《無限長單位脈沖響應IIR數(shù)字濾波器的設計》

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1、 第 五 章 無 限 長 單 位 脈 沖 響 應 （ IIR） 數(shù) 字 濾 波 器 的 設 計 1、 什 么 是 濾 波 器 (Filter)l 濾 波 ： 把 一 個 信 號 處 理 成 另 一 個 信 號 的 過 程 ；l 濾 波 器 ： 是 一 種 具 有 頻 率 選 擇 的 網 絡 （ 系 統(tǒng) ） ， 輸 入 信 號 的 某些 頻 率 分 量 可 以 無 衰 減 （ 或 衰 減 很 小 ） 通 過 ， 有 些 頻 率 分 量 被 阻止 （ 衰 減 很 大 ） 通 過 。2、 濾 波 器 的 分 類l 模 擬 濾 波 器 （ Analog Filter， AF） ；l 數(shù) 字 濾 波 器

2、 （ Digital Filter， DF） ；5.1 數(shù) 字 濾 波 器 的 基 本 概 念一 、 濾 波 器 的 基 本 概 念 3、 什 么 是 數(shù) 字 濾 波 器 輸 入 和 輸 出 均 是 數(shù) 字 信 號 ， 該 濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應 也 是 數(shù)字 序 列 。 通 過 一 定 運 算 關 系 (數(shù) 值 運 算 )， 改 變 輸 入 數(shù) 字 信 號 所 含頻 率 成 份 的 相 對 比 例 或 濾 除 某 些 頻 率 成 份 的 器 件 。4、 數(shù) 字 濾 波 器 的 特 點 (相 對 模 擬 濾 波 器 ) 精 度 高 、 穩(wěn) 定 性 好 、 實 現(xiàn) 靈 活 、 不

3、 要 求 阻 抗 匹 配 、 嚴 格 的 線 性相 位 和 多 維 濾 波 、 濾 波 自 適 應 。5、 數(shù) 字 濾 波 器 處 理 模 擬 信 號 通 過 A/DC和 D/AC， 使 用 數(shù) 字 濾 波 器 對 模 擬 信 號 的 處 理 。 線性時不變系統(tǒng)輸入和輸出的關系二、數(shù)字濾波原理 y(n)x(n) T h(n)輸 入 輸 出 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (*)mm m y n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

4、( ) ) (*)mm my n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (*)mm m y n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n =時域關系：頻域關系：Y(e j)=X(ej)H(ej) FT的 時 域 卷 積 定 理 1、 一 般 分 類l 經 典 濾 波 器 ： 輸 入 信 號 中 的 有 用 的 頻 率 成 分 和 希 望 濾 除 的 頻率 成 分 占 用 不 同 的 頻 帶 ， 通 過 選 頻 濾 波 器

5、達 到 濾 波 的 目 的 。l 現(xiàn) 代 濾 波 器 ： 信 號 和 干 擾 的 頻 帶 相 互 重 疊 ， 要 利 用 信 號 的 統(tǒng)計 分 布 規(guī) 律 ， 從 干 擾 中 最 佳 提 取 信 號 ， 如 ： 維 納 濾 波 器 、 卡爾 曼 濾 波 器 和 自 適 應 濾 波 器 等 。三、數(shù)字濾波器的分類2、 從 濾 波 器 的 功 能 （ 按 頻 率 特 性 ） 來 分 類 分 為 低 通 、 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 、 全 通 濾 波 器 理 想 濾 波 器 的 幅 度 特 性 w0 - |H(ejw)|帶通（BF）頻率響應2-2 w0 - |H(ejw)|帶阻（BS）頻率響

6、應2-2 特 點 ：(1) h(n)是 非 因 果 且 無 限 長 ， 不 可 能 實 現(xiàn) ， 只 能 盡 可 能 逼 近 ；(2) H(ejw)以 2為 周 期 ， 低 通 的 中 心 頻 帶 處 于 2的 整 數(shù) 倍 處 ，高 通 的 中 心 頻 帶 處 于 的 奇 數(shù) 倍 附 近 。w0 - |H(ejw)|低通(LF)頻率響應2-2 w0 - |H(ejw)|高通(HF)頻率響應2-2 DF中 ， 一 般 考 察 其半 個 周 期 =0， 的 頻 域 特 性 ； 3、 從 濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應 的 長 短 分 類 0 1 10( ) 1( ) ( )M rrr N k

7、kkN nn b zH z a zH z h n z 0 110( ) 1( ) ( )M rrr N kkkN nn b zH z a zH z h n z N階 IIR濾 波器 系 統(tǒng) 函 數(shù)N-1階 FIR濾波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 無 限 脈 沖 響 應 (IIR)數(shù) 字 濾 波 器 有 限 脈 沖 響 應 (FIR)數(shù) 字 濾 波 器 ： 這 里 介 紹 的 數(shù) 字 濾 波 器 屬 于 選 頻 濾 波 器1、 數(shù) 字 濾 波 器 的 傳 輸 函 數(shù) H(ejw) ( )( ) ( )j j jH e H e e j(ej)四、數(shù)字濾波器的技術要求|H(ejw)|： 系 統(tǒng) 的 幅 頻

8、特 性 ， 表 示 信 號 通 過 該 濾 波 器 后 各 頻 率 成 分 衰 減 情 況 。 (e j)： 系 統(tǒng) 的 相 頻 特 性 ： 反 映 信 號 通 過 濾 波 器 后 各 頻 率 成 分 的 延 時 情 況 。 注 意 ： 一 般 選 頻 濾 波 器 的 技 術 要 求 由 幅 度 特 性 給 出 ， 對 相 位 特 性 不 作 要 求 ； 2、數(shù)字濾波器的幅頻特性|H(ejw)|的指標過 渡 帶低 通 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 頻 特 性 技 術 指 標|H(ejw)| 通 帶 阻 帶21-1 p0.70701 C S 指 標 說 明 ： p： 通 帶 截 止 頻 率 ， 通

