高等數(shù)學(xué)第八章多元微分第八章習(xí)題

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1、第 八 章 多 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 第 八 章 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 習(xí) 題 課v 基本概念 v 基本計(jì)算 v 基本應(yīng)用 平 面 點(diǎn) 集和 區(qū) 域 多 元 函 數(shù)的 極 限多 元 函 數(shù)連 續(xù) 的 概 念極 限 運(yùn) 算多 元 連 續(xù) 函 數(shù)的 性 質(zhì)多元函數(shù)概念一 、 基 本 概 念 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 全 微 分的 應(yīng) 用高 階 偏 導(dǎo) 數(shù)隱 函 數(shù)求 導(dǎo) 法 則復(fù) 合 函 數(shù)求 導(dǎo) 法 則全 微 分 形 式的 不 變 性 微 分 法 在幾 何 上 的 應(yīng) 用方 向 導(dǎo) 數(shù)多 元 函 數(shù) 的 極 值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 上 頁(yè) 下 頁(yè)

2、 返 回 結(jié) 束 例 1. 討 論 二 重 極 限 yx yxyx 00lim解 一 01lim 1100 xyyx原 式解 二 令 ,xky 01lim0 kkxx原 式解 三 令 ,sin,cos ryrx 0sincos sincoslim0 rr原 式 時(shí) , 下 列 算 法 是 否 正 確 ? 分 析 : yx yxyx 00lim解 一 01lim 1100 xyyx解 二 令 ,xky 01lim0 kkxx原 式 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 此 法 第 一 步 排 除 了 沿 坐 標(biāo) 軸 趨 于 原 點(diǎn) 的 情 況 , 此 法 排 除 了 沿 曲 線(xiàn) 趨 于 原 點(diǎn) 的 情

3、 況 . 時(shí)例 如 xxy 2 1lim 2 230 x xxx原 式此 時(shí) 極 限 為 1 . 第 二步 未 考 慮 分 母 變 化 的 所 有 情 況 , ,1, 111 xyxxy 時(shí)例 如 解 三 令 ,sin,cos ryrx 0sincos sincoslim0 rr原 式 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 此 法 忽 略 了 的 任 意 性 , 時(shí)當(dāng) 4,0 r )sin(2 sincossincos sincos 4 rr 極 限 不 存 在 !由 以 上 分 析 可 見(jiàn) , 三 種 解 法 都 不 對(duì) , 因 為 都 不 能 保 證自 變 量 在 定 義 域 內(nèi) 以 任 意 方

4、 式 趨 于 原 點(diǎn) .特 別 要 注 意 , 在 某 些 情 況 下 可 以 利 用 極 坐 標(biāo) 求 極 限 , 但 要 注 意 在 定 義 域 內(nèi) r , 的 變 化 應(yīng) 該 是 任 意 的 . 同 時(shí) 還 可 看 到 , 本 題 極 限 實(shí) 際 上 不 存 在 . 0,0 0,)(),( 22 222322 22 yx yxyx yxyxf提 示 : 利 用 ,2 22 yxyx 2122 )(41),( yxyxf )0,0(0),(lim00 fyxfyx 故 f 在 (0,0) 連 續(xù) ; ,0),0()0,( yfxf又 因 0)0,0()0,0( yx ff所 以知在 點(diǎn) (0

5、,0) 處 連 續(xù) 且 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 , 但 不 可 微 . 例 2. 證 明 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 而 )0,0(f ,00 時(shí)，當(dāng) yx 22 )0,0( )()( yx f 222 22 )()( )()( yx yx 0所 以 f 在 點(diǎn) (0,0)不 可 微 ! 2322 22 )()( )()( yx yx 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 3. 已 知 求 出 的 表 達(dá) 式 . ),( yxf解 一 令 ,yxu ),( vuf )(uvu 即 )(),( xyxyxf ,)0,( xxf )1(),( yxyxf解 二 )()(),( yxyxyxyxyxf

6、 )(),( xyxyxf 以 下 與 解 一 相 同 . ,)(),( 22 yxyxyxyxf ,)0( xxf ， ）（）（ vuyvux 2121 , 則 xx )( 且,yxv )()()( 241241 uvuvu 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 顯 式 結(jié) 構(gòu)隱 式 結(jié) 構(gòu)1. 分 析 復(fù) 合 結(jié) 構(gòu) (畫(huà) 變 量 關(guān) 系 圖 )自 變 量 個(gè) 數(shù) = 變 量 總 個(gè) 數(shù) 方 程 總 個(gè) 數(shù)自 變 量 與 因 變 量 由 所 求 對(duì) 象 判 定2. 正 確 使 用 求 導(dǎo) 法 則3. 利 用 一 階 微 分 形 式 不 變 性 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 二 、 基 本 計(jì)

