大學物理：第3章剛體的定軸轉動

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1、第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案第第3章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體力學基礎剛體力學基礎主要任務：主要任務：研究物體的轉動，及轉動狀態(tài)變化的規(guī)律。研究物體的轉動，及轉動狀態(tài)變化的規(guī)律。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 在外力作用下不產(chǎn)生形變的物體在外力作用下不產(chǎn)生形變的物體在外力作用下不產(chǎn)生形變的物體在外力作用下不產(chǎn)生形變的物體(無數(shù)個連續(xù)分布的質點組成無數(shù)個連續(xù)分布的

2、質點組成無數(shù)個連續(xù)分布的質點組成無數(shù)個連續(xù)分布的質點組成的質點系，理想模型的質點系，理想模型的質點系，理想模型的質點系，理想模型)。組成剛體的每個質點稱為剛體的一個。組成剛體的每個質點稱為剛體的一個。組成剛體的每個質點稱為剛體的一個。組成剛體的每個質點稱為剛體的一個質質質質量元量元量元量元(element mass)，每個質量元都服從質點力學規(guī)律。，每個質量元都服從質點力學規(guī)律。特點特點特點特點：任意兩點間的距離始終保持不變任意兩點間的距離始終保持不變質點質點質點系質點系剛體剛體集合集合特例特例一般運動（平動轉動）一般運動（平動轉動）剛體的運動：剛體的運動：剛體的運動：剛體的運動：平動平動平動

3、平動定軸轉動定軸轉動平動和定軸轉動是剛體最基本的兩種運動形式。平動和定軸轉動是剛體最基本的兩種運動形式。平動和定軸轉動是剛體最基本的兩種運動形式。平動和定軸轉動是剛體最基本的兩種運動形式。3.1 3.1 剛體及剛體定軸轉動的描述剛體及剛體定軸轉動的描述剛體剛體(rigid body)：第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案1 1、剛體的平動、剛體的平動(translation)剛體在運動過程中，體內任意兩點的連線在運動中始終保剛體在運動過程中，體內任意兩點的連線在運動中始終保持平行。持平行。

4、剛體的平剛體的平動可以簡動可以簡化成質點化成質點處理處理AB2 2 2 2、剛體的轉動、剛體的轉動、剛體的轉動、剛體的轉動(rotation)剛體運動時，如果剛體上所有質點都繞剛體運動時，如果剛體上所有質點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的轉動。這條直線稱為轉軸轉動。這條直線稱為轉軸(rotation axis)。轉軸固定的稱為轉軸固定的稱為定軸轉動定軸轉動。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案本章研究剛體的定軸轉動本章研究剛體的定軸轉動本章研

5、究剛體的定軸轉動本章研究剛體的定軸轉動 剛體的一般運動可看成平動與定軸轉動的疊加。剛體的一般運動可看成平動與定軸轉動的疊加。3 3、描述定軸轉動的物理量、描述定軸轉動的物理量、描述定軸轉動的物理量、描述定軸轉動的物理量用角量描述定軸轉動用角量描述定軸轉動轉動平面：轉動平面：定軸轉動剛體上各質點的運動定軸轉動剛體上各質點的運動定軸轉動剛體上各質點的運動定軸轉動剛體上各質點的運動面面面面（1）轉動平面垂直于轉軸。轉動平面垂直于轉軸。（2）轉動平面上各點均作圓周運動，角轉動平面上各點均作圓周運動，角量相同，線量不同。量相同，線量不同。（3）定軸轉動剛體上各點的角速度矢量）定軸轉動剛體上各點的角速度矢

6、量 的方向均沿軸線。的方向均沿軸線。剛體定軸轉動的特點：剛體定軸轉動的特點：剛體定軸轉動的特點：剛體定軸轉動的特點：右手螺旋法則確定右手螺旋法則確定右手螺旋法則確定右手螺旋法則確定 的的的的方向。彎曲的四指沿轉方向。彎曲的四指沿轉方向。彎曲的四指沿轉方向。彎曲的四指沿轉動方向，大拇指的指向動方向，大拇指的指向動方向，大拇指的指向動方向，大拇指的指向即為角速度矢量的方向。即為角速度矢量的方向。即為角速度矢量的方向。即為角速度矢量的方向。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案剛體上任意一點的線速