9、 帶 頻 率 范 圍 ： 0p ；S： 阻 帶 截 止 頻 率 ， 阻 帶 頻 率 范 圍 ： s ； C： 3dB截 止 頻 率 ； 過 渡 帶 （ p s） ： 單 調 下 降P： 通 帶 最 大 衰 減 ； S： 阻 帶 最 小 衰 減1： 通 帶 內 幅 度 響 應 誤 差 范 圍 ； 2： 阻 帶 內 幅 度 響 應 誤 差 范 圍 ； 用 dB數(shù) 表 示 00( )20lg ( )( )20lg ( )p sjp jjs jH e dBH eH e dBH e 00( )20lg ( )( )20lg ( )psjp jjs jH e dBH eH e dBH e 衰 減 指 標

10、p和 s的 定 義20lg ( )20lg ( ) psjp js H e dBH e dB 20lg ( )20lg ( )psjp js H e dBH e dB 如 將 |H(ej )|歸 一 化 為 1， 上 兩 式 則 表 示 成 當 幅 度 衰 減 到 2/2時 ， 所 對 應 頻 率 c， 此 時 P 3dB， 稱 c為 3dB通 帶 截 止 頻 率 。 用 衰 減 表 示 的 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 五、數(shù)字濾波器設計概述1、 數(shù) 字 濾 波 器 的 設 計 過 程l 按 任 務 要 求 ， 確 定 濾 波 器 的 性 能 指 標 ；l 用 一 個 因 果 穩(wěn)

11、定 的 離 散 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 去 逼 近 這 個性 能 要 求 。l 用 一 個 有 限 精 度 的 算 法 來 實 現(xiàn) 這 個 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。l 實 際 的 技 術 實 現(xiàn) ： 計 算 機 軟 件 、 專 用 數(shù) 字 濾 波 器 硬 件 或 軟 硬 件相 結 合 的 方 法 實 現(xiàn) 。 2、 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應 特 性 數(shù) 字 濾 波 器 頻 率 響 應 特 性 的 三 個 參 量 ：(1)幅 度 平 方 響 應 ： 濾 波 器 的 衰 減 特 性(2)相 位 響 應 ( )( ) jj d ee d 2 1( ) ( ) ( ) (

12、 ) ( ) ( ) ( ) jj j j j j z eH e H e H e H e H e H z H z * 因 為 h(n)是 實 序 列(ej)( )( ) ( )j j jH e H e e j(ej)(3)群 時 延 ：濾波器平均延遲，定義為相位函數(shù)對角頻率的導數(shù)的負值濾波器為線性相位響應時，通帶內群時延特性為常數(shù) 3、 IIR數(shù) 字 濾 波 器 的 設 計 方 法 （ 1） 零 極 點 位 置 累 試 法 濾 波 器 的 特 性 可 由 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 極 點 確 定 ， 幅 頻 特 性 在 單 位 圓 內 極 點 處 出現(xiàn) 峰 值 ， 在 零 點 處 出 現(xiàn) 谷

13、 值 。 所 謂 累 試 ， 通 過 多 次 改 變 零 極 點 的 位 置 或 增 加新 的 零 極 點 來 達 到 要 求 。 只 適 用 于 設 計 簡 單 低 階 （ 一 、 二 階 ） 的 濾 波 器 。 （ 2） 用 模 擬 濾 波 器 的 理 論 來 設 計 IIR數(shù) 字 濾 波 器 先 設 計 一 個 合 適 的 模 擬 濾 波 器 ， 然 后 將 其 變 換 成 滿 足 預 定 指 標 的 數(shù) 字 濾 波 器 。（ 3） 計 算 機 輔 助 設 計 法 最 優(yōu) 化 的 設 計 方 法 ， 先 確 定 一 種 最 佳 準 則 ， 直 接 在 頻 域 或 時 域 中 進 行 設

14、計 。 理 論 和 設 計 方 法 成 熟 ， 有 若 干 典 型 的 模 擬 濾 波 器 可 以 選 擇 。 如 ： 巴 特 沃 斯(Butterworth)濾 波 器 、 切 比 雪 夫 (Chebyshev)濾 波 器 、 橢 圓 (Kllipse)濾 波 器 、 貝塞 爾 (Bessel)濾 波 器 等 ， 這 些 濾 波 器 都 有 嚴 格 的 設 計 公 式 、 現(xiàn) 成 的 曲 線 和 圖 表 供設 計 人 員 使 用 。 5.2 模 擬 濾 波 器 的 設 計各 種 理 想 模 擬 濾 波 器 的 幅 度 特 性 )(ja H 低 通 帶 通 帶 阻 高 通 )(ja H )(j

15、a H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 帶 通 帶 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 帶 通 帶 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 帶 通 帶 阻 高 通 )(ja H )(ja (ja 0 0 0c 低 通 濾 波 器 技 術 指 標 可 由 幅 度 特 性 或 幅 度 平 方 特 性 給 出 ；|Ha(j)|0.707 p s通 帶 阻 帶過渡帶1 0 C p s通 帶 過渡帶 阻 帶(dB) 衰 減pS 0一 、 模 擬 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標

