高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt

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(理)第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 .能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題,整合主干知識(shí),數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk (kN*，kn0)時(shí)命題成立，推出當(dāng)_時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,nk1,質(zhì)疑探究2：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 (1)第一步中， 驗(yàn)算nn0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等 (2)第二步中，證明nk1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧,解析：觀察等式左邊的特征易知選C. 答案：C,解析：因?yàn)榧僭O(shè)nk(k2且k為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k2. 答案：B,解析：從n到n2共有n2n1個(gè)數(shù)， 所以f(n)中共有n2n1項(xiàng) 答案：D,4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_. 解析：易得f(k1)f(k). 答案：,答案：2k,聚集熱點(diǎn)題型,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,拓展提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾； (2)由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,拓展提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)成立得nk1時(shí)成立，主要方法有放縮法；利用均值不等式法；作差比較法等,典例賞析3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n13n2能被13整除，其中n為正整數(shù) 思路索引當(dāng)nk1時(shí)，把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關(guān)鍵 證明 (1)當(dāng)n1時(shí)，421131291能被13整除(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，42k13k2能被13整除，則當(dāng)nk1時(shí)，,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題,方法一 42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)， 42k113能被13整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除 方法二 因?yàn)?2(k1)13k33(42k13k2) (42k1423k23)3(42k13k2) 42k113， 42k113能被13整除， 42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除， 當(dāng)nk1時(shí)命題也成立， 由(1)(2)知，當(dāng)nN*時(shí)，42n13n2能被13整除,拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，P(k)P(k1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,變式訓(xùn)練 3已知n為正整數(shù)，aZ，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1整除 證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除 (2)假設(shè)nk時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2 (a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除,即當(dāng)nk1時(shí)命題也成立 根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)于任意nN*，an1(a1)2n1能被a2a1整除,思路索引關(guān)鍵是搞清nk到nk1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解 證明 因?yàn)槿切螞]有對(duì)角線， 所以n3時(shí)，f(3)0，命題成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題,拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析；事實(shí) 上，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一大技巧.,變式訓(xùn)練 4平面上有n個(gè)圓，每?jī)蓤A交于兩點(diǎn)，每三圓不過(guò)同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2n2個(gè)部分 證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，n2n21122，而一圓把平面分成兩部分，所以n1命題成立 (2)設(shè)nk時(shí)，k個(gè)圓分平面為k2k2個(gè)部分，則nk1時(shí)，第k1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)分第k1個(gè)圓為2k段，每一段都將原來(lái)所在的平面一分為二，故增加了2k個(gè)平面塊，共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2個(gè)部分對(duì)nk1也成立,由(1)(2)可知，這n個(gè)圓分割平面為n2n2個(gè)部分,備課札記 _,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)歸納、猜想、證明,審題視角 (1)將n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)利用分析法，結(jié)合x0，y0，xy1，利用基本不等式可證,溫馨提醒 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性 (2)為了正確地猜想an，首先準(zhǔn)確求出a1，a2，a3的值,1一種方法 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù) 2兩點(diǎn)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意： (1)第一步驗(yàn)證nn0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值 (2)由nk時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要?dú)w納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,