7、度剛體上任意一點的線速度 與角與角速度速度 的關系：的關系：角速度大?。航撬俣却笮。航俏灰平俏灰?角坐標角坐標:基本物理量：基本物理量：角加速度矢量：角加速度矢量：角加速度矢量：角加速度矢量：定軸轉動中定軸轉動中 的方向沿轉軸，與的方向沿轉軸，與 的方向相同或相反的方向相同或相反.第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 線量與角量的關系線量與角量的關系：對于定軸轉動對于定軸轉動注意：注意：注意：注意：、是矢量，在定軸轉動中由于軸的方位不變，故用是矢量，在定軸轉動中由于軸的方位不變，故用正負表

8、示其方向。正負表示其方向。剛體作勻加速轉動時，相應公式如下：剛體作勻加速轉動時，相應公式如下：剛體作勻加速轉動時，相應公式如下：剛體作勻加速轉動時，相應公式如下：第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案3.2 3.2 定軸轉動定律定軸轉動定律1 1、對轉軸的力矩、對轉軸的力矩、對轉軸的力矩、對轉軸的力矩(moment)z轉動平面轉動平面力力 對軸的力矩對軸的力矩 定義為定義為:寫成矢量式寫成矢量式 的大小的大小:剛體受到圖示的外力作用，設剛體受到圖示的外力作用，設剛體受到圖示的外力作用，設剛體

9、受到圖示的外力作用，設在轉動平面在轉動平面在轉動平面在轉動平面(垂直轉軸的平面垂直轉軸的平面垂直轉軸的平面垂直轉軸的平面)上。上。上。上。的方向垂直轉動平面的方向垂直轉動平面,即沿轉軸方向即沿轉軸方向。單位：單位：Nm第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案zd 當外力當外力 不在垂直于轉軸的不在垂直于轉軸的平面內時平面內時,把力把力 分解為平行分解為平行轉軸的分量轉軸的分量 和垂直轉軸的分和垂直轉軸的分量量 ,只有在轉動平面上的分只有在轉動平面上的分量量 對軸的力矩才有貢獻。對軸的力矩才有貢

10、獻。2 2、定軸轉動定律、定軸轉動定律、定軸轉動定律、定軸轉動定律(law of rotation)剛體看作一個質點系剛體看作一個質點系,任取一個任取一個質點質點,質量為質量為 ,它到轉軸的距離為它到轉軸的距離為 ,作用于作用于 上的外力為上的外力為 ,內力為內力為 。(設設 和和 都在轉動平面內都在轉動平面內)z mi 以以 及及 表示表示 及及 沿切向沿切向的分力，由牛二定律，有的分力，由牛二定律，有第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案z mi兩邊乘兩邊乘 并對并對i 求和求和為所有內

11、力對轉軸的力矩的代為所有內力對轉軸的力矩的代數(shù)和，即合內力矩。數(shù)和，即合內力矩。為所有外力對轉軸的力矩的代為所有外力對轉軸的力矩的代數(shù)和，即合外力矩，數(shù)和，即合外力矩，用用 M 表示。表示。稱為剛體對定軸的稱為剛體對定軸的轉動慣量轉動慣量,用用 J J 表示表示。即即:轉動慣量的定義式轉動慣量的定義式第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 轉動定律轉動定律在剛體力學中的地位與牛頓第二定律在質點動力在剛體力學中的地位與牛頓第二定律在質點動力學中的地位相當。學中的地位相當。轉動慣量的定義轉動慣量

12、的定義轉動慣量的定義轉動慣量的定義3 3、轉動慣量及其計算轉動慣量及其計算轉動慣量及其計算轉動慣量及其計算剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 轉動定律轉動定律與牛二定律比較可知與牛二定律比較可知,與與 對應對應,與與 對應對應,J與與 對應對應;所以剛體的轉動慣量是剛體轉動慣性大小的量度所以剛體的轉動慣量是剛體轉動慣性大小的量度.剛體作定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成剛體作定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。正比，與剛體的轉動慣量成反比。單位：單位：kg.m2第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸

13、轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案剛體轉動慣量剛體轉動慣量剛體轉動慣量剛體轉動慣量（J J ）的大小與下列因素有關：）的大小與下列因素有關：）的大小與下列因素有關：）的大小與下列因素有關：(3)(3)(3)(3)與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關。轉動慣量的定義轉動慣量的定義轉動慣量的定義轉動慣量的定義(2)(2)(2)(2)剛體質量一定時，與質量分布有關；剛體質量一定時，與質量分布有關；剛體質量一定時，與質量分布有關；剛體質量一定時，與質量分布有關；(同同m,J中空中空J實實)(1)(1)(1)(1)與剛體的質量大小有關；與剛體的質量大小

14、有關；與剛體的質量大小有關；與剛體的質量大小有關；(同分布同分布M m,JM Jm)轉動慣量僅取決于剛體本身的轉動慣量僅取決于剛體本身的轉動慣量僅取決于剛體本身的轉動慣量僅取決于剛體本身的性質，即與剛體的質量、質量分性質，即與剛體的質量、質量分性質，即與剛體的質量、質量分性質，即與剛體的質量、質量分布以及轉軸的位置有關。布以及轉軸的位置有關。布以及轉軸的位置有關。布以及轉軸的位置有關。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案(1)(1)(1)(1)分立質點分立質點分立質點分立質點轉動慣量的計算

15、轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量的計算 例例例例1 1.由長l 的輕桿連接的質點如圖所示，求質點系對過A垂直于該平面的軸的轉動慣量。解：解：由定義式由定義式思考：思考：A A點移至質量為點移至質量為2 2m 的桿中心處的桿中心處 J J=?=?第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例2.計算長為計算長為L,質量為質量為m的均質細棒的轉動慣量。（的均質細棒的轉動慣量。（1）對通）對通過棒的一端并與棒垂直的軸；（過棒的一端并與棒垂直的軸；（2）對通過棒的中心并與棒垂直）對通過棒的中心并與棒

16、垂直的軸。的軸。(2)(2)(2)(2)質量連續(xù)分布的剛體質量連續(xù)分布的剛體質量連續(xù)分布的剛體質量連續(xù)分布的剛體轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量的計算解解:(1)在在x處取質量元處取質量元它對軸的轉動慣量它對軸的轉動慣量整條棒整條棒oxz第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（2）同一棒繞過中心軸的轉動慣量同一棒繞過中心軸的轉動慣量oxz例例例例3.3.求質量求質量求質量求質量 mm ,半徑半徑半徑半徑 R R 的圓環(huán)對中心垂直軸的轉動慣量的圓環(huán)對中心垂直軸的轉動慣量的圓環(huán)

17、對中心垂直軸的轉動慣量的圓環(huán)對中心垂直軸的轉動慣量。解：解：在環(huán)上取質量元在環(huán)上取質量元ROdm第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案ROm1思考思考1.環(huán)上加一質量為環(huán)上加一質量為m1的質點的質點,J1=?思考思考2.環(huán)上有一個環(huán)上有一個 x的缺口，的缺口，J2=?xROmJ1=mR2+m1R2第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例4.4.一質量為一質量為 m，半徑為半徑為 R

18、的均質圓盤，求通過盤中心并與的均質圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量。盤面垂直的軸的轉動慣量。解：解：在在 處取寬度為處取寬度為 的細環(huán)的細環(huán)ROrdrO均質圓盤均質圓盤第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量，由實驗測定。幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量，由實驗測定。幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量，由實驗測定。幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量，由實驗測定。幾種常見剛體的轉動慣量幾種常見剛體的轉動慣量幾種常見剛體的轉動慣量幾種常見剛體的轉動慣量圓環(huán)：轉軸通過

19、中心圓環(huán)：轉軸通過中心與盤面垂直與盤面垂直r圓環(huán)：轉軸沿直徑圓環(huán)：轉軸沿直徑r第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案薄圓盤：轉軸通過中薄圓盤：轉軸通過中心與盤面垂直心與盤面垂直r2r1圓筒：轉軸沿幾何軸圓筒：轉軸沿幾何軸r第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案lr圓柱體：轉軸沿幾何軸圓柱體：轉軸沿幾何軸lr圓柱體：轉軸通過中圓柱體：轉軸通過中心與幾何軸垂直心與幾何軸垂直第第第第3 3 3

20、3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案l細棒：轉軸通過中細棒：轉軸通過中心與棒垂直心與棒垂直l細棒：轉軸通過端點細棒：轉軸通過端點與棒垂直與棒垂直第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案2r球體：轉軸沿直徑球體：轉軸沿直徑2r球殼：轉軸沿直徑球殼：轉軸沿直徑第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案4、轉動定律的