16、 及 逼 近 方 法l p和 s分 別 稱 為 通 帶 截 止 頻 率 和 阻 帶 截 止 頻 率 ， 單 位 rad/s;l c稱 為 3dB截 止 頻 率l p是 通 帶 (0p)中 的 最 大 衰 減 系 數(shù) ， s是 阻 帶 s的 最 小 衰 減 系 數(shù) ;l 圖 中 幅 度 1表 示 用 頻 率 為 0時 的 幅 度 作 為 基 準 幅 度 來 進 行 歸 一 化 ； p和 s一 般 用 dB表 示 ， 對 于 單 調 下 降 的 幅 度 特 性 ， 可 表 示 成 ：2222( )10lg ( )( )10lg ( )ap a pas a sH jH jH jH j 2222( )

17、10lg ( )( )10lg ( )ap a pas a sH jjjH j | 0)|22222( )10lg ( )( )10lg ( )ap a pas a sH jH jH jH j |Ha(j0)|22222( )l ( )( )l ( )aa pas a sjjj 2210lg ( )10lg ( )p a ps a sH jH j 2210lg ( )10lg ( )p a ps a sH jH j =0處 幅 度 歸 一 化為 1， 即 |Ha(j0)|=1 c稱 為 3dB截 止 頻 率 ( ) 1/ 2, 20lg ( ) 3a c a cH j H j dB ( ) 1

18、/ 2, 20lg ( ) 3a c a cH j H j dB c= 給 出 模 擬 濾 波 器 的 技 術 指 標 ；二、用模擬濾波器逼近方法設計數(shù)字IIR濾波器步驟 設 計 傳 輸 函 數(shù) Ha(s)： 使 其 幅 度 平 方 函 數(shù) 滿 足 給 定 指 標 ap和 as|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j 確 定 Ha(s)： 系 統(tǒng) Ha(s)應 是 穩(wěn) 定 的 系 統(tǒng) ， 因 此 ， 極 點 應 位 于 N： 濾 波 器 的 階 數(shù) ；： 濾 波 器 的 參 數(shù) ；p： 濾 波 器 通 帶 截 止 頻 率 ；2 22 1( ) 1a Np

19、H j 2221( ) 10lg 10lg 1 (dB)( ) Npaa H j 三 、 巴 特 沃 思 低 通 濾 波 器1、 巴 特 沃 思 低 通 濾 波 器 的 幅 度 平 方 函 數(shù) 的 分 析衰 減 特 性 ： |Ha(j0)|=1 210lg 1pa 0.110 1pa 1pc N 采 用 歸 一 化 基 準 頻 率 NCNNpNpNNp 2212122 210lg 1 (dB)Nca 巴 特 沃 思 濾 波 器 的 幅 度 平 方 函 數(shù)2 21( ) 1 ( )a NcH j l c， 幅 度 迅 速 下 降 ， N越 大 ， 幅 度 下 降 越 快 ， 過 渡 帶 越 窄l

20、 當 =0時 ， 2( 0) 1aH j l 當 =c時 ，所 示 c是 3dB截 止 頻 率 1( ) 2a cH j 1 2、 由 幅 度 平 方 函 數(shù) |Ha(j)|2確 定 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s) 21( ) ( ) 1 ( )a a NcH s H s sj 此 式 表 明 幅 度 平 方 函 數(shù) 有 2N個 極點 ， 極 點 sk用 下 式 表 示 ： 1 1 2 1( )2 2 2( 1) ( ) kjN Nk c cs j e 其 中 ， k=0,1,(2N-1)2N個 極 點 等 間 隔 分 布 在 半 徑 為 c的 圓 上 ， 間隔 是 /N rad， 左 半 平 面

21、 N個 點 構 成 Ha(s)傳 輸函 數(shù) ， 右 半 平 面 N個 點 構 成 Ha(-s)傳 輸 函 數(shù) 。21( ) ( ) 1a a NcH j H j 10( ) ( )Nca N kkH s s s Ha(s)表 示 為 ：由 于 各 濾 波 器 的 幅 頻 特 性 不 同 ， 為 使 設 計 統(tǒng) 一 ， 將 所 有 的 頻 率 歸 一 化 。 采 用 對3dB截 止 頻 率 c歸 一 化 ， 歸 一 化 后 的 Ha(s)表 示 為 ： 10 1( ) ( )a N kk c cH s s s 10 1( ) ( )a N kkH p p p 知 道 濾 波 器 的 階 數(shù) N，

22、 可 得 歸 一 化 的 傳 輸 函 數(shù) ，去 歸 一 化 p=j=s/ c ,可 得 到 實 際 的 傳 輸 函 數(shù) Ha(s)令 s/c = j/c， = / c， 稱 為 歸 一 化 頻 率 ， 令 p=j ， p稱 為 歸 一 化 復 變量 ， 歸 一 化 巴 特 沃 斯 的 傳 輸 函 數(shù) 為 ：歸 一 化 極 點 ， k=0,1,N-1 Nkjk ep 2 1221 3、 根 據(jù) 給 出 的 技 術 指 標 P、 S、 p、 S， 求 濾 波 器 階 數(shù) N2 0.11 10N ac 2 0.11 10 pN apc 2 0.11 10 sN asc 0.10.110 1lg 10

23、 1lg spaaspN 10.1 20.110 110 1spN as ap ssp p 0.10.110 110 1 spasp ak lglg spspkN 用 上 式 求 出 的 N可 能 有 小 數(shù) 部 分 ， 應 取 大 于 等 于 N的 最 小 整 數(shù) 。 根 據(jù) 求 極 點 公 式 ： Nkjk ep 2 12214、 總 結 巴 特 沃 思 濾 波 器 的 設 計 步 驟（ 1） 根 據(jù) 給 出 的 技 術 指 標 P、 S、 p、 S， 確 定 濾 波 器 階 數(shù) N（ 2） 求 歸 一 化 極 點 pk， 確 定 歸 一 化 傳 輸 函 數(shù) Ha(p)10 1( ) (

