的原函數(shù)為（被積函數(shù)）的原函數(shù)為 y(x)+Cy(x)+C，不止一個(gè)。其中，不止一個(gè)。其中，CC 為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。第12頁(yè)/共23頁(yè)3.3.定積分定積分 由上面的不定積分由上面的不定積分,再加上一定的初始條件，被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確定的。再加上一定的初始條件，被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確定的。幾何意義：幾何意義：由由 y=f(x)y=f(x)的函數(shù)曲線(xiàn)，初始條件表示的直線(xiàn)，的函數(shù)曲線(xiàn)，初始條件表示的直線(xiàn)，x x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。牛頓牛頓萊布尼茲公式（萊布尼茲公式（Newton-Lei

8、bnizformulaNewton-Leibnizformula）：）：若函數(shù)若函數(shù) y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b上連續(xù)，或分段連續(xù)，則上連續(xù)，或分段連續(xù)，則 y=f(x)y=f(x)在在 a,ba,b上有原函數(shù)，設(shè)上有原函數(shù)，設(shè) F(x)F(x)是是 f(x)f(x)在在 a,ba,b上的一個(gè)原函數(shù)，則上的一個(gè)原函數(shù)，則(定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系)第13頁(yè)/共23頁(yè)基本積分表基本積分表kxC(k是常數(shù))，arctanxC，arcsinxC，ln|x|C，sinxC，cosxC，第14頁(yè)/共23頁(yè)基本積分表基本積分表第15頁(yè)/共23頁(yè)不定積分的

9、性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即分的和，即 性質(zhì)性質(zhì)2 2 求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)，即因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)，即第16頁(yè)/共23頁(yè)例例4 4例例5 5第17頁(yè)/共23頁(yè)arctanxln|x|C例例6 6例例7 7例例8 8定積分定積分第18頁(yè)/共23頁(yè)三、矢量分析基礎(chǔ)三、矢量分析基礎(chǔ)(由于物理學(xué)研究的需要而產(chǎn)生了矢量由于物理學(xué)研究的需要而產(chǎn)生了矢量)1.1.矢量的定義：矢量的定義：具有一定的大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則的量。

10、具有一定的大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則的量。矢量表示：矢量表示：2.2.矢量的加法、減法：矢量的加法、減法：矢量的加法應(yīng)滿(mǎn)足平行四邊形法則，矢量的加法應(yīng)滿(mǎn)足平行四邊形法則，而減法是加法的逆運(yùn)算，可用三角形法則；如圖所示。而減法是加法的逆運(yùn)算，可用三角形法則；如圖所示。一般計(jì)算矢量的加法、減法時(shí)，對(duì)各分量分別相加減：一般計(jì)算矢量的加法、減法時(shí)，對(duì)各分量分別相加減：第19頁(yè)/共23頁(yè)3.3.矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘 以實(shí)數(shù)以實(shí)數(shù) 乘以矢量乘以矢量 稱(chēng)為矢量的數(shù)乘，記作稱(chēng)為矢量的數(shù)乘，記作 ，顯然有：，顯然有：實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 只是一個(gè)系數(shù)，矢量的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來(lái)的只是一個(gè)系數(shù)，矢量

11、的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來(lái)的 倍。倍。的方向?yàn)椋旱姆较驗(yàn)椋簳r(shí)，與方向不變；時(shí)，與方向不變；時(shí)，與方向相反。時(shí)，與方向相反。4.4.矢量的正交分解矢量的正交分解 把矢量分解成沿著幾個(gè)正交單位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。把矢量分解成沿著幾個(gè)正交單位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。第20頁(yè)/共23頁(yè)5.5.矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積 已知兩矢量已知兩矢量 和和，夾角記作：，夾角記作：，則：，則：（1 1）矢量的）矢量的標(biāo)積標(biāo)積（又稱(chēng)：數(shù)量積、點(diǎn)乘、點(diǎn)積、內(nèi)積）：（又稱(chēng)：數(shù)量積、點(diǎn)乘、點(diǎn)積、內(nèi)積）：（結(jié)果為標(biāo)量（結(jié)果

12、為標(biāo)量）（2 2）矢量的）矢量的矢積矢積（又稱(chēng)：叉乘、叉積、外積）：（又稱(chēng)：叉乘、叉積、外積）：矢積矢積 的結(jié)果為矢量；大小為以的結(jié)果為矢量；大小為以A A、B B為邊的平行四邊形的面積：為邊的平行四邊形的面積：第21頁(yè)/共23頁(yè)6.6.矢量對(duì)矢量對(duì) t t 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對(duì)矢量函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)對(duì)矢量函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)矢函數(shù)矢函數(shù)），如果極限：，如果極限：存在，就稱(chēng)它為矢函數(shù)存在，就稱(chēng)它為矢函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，記作的導(dǎo)數(shù)，記作 ，矢函數(shù)，矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為矢函數(shù)，從而還可像標(biāo)量函數(shù)一樣求其二階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)仍為矢函數(shù)，從而還可像標(biāo)量函數(shù)一樣求其二階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)。對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，一般是對(duì)它的各個(gè)分量分別求導(dǎo)，這時(shí)矢量導(dǎo)數(shù)就變成了標(biāo)量函數(shù)的求導(dǎo)，但是如果坐標(biāo)也在變，也必須對(duì)單位矢量求導(dǎo)，如自然坐標(biāo)系中的切向單位矢量和法向單位矢量。對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，一般是對(duì)它的各個(gè)分量分別求導(dǎo)，這時(shí)矢量導(dǎo)數(shù)就變成了標(biāo)量函數(shù)的求導(dǎo)，但是如果坐標(biāo)也在變，也必須對(duì)單位矢量求導(dǎo)，如自然坐標(biāo)系中的切向單位矢量和法向單位矢量。第22頁(yè)/共23頁(yè)