高等數(shù)學(xué)-曲面方程(高等教育出版社)

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1、目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 四 、 二 次 曲 面 第 三 節(jié)一 、 曲 面 方 程 的 概 念二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 三 、 柱 面曲 面 及 其 方 程 第 八 章 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 一 、 曲 面 方 程 的 概 念求 到 兩 定 點(diǎn) A(1,2,3) 和 B(2,-1,4)等 距 離 的 點(diǎn) 的222 )3()2()1( zyx 07262 zyx化 簡(jiǎn) 得 即說(shuō) 明 : 動(dòng) 點(diǎn) 軌 跡 為 線 段 AB 的 垂 直 平 分 面 .引 例 :顯 然 在 此 平 面 上 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 滿 足 此 方 程 , 不 在 此 平 面 上 的 點(diǎn) 的

2、坐 標(biāo) 不 滿 足 此 方 程 . 222 )4()1()2( zyx解 :設(shè) 軌 跡 上 的 動(dòng) 點(diǎn) 為 ,),( zyxM ,BMAM 則軌 跡 方 程 . 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 定 義 1. 0),( zyxF如 果 曲 面 S 與 方 程 F( x, y, z ) = 0 有 下 述 關(guān) 系 :(1) 曲 面 S 上 的 任 意 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 滿 足 此 方 程 則 F( x, y, z ) = 0 叫 做 曲 面 S 的 方 程 , 曲 面 S 叫 做 方 程 F( x, y, z ) = 0 的 圖 形 .兩 個(gè) 基 本 問(wèn) 題 :(1) 已 知 一 曲 面

3、 作 為 點(diǎn) 的 幾 何 軌 跡 時(shí) ,(2) 不 在 曲 面 S 上 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 不 滿 足 此 方 程 求 曲 面 方 程 .(2) 已 知 方 程 時(shí) , 研 究 它 所 表 示 的 幾 何 形 狀( 必 要 時(shí) 需 作 圖 ). Sz yx O 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 故 所 求 方 程 為例 1. 求 動(dòng) 點(diǎn) 到 定 點(diǎn) ),( zyxM ),( 0000 zyxM方 程 . 特 別 ,當(dāng) M0在 原 點(diǎn) 時(shí) ,球 面 方 程 為解 : 設(shè) 軌 跡 上 動(dòng) 點(diǎn) 為 RMM 0即 依 題 意距 離 為 R 的 軌 跡MOx yz 0M222 yxRz 表 示 上

4、 (下 )球 面 . Rzzyyxx 202020 )()()( 2202020 )()()( Rzzyyxx 2222 Rzyx 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 2. 研 究 方 程 042222 yxzyx解 : 配 方 得 5,)0,2,1(0 M可 見(jiàn) 此 方 程 表 示 一 個(gè) 球 面說(shuō) 明 :如 下 形 式 的 三 元 二 次 方 程 ( A 0 )都 可 通 過(guò) 配 方 研 究 它 的 圖 形 .其 圖 形 可 能 是的 曲 面 . 表 示 怎 樣半 徑 為 0)( 222 GFzEyDxzyxA球 心 為 一 個(gè) 球 面 , 或 點(diǎn) , 或 虛 軌 跡 .5)2()

5、1( 222 zyx 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 定 義 2. 一 條 平 面 曲 線二 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 繞 其 平 面 上 一 條 定 直 線 旋 轉(zhuǎn)一 周 所 形 成 的 曲 面 叫 做 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 .該 定 直 線 稱 為 旋 轉(zhuǎn)軸 .例 如 : 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 建 立 yOz面 上 曲 線 C 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面 的 方 程 :故 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為,),( zyxM當(dāng) 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 時(shí) , 0),( 11 zyf ,),0( 111 CzyM 若 點(diǎn)給 定 yOz 面 上 曲 線 C: ),0( 111 zyM

6、1221, yyxzz 則 有 0),( 22 zyxf 則 有該 點(diǎn) 轉(zhuǎn) 到 0),( zyf O z yx C),( zyxM 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 思 考 ： 當(dāng) 曲 線 C 繞 y 軸 旋 轉(zhuǎn) 時(shí) ， 方 程 如 何 ？0),(: zyfCO yxz 0),( 22 zxyf 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 x yzO例 3. 試 建 立 頂 點(diǎn) 在 原 點(diǎn) , 旋 轉(zhuǎn) 軸 為 z 軸 , 半 頂 角 為 的 圓 錐 面 方 程 . 解 : 在 yOz面 上 直 線 L 的 方 程 為cotyz繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 時(shí) ,圓 錐 面 的 方 程 為cot22 y