24、)a N kkH p p p 或 ： 根 據(jù) 階 數(shù) N， 查 P206 表 5.2.1得 到 極 點和 歸 一 化 傳 輸 函 數(shù)，k=0,1,N-1。再帶入： 10.1 210.1 2(10 1)(10 1)psa Nc p a Nc s 阻 帶 指 標有 富 裕 度10.1 210.1 2(10 1)( 0 1)psa Nc p a Nc s 通 帶 指 標有 富 裕 度（ 3） 求 3dB截 止 頻 率 c210lg 1 (dB)Nca 將 p=s/c， 代 入 Ha(p)中 得 ： Ha(s)=Ha (p)| p=s/c(4) 將 Ha(p)去 歸 一 化 ， 得 到 實 際 的 濾

25、 波 器 傳 輸 函 數(shù) Ha(s) 表 示 兩 極 點 P1、 PN-2 例 ： 設 計 一 個 巴 特 沃 思 低 通 濾 波 器 ， 在 時 衰 減 不 大 于1dB， 在 時 衰 減 不 小 于 10dB。0 160Hzf 800Hzf 2 2 160( )p pf rad s 1dBpa 2 2 800( ) s sf rad s 10dBsa 解 ： (1) 求 階 數(shù) ：0.1 0.1 0.1 102 2 22 2 210 1 10 1 10 1lg lg lg 0.509 1.1024800lglg lg 160s sa as sp pN ff 0.10.110 1lg 10

26、1lg spaaspN 取 N 2 （ 2） 求 歸 一 化 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 341 0.7071 0.7071jp e j 2 1 1 1( ) 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071a kkH p p j p jp p 2 221 11.4142 10.7071 0.7071 p pp 1 10.10.1 2 42 160 1409.30886( )10 110 1 p pc a N rad s k=0,1 Nkjk ep 2 1221 p0 542 10.7071 0.7071jp e j p *p1 也 可 查 表 5.2.1直 接得 出 Ha(p)（ 3） 確 定

27、 3dB截 止 頻 率 c 22 22 1( ) ( ) 1.414212 1c c csa a p s c cpH s H p s sp p 2 22 1409.308861993.05868 1409.30886s s 2 1986151.4631993.0587 1986151.463s s ( ) ( ) a a s jH j H s (4)確 定 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù)濾 波 器 的 頻 率 響 應 利 用 模 擬 濾 波 器 設 計 IIR數(shù) 字 濾 波 器 設 計 思 想5.3 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器設 計 技 術 成 熟有 相 當 簡 便 的公 式 和

28、 圖 表 模 擬 濾 波 器)(sHaAF 由 此 設 計 數(shù) 字 濾 波 器)(zHDF 要 求 DF特 性模 仿 AF的 特 性實 際 上 是 個 映 射 問 題離 散 時 間 域 (Z平 面 )轉 換 關 系連 續(xù) 時 間 域 (S平 面 ) (1)數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應 模 仿 模 擬 濾 波 器 的 頻 響 ， s平 面 的 虛 軸 映射 z平 面 的 單 位 圓 ， 相 應 的 頻 率 之 間 成 線 性 關 系 。 (2)因 果 穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 轉 換 成 數(shù) 字 濾 波 器 ， 仍 是 因 果 穩(wěn) 定 的 。 Re(z)jIm(z)0 z平 面1

29、z1z 2j0 S平 面S1xS2x滿 足 上 述 轉 換 關 系 的 映 射 方 法 有 ： 脈 沖 響 應 不 變 法 和 雙 線 性 變 換 法 對轉換關系的兩點要求： 時 間 特 性上 的 模 仿 頻 率 響 應上 的 模 仿 Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時 域 采 樣 h(n)ZTh(n)H(z)所 以 說 脈 沖 響 應 不 變 法 是 一 種 時 域 上 的 變 換 方 法一 、 變 換 原 理1、 基 本 思 想使 h(n)模 仿 ha(t)， 讓 h(n)正 好 等 于 ha(t)的 采 樣 值( ) ( ) ( )a t nT ah n h t h nT 過 程

30、： ( ) ( ) ( )( ) sta a stan snTH s h t e dth t nT e dtnT e n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan st stn aa enh enTh dtenTt dtenTtthsH )( )( )() )()()( n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan sta stn aa enh enTh

31、 dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n nznhzH )()( )()( sHzH aez sT )()( sHzH aez sT sTz e 2、 S平 面 和 Z平 面 之 間 的 映 射 關 系 （ 復 習 ）（ 1） 采 樣 信 號 的 拉 氏 變 換 與 序 列 的 z變 換 之 間 的 映 射 關 系 ( ) ( ) ( )a anh t h t t nT ha(t)的 采 樣 信 號 表 示 為 : ( )ah t對 進 行 拉 氏 變 換 ， 得 到 結 論 ： 采 樣 信 號 的 拉 氏 變 換 是 原 模 擬 信 號 的 拉 氏 變

32、 換 在 S平 面 沿 虛軸 以 s=2/T為 周 期 進 行 的 周 期 延 拓 ； 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa a ska a sk a sz e kH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa a ska a sk a sz e kH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 將 s=j代 入 上 式 ， 得 ：(2) 模 擬 信 號 的 拉 氏 變 換 與 采 樣 信 號 的 拉 氏 變 換 之 間 的 關 系 說 明 ： 采 用 脈 沖 響 應 不 變 法