21、應用、轉動定律的應用例例例例5 5、質量質量 M=16 kg、半徑為半徑為 R=0.15 m 的實心滑輪的實心滑輪,一根細繩繞在其上，繩端掛一質一根細繩繞在其上，繩端掛一質量為量為 m 的物體。求（的物體。求（1）由靜止開始）由靜止開始 1 秒鐘秒鐘后，物體下降的距離。（后，物體下降的距離。（2）繩子的張力。）繩子的張力。用轉動定律解題的基本步驟與用牛頓第二定律解題的步驟相似。用轉動定律解題的基本步驟與用牛頓第二定律解題的步驟相似。解：解：解：解：分別隔離滑輪和重物分別隔離滑輪和重物,畫出它們的畫出它們的受力圖受力圖,如圖所示如圖所示 對重物由牛二定律對重物由牛二定律,對滑輪由轉對滑輪由轉動定

22、律列方程如下動定律列方程如下:注：滑輪受到轉軸的支注：滑輪受到轉軸的支撐力和重力是一對平衡撐力和重力是一對平衡力，對定滑輪的運動不力，對定滑輪的運動不起作用，可以不畫。起作用，可以不畫。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案解方程，先進行文字運算，再代入數(shù)值解方程，先進行文字運算，再代入數(shù)值解方程，先進行文字運算，再代入數(shù)值解方程，先進行文字運算，再代入數(shù)值第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教

23、案教案例例例例6 6、質量為質量為 m1 和和 m2 的兩物體，分別掛在兩條繩上，繩繞的兩物體，分別掛在兩條繩上，繩繞在鼓輪上（如圖所示）。已知鼓輪的轉動慣量為在鼓輪上（如圖所示）。已知鼓輪的轉動慣量為J，求兩物體求兩物體的加速度。的加速度。R RR2 22R R1 1m1m2解：解：分別隔離滑輪和重物分別隔離滑輪和重物,畫出它畫出它們的受力圖們的受力圖,如圖所示如圖所示第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案聯(lián)立以上方程求得聯(lián)立以上方程求得:R RR2 22R R1 1m1m2第第第第3 3

24、 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例7 7 7 7、一輕繩跨過兩個一輕繩跨過兩個一輕繩跨過兩個一輕繩跨過兩個質量均為質量均為m、半徑均為、半徑均為r r的定滑輪，繩的的定滑輪，繩的兩端分別掛著質量為兩端分別掛著質量為m1=m和和m2 2=2=2m的重物，系統(tǒng)由靜止開始運的重物，系統(tǒng)由靜止開始運動，求兩滑輪之間繩內的張力。動，求兩滑輪之間繩內的張力。解：解：分別隔離滑輪和重物分別隔離滑輪和重物,畫出它們畫出它們的受力圖的受力圖,如圖所示如圖所示聯(lián)立以上聯(lián)立以上聯(lián)立以上聯(lián)立以上5 5 5 5個方程解

25、得個方程解得個方程解得個方程解得:第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案5、平行軸定理、平行軸定理*若剛體若剛體對過質心的軸對過質心的軸的轉動慣量為的轉動慣量為 Jc，則剛體對與該軸相則剛體對與該軸相距為距為 d 的平行軸的平行軸 z的轉動慣量的轉動慣量 Jz為為mR R R R稱為稱為平行軸定理平行軸定理如圖，若如圖，若則：則：第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案作業(yè)作業(yè)P8690頁頁

26、 4,5，11，12 計計 19 第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案1 1、力矩的功、力矩的功、力矩的功、力矩的功z 3.3 3.3 轉動中的功和能轉動中的功和能 剛體在外力剛體在外力 作用下轉過作用下轉過一微小角位移一微小角位移 。力的作用。力的作用點的位移為點的位移為在在 上的上的元功元功為：為：剛體在外力矩剛體在外力矩 M 作用下轉作用下轉過一有限角位移過一有限角位移 時，力矩的時，力矩的總功總功第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉

27、動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案2 2、剛體的轉動動能、剛體的轉動動能、剛體的轉動動能、剛體的轉動動能 轉動動能定理轉動動能定理轉動動能定理轉動動能定理轉動剛體中任意一質元的動能：轉動剛體中任意一質元的動能：轉動剛體中任意一質元的動能：轉動剛體中任意一質元的動能：剛體的剛體的剛體的剛體的轉動動能轉動動能轉動動能轉動動能：z物體平物體平物體平物體平動動能動動能動動能動動能m 是物體平動慣性大小的量度是物體平動慣性大小的量度J 是物體轉動慣性大小的量度是物體轉動慣性大小的量度（1 1）剛體的轉動動能剛體的轉動動能剛體的轉動動能剛體的轉動動能 mi第第第第3 3 3 3章章章

28、章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（2 2）定軸轉動的動能定理）定軸轉動的動能定理）定軸轉動的動能定理）定軸轉動的動能定理即：即：合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉動動能的合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉動動能的增量。增量。把質點系動能定理應用于剛體把質點系動能定理應用于剛體質點系動能定理質點系動能定理質點系動能定理質點系動能定理 對剛體，因為對剛體，因為 ，只需把，只需把 換成外力矩的功，平動換成外力矩的功，平動動能換成轉動動能動能換成轉動動能,就得到剛體就得到剛體定軸轉動的動能定理定軸轉動的動能定理定軸轉動的

29、動能定理定軸轉動的動能定理注意：注意：注意：注意：動能定理中的功動能定理中的功動能定理中的功動能定理中的功WW，指合外力矩的功。，指合外力矩的功。，指合外力矩的功。，指合外力矩的功。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案3 3、剛體的重力勢能、剛體的重力勢能、剛體的重力勢能、剛體的重力勢能 機械能機械能機械能機械能 剛體的重力勢能為剛體中所有質元的重力剛體的重力勢能為剛體中所有質元的重力剛體的重力勢能為剛體中所有質元的重力剛體的重力勢能為剛體中所有質元的重力勢能之和。勢能之和。勢能之和。勢能

30、之和。任一質元的重力勢能任一質元的重力勢能任一質元的重力勢能任一質元的重力勢能剛體的重力勢能剛體的重力勢能剛體的重力勢能剛體的重力勢能設剛體的質心相對零勢能位置的高度為設剛體的質心相對零勢能位置的高度為則則即：剛體的重力勢能等于剛體即：剛體的重力勢能等于剛體即：剛體的重力勢能等于剛體即：剛體的重力勢能等于剛體的質量全部集中在質心處的質的質量全部集中在質心處的質的質量全部集中在質心處的質的質量全部集中在質心處的質點的重力勢能點的重力勢能點的重力勢能點的重力勢能 miz（1 1）剛體的重力勢能剛體的重力勢能剛體的重力勢能剛體的重力勢能第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體

31、的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（2 2）剛體的機械能剛體的機械能剛體的機械能剛體的機械能4 4 4 4、定軸轉動的功能原理、定軸轉動的功能原理、定軸轉動的功能原理、定軸轉動的功能原理由轉動動能定理由轉動動能定理由轉動動能定理由轉動動能定理所以所以所以所以第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 例例7.7.一質量為一質量為一質量為一質量為MM、半徑、半徑、半徑、半徑R R的圓盤，盤上繞有細繩，一端掛有的圓盤，盤上繞有細繩，一端掛有的圓盤，盤上繞有

32、細繩，一端掛有的圓盤，盤上繞有細繩，一端掛有質量為質量為質量為質量為mm的物體。設細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，問物體的物體。設細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，問物體的物體。設細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，問物體的物體。設細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，問物體由靜止下落高度由靜止下落高度由靜止下落高度由靜止下落高度h h時其速度為多大？時其速度為多大？時其速度為多大？時其速度為多大？解：解：隔離圓盤和重物，受力圖如圖所示隔離圓盤和重物，受力圖如圖所示隔離圓盤和重物，受力圖如圖所示隔離圓盤和重物，受力圖如圖所示解得解得對圓盤：由轉動動能定理或功能原理，有對圓盤：由轉動動能定理或功能原理，有對