7、xz )( 2222 yxaz cota令 兩 邊 平 方 L ),0( zyM 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 x yzO x yzO例 4. 求 坐 標(biāo) 面 xOz 上 的 雙 曲 線 12222 czax 分 別 繞 x軸 和 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 生 成 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 . 解 : 繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 12 2222 c zyax繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 1222 22 cza yx這 兩 種 曲 面 都 叫 做 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 .所 成 曲 面 方 程 為所 成 曲 面 方 程 為 x yzO 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 x yz三 、 柱 面引

8、例 . 分 析 方 程表 示 怎 樣 的 曲 面 .的 坐 標(biāo) 也 滿 足 方 程 222 Ryx 解 :在 xOy 面 上 ， 表 示 圓 C, 222 Ryx 222 Ryx 沿 圓 周 C平 行 于 z 軸 的 一 切 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 圓故 在 空 間222 Ryx 過(guò) 此 點(diǎn) 作柱 面 . 對(duì) 任 意 z ,平 行 z 軸 的 直 線 l , 表 示 圓 柱 面 C在 圓 C上 任 取 一 點(diǎn) ,)0,(1 yxM lM1M),( zyxM點(diǎn)其 上 所 有 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 滿 足 此 方 程 , O 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 Ox y zx y

9、zOx yz定 義 3. 平 行 定 直 線 并 沿 定 曲 線 C 移 動(dòng) 的 直 線 l 形 成的 軌 跡 叫 做 柱 面 . 表 示 拋 物 柱 面 ,母 線 平 行 于 z 軸 ;準(zhǔn) 線 為 xOy 面 上 的 拋 物 線 . z 軸 的 橢 圓 柱 面 .xy 22 12222 byax z 軸 的 平 面 .0yx 表 示 母 線 平 行 于 C(且 z 軸 在 平 面 上 )表 示 母 線 平 行 于C 叫 做 準(zhǔn) 線 , l 叫 做 母 線 . O l 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 x z y2l一 般 地 ,在 三 維 空 間 柱 面 ,柱 面 ,平 行 于 x 軸

10、 ;平 行 于 y 軸 ;平 行 于 z 軸 ;準(zhǔn) 線 xOz 面 上 的 曲 線 l3.母 線 柱 面 ,準(zhǔn) 線 xOy 面 上 的 曲 線 l1.母 線準(zhǔn) 線 yOz 面 上 的 曲 線 l2. 母 線 表 示方 程 0),( yxF 表 示方 程 0),( zyG 表 示方 程 0),( xzH x yz3lx yz 1l OOO 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 四 、 二 次 曲 面三 元 二 次 方 程 適 當(dāng) 選 取 直 角 坐 標(biāo) 系 可 得 它 們 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ,下 面 僅 就 幾 種 常 見(jiàn) 標(biāo) 準(zhǔn) 型 的 特 點(diǎn) 進(jìn) 行 介 紹 .研 究 二 次 曲 面 特

11、 性 的 基 本 方 法 : 截 痕 法 其 基 本 類 型 有 : 橢 球 面 、 拋 物 面 、 雙 曲 面 、 錐 面的 圖 形 統(tǒng) 稱 為 二 次 曲 面 . FzxEyxDxyCzByAx 222 0 JIzHyGx(二 次 項(xiàng) 系 數(shù) 不 全 為 0 ) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 z yx O1. 橢 球 面 ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax (1)范 圍 ： czbyax ,(2)與 坐 標(biāo) 面 的 交 線 ： 橢 圓,0 12222 z byax ,0 12222 x czby 0 12222y czax 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束

12、1222222 czbyax 與 )( 11 czzz 的 交 線 為 橢 圓 ：1zz(4) 當(dāng) a b 時(shí) 為 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 ;同 樣 )( 11 byyy 的 截 痕）（ axxx 11及也 為 橢 圓 . 當(dāng) a b c 時(shí) 為 球 面 .(3) 截 痕 : 1)()( 212 2212 2 2222 zcyzcx cbca cba ,( 為 正 數(shù) ) z 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2. 拋 物 面 zqypx 22 22(1) 橢 圓 拋 物 面 ( p , q 同 號(hào) )(2) 雙 曲 拋 物 面 （ 鞍 形 曲 面 ）zqypx 22 22 ( p , q