33、將 AF變 換 為 數(shù) 字 DF時 Ha(s)沿 虛 軸 以 s=2/T為 周 期 進 行 周 期 延 拓 ; 再 經 過 Z=eST的 映 射 關 系 映 射 到 Z平 面 上 ， 從 而 得 到 H(z)()( sHzH aez sT 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e k H j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT (3) 模 擬 信 號 的 拉 氏 變 換 與 序 列 的 Z變 換 之 間 的 映 射 關 系 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e

34、 k H j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 設 ： S=j， z=rejw 頻 率 域 的 坐 標 變 換 是 線 性 的 ，滿 足 轉 換 關 系 的 第 1個 要 求 。TjTTjj eeeer )(r= eT3、 分 析 因 果 穩(wěn) 定模 仿 頻 響 =T問 題 ： 轉 換 是 否 滿 足 對 轉 換 關 系 提 出 的 2點 要 求 ？z = eST 0時 ， S平 面 的 左 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 內 (r=|z|0時 ， S平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 外 (r=|z|1)結 論 ： 若

35、Ha(s)是 因 果 穩(wěn) 定 的 ， 則 轉 換 后 的 H(z)也 是 因 果 穩(wěn) 定 的 。r= eT因 果 穩(wěn) 定 的 分 析 j0-/T3/T -3/T/TS平 面 1 Re(z)jIm(z)0Z平 面 當 不 變 ， 角 頻 率 變 化 2/T整 數(shù) 倍 ， 映 射 值 不 變 ， S平 面 上 每 一 條 寬 度 為 2/T的 水 平 橫 帶 都 重 迭 地 映 射 到 Z平 面 的 整 個 全 平 面 上 每 條 水 平 橫 帶 的 左 半 部 分 映 射 到 Z平 面 單 位 圓 內 ； 水 平 橫 帶 右 半 部 分 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 外 ； j虛 軸 上

36、 每 2/T段 都 對 應 著 單 位 圓 一 周j0-/T3/T -3/T/TS平 面 1 Re(z)jIm(z)0 Z平 面2( ) ,j M TsT T j T T Te e e e e M 由 于 z=esT是 周 期 函 數(shù) 4、 混 疊 失 真 )( jeH 0 T0T )( jHa 頻 率 混 疊否 則 ， 設 計 出 來 的 DF在 w= 附 近 產 生 頻 率 混 疊 。 使 設 計 出 來 的 DF不 能 很 好 地 重 現(xiàn) AF的 頻 響 ， 滿 足 不 了 設 計 要 求 。1 2( )j akH e H j j kT T T 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 響 與 模 擬

37、 濾 波 器 的 頻 響 的 關 系( ) 0,aH j T 1( ) ,j aH e H jT T 當 AF的 頻 響 是 限 帶 的 ， 且 帶 限 于 折 疊 頻 率 以 內 時 ， 即 :DF不 產 生 混 疊 失 真結 論 ： 脈 沖 響 應 不 變 法 只 適 合 設 計 帶 限 濾 波 器 ， 如 ： 低 通 、 帶 通 濾 波 器 的 設 計 ，不 適 合 高 通 、 帶 阻 濾 波 器 的 設 計 。 1、 設 模 擬 濾 波 器 Ha(s)只 有 單 階 極 點 ， 且 分 母 多 項 式 的 階 次 高 于 分 子 多 項 式 的階 次 ， 將 Ha(s)用 部 分 分

38、式 表 示 ： 1( ) N ia i iAH s s s si為 Ha(s)的 單 階 極 點1( ) ( ) iN s nta iih t Ae u t1( ) ( )iN s n ta iih t A e t LT-1Ha(s) U(t)為 單 位 階 躍 函 數(shù) 二 、 變 換 方 法 1( ) ( ) ( )iN s nTa iih n h nT Ae u nT 等 間 隔 采 樣 ， 采 樣 間 隔 為 T11( ) 1 iN is Ti AH z e z z變 換 11( ) 1 iN is Ti AH z e z 1( ) N ia i iAH s s s 結 論 :l S平

39、面 的 單 極 點 s=sk映 射 到 Z平 面 的 極 點 z=esiT。l Ha(s)部 分 分 式 的 系 數(shù) 與 H(z)部 分 分 式 的 系 數(shù) 相 同 。l 不 保 證 整 個 平 面 與 平 面 都 存 在 其 極 點 那 樣 的 代 數(shù) 對 應 關 系 。l 若 所 有 s k在 s左 半 平 面 ， 則 所 有 zk在 單 位 圓 內 。 因 此 ， AF 穩(wěn) 定 ， 則 DF穩(wěn) 定 。 為 使 數(shù) 字 濾 波 器 的 增 益 不 受 采 樣 間 隔 的 影 響 ， 故 作 以 下 修 正( ) ( )ah n Th nT 11( ) 1 kN ks Tk TAH z e

40、z 2( ) , j a akH e H j j k H jT T T 1( ) ,j aH e H jT T （ 1） 確 定 數(shù) 字 濾 波 器 的 一 組 通 、 阻 帶 截 止 頻 率 ， 通 帶 內 容 許 的 最 大 衰 減 為 ， 阻 帶 內 容 許 的 最 小 衰 減 為 。（ 2） 采 用 變 換 公 式 把 數(shù) 字 濾 波 器 的 這 組 頻 率 指 標 轉 換 成 相 應 的 模 擬 濾 波 器 的 一 組 頻 率 指 標 ， 而 、 不 變 。 （ 3） 根 據(jù) 模 擬 濾 波 器 的 技 術 要 求 ， 設 計 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。 （ 4） 由 求 數(shù) 字 濾 波