33、圓盤：由轉動動能定理或功能原理，有對圓盤：由轉動動能定理或功能原理，有對物體：由質點動能定理或功能原理，有對物體：由質點動能定理或功能原理，有對物體：由質點動能定理或功能原理，有對物體：由質點動能定理或功能原理，有Mm第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例8 8、質量為質量為質量為質量為3 3mm 、長為長為長為長為 2 2l l 的均質細桿，轉軸在的均質細桿，轉軸在的均質細桿，轉軸在的均質細桿，轉軸在 o o o o 點，兩端點，兩端點，兩端點，兩端各固定質量分別為各固定質量分別為

34、各固定質量分別為各固定質量分別為2 2mm和和和和mm的小球的小球的小球的小球。系統(tǒng)從靜止開始由水平位置。系統(tǒng)從靜止開始由水平位置。系統(tǒng)從靜止開始由水平位置。系統(tǒng)從靜止開始由水平位置繞繞繞繞o o o o點轉動。求點轉動。求點轉動。求點轉動。求:(1):(1):(1):(1)系統(tǒng)對系統(tǒng)對系統(tǒng)對系統(tǒng)對o o o o 軸的轉動慣量；軸的轉動慣量；軸的轉動慣量；軸的轉動慣量；(2)(2)(2)(2)水平位置時水平位置時水平位置時水平位置時系統(tǒng)的角加速度系統(tǒng)的角加速度系統(tǒng)的角加速度系統(tǒng)的角加速度;（3)3)3)3)轉到垂直位置時系統(tǒng)的角速度。轉到垂直位置時系統(tǒng)的角速度。轉到垂直位置時系統(tǒng)的角速度。轉到

35、垂直位置時系統(tǒng)的角速度。解：解：解：解：o(1)(1)系統(tǒng)對系統(tǒng)對o軸的轉動慣量軸的轉動慣量(2)(2)水平位置時系統(tǒng)的角加速度水平位置時系統(tǒng)的角加速度由轉動定律由轉動定律所以所以第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（3 3 3 3）通過垂直位置時的角速度）通過垂直位置時的角速度）通過垂直位置時的角速度）通過垂直位置時的角速度,有三種解法有三種解法有三種解法有三種解法o(解解解解1)1)1)1)用轉動定律求解用轉動定律求解用轉動定律求解用轉動定律求解任意位置系統(tǒng)受到的合外力矩為：任意位置系

36、統(tǒng)受到的合外力矩為：求得求得為一變力矩，由轉動定律為一變力矩，由轉動定律第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案(解解解解2)2)2)2)用轉動動能定理求解用轉動動能定理求解用轉動動能定理求解用轉動動能定理求解合外力矩的功等于剛體轉動動能的增量合外力矩的功等于剛體轉動動能的增量合外力矩的功等于剛體轉動動能的增量合外力矩的功等于剛體轉動動能的增量o求得求得力矩的元功：力矩的元功：力矩的元功：力矩的元功：從水平位置轉到鉛垂位置，力矩的從水平位置轉到鉛垂位置，力矩的從水平位置轉到鉛垂位置，力矩的從水

37、平位置轉到鉛垂位置，力矩的總功：總功：總功：總功：由轉動動能定理由轉動動能定理由轉動動能定理由轉動動能定理第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 此剛體組此剛體組此剛體組此剛體組+地球系統(tǒng)地球系統(tǒng)地球系統(tǒng)地球系統(tǒng),轉動過程轉動過程轉動過程轉動過程中，只有重力矩作功中，只有重力矩作功中，只有重力矩作功中，只有重力矩作功,系統(tǒng)機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)機械能守恒能守恒能守恒能守恒o(解解3)3)用機械能守恒定律求解用機械能守恒定律求解求得求得取過最低點的水平面為零勢能取過最低點的水平面為零勢能取過

38、最低點的水平面為零勢能取過最低點的水平面為零勢能面，由機械能守恒定律，有面，由機械能守恒定律，有面，由機械能守恒定律，有面，由機械能守恒定律，有第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案1 1、質點的角動量、質點的角動量、質點的角動量、質點的角動量(angular momentum)o質點對質點對O O點的點的角動量角動量角動量角動量：kg m2s-13.4 3.4 對對定軸的角動量定理定軸的角動量定理 及角動量守恒定律及角動量守恒定律質點作勻速率圓周運動質點作勻速率圓周運動：角動量角動量角動量