13、同 號(hào) ) z yxOz yx O特 別 ,當(dāng) p = q 時(shí) 為 繞 z 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 . 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 3. 雙 曲 面(1)單 葉 雙 曲 面by 1)1 上 的 截 痕 為平 面 1zz 橢 圓 .時(shí) , 截 痕 為 2212222 1 byczax (實(shí) 軸 平 行 于 x 軸 ；虛 軸 平 行 于 z 軸 ）1yy ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax 1yy平 面 上 的 截 痕 情 況 :雙 曲 線 : zx yO 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 虛 軸 平 行 于 x 軸 ） by 1)2 時(shí) , 截 痕 為0cz

14、ax )( bby 或by 1)3 時(shí) , 截 痕 為 2212222 1 byczax (實(shí) 軸 平 行 于 z 軸 ;1yy 相 交 直 線 : 雙 曲 線 : 0 zx yOzx yO 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 (2) 雙 葉 雙 曲 面 ),(1222222 為 正 數(shù)cbaczbyax 上 的 截 痕 為平 面 1yy 雙 曲 線上 的 截 痕 為平 面 1xx 上 的 截 痕 為平 面 )( 11 czzz 橢 圓注 意 單 葉 雙 曲 面 與 雙 葉 雙 曲 面 的 區(qū) 別 : 雙 曲 線 222222 czbyax 單 葉 雙 曲 面11 雙 葉 雙 曲 面 P1

15、8 圖 形 Ozx y 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 zx y4. 橢 圓 錐 面 ),(22222 為 正 數(shù)bazbyax 上 的 截 痕 為在 平 面 tz 橢 圓在 平 面 x 0 或 y 0 上 的 截 痕 為 過(guò) 原 點(diǎn) 的 兩 直 線 .1)()( 2222 tbytax tz,可 以 證 明 , 橢 圓 上 任 一 點(diǎn) 與 原 點(diǎn) 的 連 線 均 在 曲 面 上 .(橢 圓 錐 面 也 可 由 圓 錐 面 經(jīng) x 或 y 方 向 的 伸 縮 變 換得 到 , 見(jiàn) P28 ) x yzO 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 空 間 曲 面 三 元

16、 方 程 0),( zyxF 球 面 2202020 )()()( Rzzyyxx 旋 轉(zhuǎn) 曲 面如 , 曲 線 0 0),(x zyf 繞 z 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 :0),( 22 zyxf 柱 面如 ,曲 面 0),( yxF 表 示 母 線 平 行 z 軸 的 柱 面 .又 如 ,橢 圓 柱 面 , 雙 曲 柱 面 , 拋 物 柱 面 等 . 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2. 二 次 曲 面 三 元 二 次 方 程),( 同 號(hào)qp 橢 球 面 1222222 czbyax 拋 物 面 : 橢 圓 拋 物 面 雙 曲 拋 物 面zqypx 22 22 zqypx 22 2

17、2 雙 曲 面 : 單 葉 雙 曲 面2222 byax 22cz 1 雙 葉 雙 曲 面2222 byax 22cz 1 橢 圓 錐 面 : 22222 zbyax 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 5x 922 yx 1xy 斜 率 為 1的 直 線平 面 解 析 幾 何 中 空 間 解 析 幾 何 中方 程 平 行 于 y 軸 的 直 線 平 行 于 yOz 面 的 平 面 圓 心 在 (0,0)半 徑 為 3 的 圓 以 z 軸 為 中 心 軸 的圓 柱 面平 行 于 z 軸 的 平 面思 考 與 練 習(xí)1. 指 出 下 列 方 程 的 圖 形 : 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2. P30 題 3 , 10題 10 答 案 : 在 xOy 面 上 ;194)1( 22 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周繞橢 圓 xyx ;14)2( 22 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周繞雙 曲 線 yyx ;1)3( 22 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周繞雙 曲 線 xyx .,)4( 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周繞直 線面 上在 zayzyOz 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 作 業(yè) P30 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11 第 四 節(jié)