41、 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。 （ 5） 利 用 校 核 所 設 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 是 否 滿 足 技 術 指 標 要 求 。 kpa sakk T k k( ) aH s ( )H z( ) ( ) jj z eH e H z pa sa ()aH s 三 、 設 計 步 驟 注 意 ： 參 數(shù) T可 任 選 s s sT s /T 注 ： s阻帶截止頻率 例 ： 已 知 模 擬 低 通 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 ,用 脈 沖 響應 不 變 法 將 轉 換 成 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。2 3( ) 4 3aH s s s ( )aH s ( )H z3 1

42、 1( ) 2 1 3aH s s s ( )aH s解 ： 首 先 將 展 為 部 分 分 式 的 形 式1 1s 2 3s 極 點 為 ： 1 31 1 3 1 3 2 433 2( ) 2 1 1 1 T TT T T T TTz e eT TH z z e z e z e e z e 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 ： 11 1 20.47714( ) 1 0.41767 0.018316zH z z z 設 T=1s， 得 ： 1 2 1 20.024603( ) 1 1.64566 0.67032zH z z z 設 T=0.1s， 得 ： 1( )jH e 2( )j

43、H e ( )aH s將 三 者 的 幅 度 特 性 用 它 們 的 最 大 值 歸 一 化 后 的幅 度 特 性 如 圖 所 示 。 AF的 幅 度 特 性 DF的 幅 度 特 性 例 ： 用 脈 沖 響 應 不 變 法 設 計 巴 特 沃 思 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 要 求 在 頻 率小 于 的 通 帶 內 ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 等 于 1dB； 在 頻 率 到 之 間 的 阻 帶 衰 減 大 于 等 于 15dB。0.2 rad 0.3 radrad 0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s srad a rad a 解 ： （ 1） 待 設 計 的 數(shù)

44、 字 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 為 ：0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s sr d a rad a 0.2 , 1dB, 0.3 , 15dB p p s srad s a rad s a （ 2） 模 擬 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 為 （ 設 T=1s） ：0.3 1.50.2ssp p 0.1 1.50.1 0.110 1 10 1 10.87510 110 1spasp ak lg lg10.875 5.886lg lg1.5sp spkN 取 N=6 （ 3） 設 計 模 擬 butterworth低 通 濾 波 器 查 表 得 到 歸 一

45、 化 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 2 3 4 5 61( ) 1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637aH p p p p p p p ( ) ( ) csa a pH s H p 66 5 2 4 3 3 4 2 5 62 2 23.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.86370.12090.3640 0.4945 0.9945 0.4945 1.3585 0.4945cc c c c c cs s s s s ss s s s s s 1 1 11 2 1 2 1 20.2871 0.4466 2.1428 1.1455 1.8557 0.630

46、3( ) 1 1.2971 0.6949 1 1.0691 0.3699 1 0.9972 0.2570z z zH z z z z z z z 求 3dB截 止 頻 率 1 10.10.1 2 2 60.2 0.7032 /10 110 1p pc a N rad s 去 歸 一 化（ 4） 求 相 應 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) （ 5） 檢 查 設 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 是 否 滿 足 給 定 的 指 標 要 求 四 、 脈 沖 響 應 不 變 法 的 優(yōu) 缺 點優(yōu) 點 ： 1、 頻 率 變 換 是 線 性 關 系 ; w=T ， 數(shù) 字 濾 波 器 可 以 很 好

47、 重 現(xiàn) 模 擬濾 波 器 的 頻 響 特 性 ； 2、 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應 完 全 模 仿 模 擬 濾 波 器 的 單 位 沖 激 響應 ， 時 域 特 性 逼 近 好 ；缺 點 ： 1. 有 頻 譜 混 迭 失 真 現(xiàn) 象 ； (S平 面 到 Z平 面 有 多 值 映 射 關 系 ) 2. 由 于 頻 譜 混 迭 ， 使 應 用 受 到 限 制 ， 只 適 合 于 用 來 設 計 限 帶 的 濾波 器 ， 如 低 通 和 帶 通 濾 波 器 。 脈 沖 響 應 不 變 法 的 缺 點 :產 生 頻 率 譜 混 迭 現(xiàn) 象 。5.4 用 雙 線 性 變 換 法 設

48、 計 IIR數(shù) 字 低 通 濾 波 器 原 因 ： s平 面 到 z平 面 是 多 值 對 單 值 的 映 射 關 系 ， 模 擬 低 通 的 最高 頻 率 超 過 了 折 疊 頻 率 /T， 數(shù) 字 化 后 在 = 形 成 頻 譜 混 疊 現(xiàn) 象 。 解 決 方 法 ： 采 用 非 線 性 壓 縮 方 法 ， 將 整 個 頻 率 軸 上 的 頻 率 范 圍壓 縮 到 /T之 間 ， 而 后 再 用 z=eST轉 換 到 z平 面 上 。 步 驟 ：l 首 先 把 整 個 s平 面 壓 縮 變 換 到 某 一 中 介 的 s1平 面 的 一 條 從 到 ， 寬度 為 的 橫 帶 里 （ s1平

49、 面 的 橫 帶 和 s平 面 是 單 值 對 應 關 系 ） ；l 再 通 過 標 準 變 換 關 系 ， 將 此 橫 帶 變 換 到 整 個 z平 面 上 去 ；/T / T2 /T 1s Tz e一 、 變 換 原 理s平 面 s1平 面 z平 面好 處 ：l s平 面 與 z平 面 成 為 一 一 對 應 的 單 值 映 射 關 系 ， 消 除 了 頻 譜 混 疊 現(xiàn) 象 。 1、 非 線 性 壓 縮 ： (S平 面 S1平 面 映 射 ) 0 /T-/T 112 1tan( )2 TT T： 時 域 采 樣 間 隔 采 用 正 切 變 換 實 現(xiàn) 非 線 性 頻 率 壓 縮 ， 設