39、角動量動量矩動量矩動量矩動量矩第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案2 2、剛體對定軸的角動量、剛體對定軸的角動量、剛體對定軸的角動量、剛體對定軸的角動量 miz的方向沿定軸，可用的方向沿定軸，可用正、負表示正、負表示方向方向。剛體看成許多質點組成剛體看成許多質點組成,任意一任意一質元質元 對軸的角動量大小為對軸的角動量大小為整個剛體的角動量整個剛體的角動量第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教

40、案教案3 3、定軸轉動的角動量定理、定軸轉動的角動量定理、定軸轉動的角動量定理、定軸轉動的角動量定理由剛體定軸轉動定律：由剛體定軸轉動定律：對力矩作用的時間積分對力矩作用的時間積分即：即：剛體角動量的增量等于合外力矩的沖量矩剛體角動量的增量等于合外力矩的沖量矩。式中式中 是力矩對時間的積分是力矩對時間的積分,稱為稱為沖量矩沖量矩。定軸轉動的定軸轉動的定軸轉動的定軸轉動的角動量定理角動量定理角動量定理角動量定理第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案寫成矢量式寫成矢量式4 4、角動量守恒定律、角

41、動量守恒定律、角動量守恒定律、角動量守恒定律 角動量定理中，若剛體受到的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動角動量定理中，若剛體受到的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動角動量定理中，若剛體受到的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動角動量定理中，若剛體受到的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒。量守恒。量守恒。量守恒。即：即：角動量（動量矩）角動量（動量矩）角動量（動量矩）角動量（動量矩）定理的積分形式定理的積分形式定理的積分形式定理的積分形式角動量定理角動量定理角動量定理角動量定理的微分形式的微分形式的微分形式的微分形式第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大

42、學物理大學物理A A教案教案教案教案跳水運動員跳水運動員角動量守恒實例角動量守恒實例第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 (1)在在r處取一寬度為處取一寬度為dr的圓環(huán)的圓環(huán),如圖所示如圖所示.其質量、受到的摩擦阻力其質量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分別為及摩擦阻力矩分別為解解:oRdrdrr r例例例例9 9 9 9：質量為質量為質量為質量為mm，半徑為，半徑為，半徑為，半徑為R R 的均質薄圓盤放在水平桌面上，可繞的均質薄圓盤放在水平桌面上，可繞的均質薄圓盤放在水平桌面上，可繞的均質薄

43、圓盤放在水平桌面上，可繞盤中心并與盤面垂直的固定光滑軸轉動。初始時刻盤的角速度盤中心并與盤面垂直的固定光滑軸轉動。初始時刻盤的角速度盤中心并與盤面垂直的固定光滑軸轉動。初始時刻盤的角速度盤中心并與盤面垂直的固定光滑軸轉動。初始時刻盤的角速度為為為為 ，盤與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，盤與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，盤與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，盤與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為 ，求，求，求，求:(1):(1):(1):(1)圓盤轉動時圓盤轉動時圓盤轉動時圓盤轉動時受到的摩擦阻力矩；受到的摩擦阻力矩；受到的摩擦阻力矩；受到的摩擦阻力矩；(2)(2)(2)(2)經(jīng)多長時間圓盤停止經(jīng)多長時間圓盤停止經(jīng)多長時間圓盤停

44、止經(jīng)多長時間圓盤停止轉動轉動。第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案圓盤轉動時受到的總摩擦阻力矩為圓盤轉動時受到的總摩擦阻力矩為 (2)(2)求圓盤停止轉動的時間有求圓盤停止轉動的時間有兩種解法兩種解法解解1 1 用轉動定律求用轉動定律求求得求得:oRdrdrr r第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案oR R解解解解2 2 2 2 用角動量定理求用角動量定理求用角動量定理求用角動量定理求

45、第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案碰后棒在轉動過程中受到的摩擦阻力矩為碰后棒在轉動過程中受到的摩擦阻力矩為 例例1010：質量為質量為m1,長為長為 l 的均質細棒，靜止平放在滑動摩的均質細棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為 的水平桌面上，可繞通過其端點的水平桌面上，可繞通過其端點o o并與桌面垂直的并與桌面垂直的固定光滑軸轉動固定光滑軸轉動.今有一水平運動的質量為今有一水平運動的質量為m2的小滑塊的小滑塊,從側從側面垂直于棒與棒的另一端面垂直于棒與棒的另一端A相碰相碰,設碰撞時間極短

46、設碰撞時間極短.已知小滑已知小滑塊在碰撞前后的速度大小分別為塊在碰撞前后的速度大小分別為v1和和v2,方向如圖所示。求碰方向如圖所示。求碰后細棒開始轉動到停止轉動所需的時間。后細棒開始轉動到停止轉動所需的時間。解解:設碰后棒開始轉動的角速度為設碰后棒開始轉動的角速度為 ,滑滑塊塊m2 2可視為質點可視為質點,碰撞瞬時忽略摩擦阻力碰撞瞬時忽略摩擦阻力矩矩,則則m1 1、m2 2系統(tǒng)對系統(tǒng)對o o軸的角動量守恒軸的角動量守恒,取取逆時針轉動的方向為正方向逆時針轉動的方向為正方向,由角動量守由角動量守恒定律恒定律,有有第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定

47、軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案又設棒開始轉動到停止轉動所需時間為又設棒開始轉動到停止轉動所需時間為t,由角動量定理由角動量定理聯(lián)立聯(lián)立 解得解得 第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例11：一長為一長為 l，質量為質量為 M 的桿垂直懸掛的桿垂直懸掛,桿可繞支點桿可繞支點O自自由轉動。一質量為由轉動。一質量為 m，速度為速度為 v 的子彈射入距支點為的子彈射入距支點為 a 的棒的棒內內,若棒偏轉角為若棒偏轉角為 30，問子彈的初速度為多少，問子彈的初速度為多

48、少?解：解：解：解：子彈與桿碰撞的過程角動量守恒子彈與桿碰撞的過程角動量守恒子彈連同桿上擺的過程機械能守恒子彈連同桿上擺的過程機械能守恒oal lv3030第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案作業(yè)：作業(yè)：P8690頁頁 8，9，15 計計 23,26 第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案*3.5 進進 動動 繞自身對稱軸高速旋轉的物體繞自身對稱軸高速旋轉的物體,在外力矩的作用下在外力矩

49、的作用下,其對稱其對稱軸繞一固定軸的回轉運動稱為軸繞一固定軸的回轉運動稱為旋進旋進(進動進動)(precession)。陀螺的運動陀螺的運動OZ第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案可用角動量守恒定理來解釋回轉儀的旋進?？捎媒莿恿渴睾愣ɡ韥斫忉尰剞D儀的旋進?；剞D儀回轉儀飛輪對自身軸也即對飛輪對自身軸也即對o點的角動點的角動量量飛輪受重力矩飛輪受重力矩使使 方向改變方向改變,而大小不變而大小不變.因為 自轉軸將在水平面內逆時針方向自轉軸將在水平面內逆時針方向(俯視俯視)回轉回轉 進動現(xiàn)象是自旋

50、進動現(xiàn)象是自旋(spin)的物體在外力距作用下，沿外力矩方的物體在外力距作用下，沿外力矩方向不斷改變其自旋角動量方向的結果。向不斷改變其自旋角動量方向的結果。進動的解釋：進動的解釋：第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案問題問題1、一個人站在有光滑固定轉軸的轉動平臺上一個人站在有光滑固定轉軸的轉動平臺上,雙臂伸雙臂伸直水平地舉起二啞鈴直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中過程中,人、啞鈴與轉動平臺組成的系統(tǒng)的人、啞鈴與轉動平臺組成的系統(tǒng)的（

51、A）機械能守恒機械能守恒,角動量守恒角動量守恒;（B）機械能守恒機械能守恒,角動量不守恒角動量不守恒,（C）機械能不守恒機械能不守恒,角動量守恒角動量守恒;（D）機械能不守恒機械能不守恒,角動量不守恒角動量不守恒.問題討論問題討論第第第第3 3 3 3章章章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案問題問題2、人造地球衛(wèi)星，繞地球作橢圓軌道運動，地球人造地球衛(wèi)星，繞地球作橢圓軌道運動，地球在橢圓的一個焦點上，則衛(wèi)星的在橢圓的一個焦點上，則衛(wèi)星的(A)動量不守恒，動能守恒；動量不守恒，動能守恒；(B)動量守恒，動能不守恒；動量守恒，動能不守恒；(C)角動量守恒，動能不守恒；角動量守恒，動能不守恒；(D)角動量不守恒，動能守恒。角動量不守恒，動能守恒。