50、Ha(s)， s=j ， 經 過 非 線 性 頻 率 壓 縮后 用 Ha(s1)表 示 ， s1=j 1 ， 則 ：表 明 ： 當 1從 /T經 過 0變 化 到 -/T時 ， 則 由 經 過 0變 化 到 -， 這 樣 ， 實 現(xiàn) 了 s平 面 上 整 個 虛 軸完 全 壓 縮 到 s 1平 面 上 虛 軸 的 /T之 間 。 )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCeejjTjC TS TSTjTj TjTj

51、12 1tan( )2 TT )2(11)2tan(S 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj )2(11)t (j 12/2/ 1111 TSthCeeeeCjjjC TS TSTj Tj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tjS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjT TS TSTjTj TjTj )2(11)2tan(S 12/ 2/1 1111 11 TSthCCeeCjjTjC Tjj Tjj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2

52、/1 1111 11 TStheeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj 3、 S平 面 到 Z平 面 的 映 射將 S1平 面 映 射 到 z平 面 上 ， 用 標 準 映 射 z=eS1T， 代 入 上 式 SC SCzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即 SC SCzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即12 1tan( )2 TT SC SzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即12 1tan( )2 TT SC SCzzzeeCS TSezTS TS ,11 11111 即 112 1122 z

53、s T zsTz sT 推 出 2、 S1平 面 與 S平 面 的 關 系 s到 z和 由 z到 s的 變 換 都 是 線 性 變 換 ， 所 以 稱 為 雙 線 性 變 換 二 、 逼 近 情 況 分 析1、 因 果 穩(wěn) 定 性 分 析l 當 時 ， ， 說 明 s平 面 的 左 半 平 面 映 射 到 z平 面 的 單 位 圓 內 ；222 2s j js TTz s jT T 2 22 222Tz T 0 1z 0 1z 0 1z l 當 時 ， ， 說 明 s平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 z平 面 的 單 位 圓 外 ；l 當 時 ， ， 說 明 s平 面 的 虛 軸 映 射

54、 到 z平 面 的 單 位 圓 上 ； 結 論 ： 因 果 穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 經 雙 線 性 變 換 后 所 得 到 的 數(shù) 字 濾 波 器 也 一 定 是 因 果 穩(wěn) 定 的 。 2、 模 擬 頻 率 和 數(shù) 字 頻 率 之 間 的 關 系設 ： z=ej ， s=j， 帶 入 左 式1121122 zs T zsTz sT - 0 W )2(2 wtgT2112 1tan2 jjej T eT )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jwjwjwjw )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTS jwjwjw

55、jw )2/cos(2 )2/sin(22112 2/ 2/ wwjeeTeeTjS jwjwjj )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jjjwjw )2(2)2(2 wtgTwtgTj 2 11 1tan 2 jjej T e 說 明 ： s平 面 上 與 z平 面 的 是 非 線 性 正 切 關 系 ， 消 除 了 頻率 混 疊 現(xiàn) 象 。代 價 ： 影 響 數(shù) 字 濾 波 器 頻 響 逼 真 模 擬 濾 波 器 的 頻 響 的 逼 真 度 ，存 在 幅 度 失 真 和 相 位 失 真 。 零 頻 附 件 ， 和 接 近 線 性 關 系 ； 增 加

56、 ， 和 存 在 嚴 重 的 非 線 性 關 系 ； 如 果 的 刻 度 是 均 勻 的 ， 通 過 非 線 性 正 切 關 系 ， 映 射 到 z平 面 的 刻 度 不 均 勻 ，隨 增 加 越 來 越 密 ， 即 邊 界 頻 率 發(fā) 生 畸 變 。 一 線 性 相 位 的 模 擬 濾 波 器 ， 經 雙 線 性 變 換 后 成 為 非 線 性 相 位 的 數(shù) 字 濾 波 器 ； 如 果 模 擬 濾 波 器 具 有 片 段 常 數(shù) 特 性 ， 則 轉 換 到 z平 面 具 有 片 段 常 數(shù) 特 性 。 適 于片 段 常 系 數(shù) 濾 波 器 的 設 計 。幅 度 特 性 失 真 相 位 特

57、性 失 真3、 雙 線 性 變 換 法 的 幅 度 失 真 和 相 位 失 真 對 邊 緣 臨 界 頻 率 點 產 生 的 畸 變 ， 可 通 過 頻 率 的 預 畸 變 加 以 校 正 。p p /Ts s /T4、 雙 線 性 變 換 法 的 頻 率 預 畸 變例 ： 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 兩 個 截 止 頻 率 ： p和 s， 如 果 按 照 線 性 變 換 所 對 應 的 模擬 濾 波 器 的 截 止 頻 率 分 別 為 ：即 通 過 非 線 性 的 頻 率 變 換 公 式 ， 得 到 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 截 止 頻 率 就 不 等 于 原 頻 率211 2 1tan

58、2 jjej T eT 解 決 方 法 ： 數(shù) 字 頻 率 轉 換 成 模 擬 頻 率 時 ， 先 進 行 預 畸 變 的 處 理 ： 2arctan(T/2) p=! p S=! S 1、 優(yōu) 點 消 除 了 頻 譜 混 迭 失 真 ； 頻 率 映 射 s平 面 與 z平 面 是 一 一 對 應 的 單 值 映 射 關 系 ， 避 免 了 脈 沖 響 應 不變 法 的 頻 譜 “ 混 迭 ” 現(xiàn) 象 。2、 缺 點 以 頻 率 變 換 的 非 線 性 為 代 價 ， 模 擬 域 和 數(shù) 字 域 進 行 非 線 性 映 射 ，其 瞬 時 響 應 不 如 脈 沖 響 應 不 變 法 好 。 21

59、12 1tan2 jjej T eT 5、 總 結 雙 線 性 變 換 法 的 特 點 11211( ) ( ) za s T zH z H s ( ) ( ) jj z eH e H z 四 、 雙 線 性 變 換 法 設 計 數(shù) 字 濾 波 器 的 步 驟 k（ 1） 確 定 數(shù) 字 濾 波 器 的 通 帶 和 阻 帶 截 止 頻 率 ， 通 帶 內 容 許 的 最 大 衰 減 P及 阻 帶 內 容 許 的 最 小 衰 減 S 。 2tan 2 kk T k（ 2） 采 用 頻 率 預 畸 變 的 方 法 把 數(shù) 字 濾 波 器 的 通 帶 和 阻 帶 截 止 頻 率 變 換 成 相 應

60、的模 擬 濾 波 器 的 通 帶 和 阻 帶 截 止 頻 率 ， 通 帶 最 大 衰 減 及 阻 帶 最 小 衰 減 不 變 。（ 3） 根 據(jù) 模 擬 濾 波 器 的 技 術 指 標 ， 設 計 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)（ 4） 求 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)（ 5） 檢 驗 所 設 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 是 否 滿 足 技 術 指 標 要 求 。 例 ： 已 知 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) ， 試 用 雙 線 性 變 換 法 將 轉 換 成數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。 1( ) 1aH s s ( )aH s( )H z 11 1

61、21 1 11 1( ) ( ) 2 1 1za s T z T zH z H s z T z 111( ) 3 zH z z 設 T=1s， 則 ：解 ： 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 頻 特 性 模 擬 濾 波 器 的 幅 頻 特 性 雙 線 性 變 換 法 設 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 響 限 制 在 0和 之 間 ， 不 存 在 頻 率 響 應的 混 疊 現(xiàn) 象 。 例 ： 用 雙 線 性 變 換 法 設 計 巴 特 沃 思 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 要 求 在 頻 率 小 于 的通 帶 內 ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 等 于 1dB； 在 頻 率 到 之 間 的

62、 阻 帶 衰減 大 于 等 于 15dB。 0.2 rad0.3 rad rad0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s srad a rad a 解 ： （ 1） 待 設 計 的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 為 ：2 0.2tan 2tan 0.6498 , 1dB2 22 0.3tan 2tan 1.0191 , 15dB 2 2pp pss srad s aT rad s aT （ 2） 確 定 模 擬 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 ， 取 T=1。 1.0191 1.56830.6498ssp p 0.1 1.50.1 0.110 1 10 1

63、 10.875110 110 1spasp ak lg lg10.875 5.3034lg lg1.5683spspkN 取 N=6 1 11.50.1 2 2 61.0191 0.7662 /10 110 1s sc a N rad s 2 2 21( ) 0.5176 1 1.4142 1 1.9319 1aH p p p p p p p ( ) ( ) csa a pH s H p 62 2 2 2 2 22 2 20.5176 1.4142 1.93190.20240.3966 0.5871 1.0836 0.5871 1.4802 0.5871cc c c c c cs s s s

64、s ss s s s s s （ 3） 設 計 巴 特 沃 思 模 擬 低 通 濾 波 器 ： 11211( ) ( ) za s T zH z H s 64 11 2 1 2 1 27.378 10 11 1.2686 0.7051 1 1.0106 0.3583 1 0.9044 0.2155zz z z z z z 圖 ： 用 雙 線 性 變 換 法 設 計 出 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性（ 4） 求 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) ：（ 5） 校 核 所 設 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 是 否 滿 足 給 定 的 指 標 要 求 例 ： 用 雙 線 性 變 換

65、法 設 計 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 要 求 在 頻 率 小 于 等 于 100Hz的 通 帶 內 ，幅 度 的 衰 減 特 性 不 大 于 2dB； 在 頻 率 大 于 等 于 300Hz的 阻 帶 內 ， 衰 減 不 小 于15dB ， 采 樣 頻 率 為 1000Hz， 采 用 巴 特 沃 思 型 濾 波 器 。2 2 100 0.001 0.2 p pf T rad 2 2 300 0.001 0.6s sfT rad 2dBpa 15dBsa 2 0.2tan 2tan 0.64982 2pp rad sT 2dBpa 2 0.6tan 2tan 2.75282 2 ss ra

66、d sT 15dBsa 采 樣 頻 率 為 1000Hz， 所 以 T=0.001s， 待 設 計 的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 為 ：解 :（ 1） 確 定 待 設 計 的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 ：（ 2） 確 定 模 擬 低 通 濾 波 器 的 技 術 指 標 ： 設 T=1s 2.7528 4.23640.6498ssp p 0.1 0.1150.1 0.1 210 1 10 1=7.235810 110 1spasp ak lg lg7.2358 1.3708lg lg4.2364spspkN 1 10.1 0.1 22 40.6498 0.7430 /(10 1)(10 1)p pc a N rad s 2 1( ) 2 1aH p p p 2 22 22 2 0.7430( ) ( ) 1.0508 0.74302c csa a p c cH s H p s ss s 1 11 121 121 1( ) ( ) ( )z za as sT z zH z H s H s 1 21 20.08296 0.16592 0.08296