7、算重 點(diǎn) 是 多 元 復(fù) 合 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 計(jì) 算 例 4.解 ., )(),(222 3yx zyzyz fxyxyfxz 求 ，具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù)設(shè) )1( 213 xfxfxyz ,2214 fxfx )1()1( 222121211422 xfxfxxfxfxyz ,2 22123115 fxfxfx 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xy zyx z 22 )( 2)(4 222212 221211413 xyfyfx xfxyfyfxfx )( 2214 fxfxx .24 22114213 fyfyxfxfx 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 5.解 .

8、,0),( ,sin,0),(),( 2 dxduzf xyzexzyxfu y 求且，具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 顯 然 得的 導(dǎo) 數(shù)兩 邊 求對(duì) ,0),( 2 xzex y ,02 321 dxdzdxdyex y ,dxdz為 求由 此 可 得 , ),cos2(1 2sin13 xexdxdz x .)cos2(1cos 2sin13 zfxexyfxxfdxdu x 故 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 6. 設(shè) 其 中 f 與 F分 別 具,0),(,)( zyxFyxfxz解 一 方 程 兩 邊 對(duì) x

9、求 導(dǎo) , 得 xzdd )0( 23 FFfxxzdd 1F 23 FFfx 1 32 FF fx 12 FF fxffx 221 FffFxfFx 有 一 階 導(dǎo) 數(shù) 或 偏 導(dǎo) 數(shù) , 求 fxfxzxyfx dddd 132 dddd FxzFxyF f fx )dd1( xy .dd xz xyF dd2 0dd3 xzF 99 考 研 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 解 二 0),(,)( zyxFyxfxz方 程 兩 邊 求 微 分 , 得化 簡(jiǎn)消 去 即 可 得yd .ddxz yF d2 0d3 zFyfx d 0d z)d(ddd yxfxxfz 0ddd 321 zFyF

10、xF xfxf d)( xF d1 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 7. 設(shè) ),( zyxfu 有 二 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , 且,sin2 txz ,)ln( yxt 求 ., 2 yx uxu 解 u zyx tx yxxu 1f (3 f txsin2 tx cos2 ) yx u2 12f (13 f tx cos2 ) 32f 33f )1cos( 2 yxtx )cossin2( 2 yx txtx 3f yxtx 1cos2 22 )( yxx yxt 1sin )( yx 1cos t yx 1yx 1 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 8. 設(shè) 函 數(shù) f 二 階

11、 連 續(xù) 可 微 , 求 下 列 函 數(shù) 的 二.2 yx z ),()3( )()2( )()1( 222 xyxfz xyxfz xyfxz 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 解 答 提 示 : :)()1( 2xyfxz :)()2( 2xyxfz xyxyfxyz 2)( 2 xyfyz 2 fxyxyfxy )1(22 222 fxy 232 fy 2 yx z2 yx z2 fy2 )( 22xy fxy 2 )1( 22xy fxy22 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 222 2 fxyyx z ) (2xy 21f 2222 fxy :),()3( 2xyxfz

12、22 fxyyz 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 tdt teyxe zxxyx 0 sin,2),( zyxfu 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) , )(xyy 及 )(xzz 分 別 由 下 兩 式 確 定求 .dd xu 又 函 數(shù)答 案 : 321 )sin( )(1dd fzx zxefxyfxu x 2001考 研 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 9. 設(shè) 三 、 基 本 應(yīng) 用1.在 幾 何 中 的 應(yīng) 用求 曲 線(xiàn) 的 切 線(xiàn) 與 法 平 面 (關(guān) 鍵 : 抓 住 切 向 量 ) 求 曲 面 的 切 平 面 與 法 線(xiàn) (關(guān) 鍵 : 抓 住 法 向 量 ) 2. 極 值

13、 與 最 值 問(wèn) 題 極 值 的 必 要 條 件 與 充 分 條 件 求 條 件 極 值 的 方 法 (消 元 法 , 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 ) 求 解 最 值 問(wèn) 題 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 10.在 第 一 卦 限 作 橢 球 面 1222222 czbyax 的 切 平面 , 使 其 在 三 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 平 方 和 最 小 , 并 求 切 點(diǎn) . 解 設(shè) ,1),( 222222 czbyaxzyxF 切 點(diǎn) 為 ),( 000 zyxM則 切 平 面 的 法 向 量 為 ,2 20ax ,2 20by 202czM即 zczybyxax 202020

14、1220220220 czbyax1切 平 面 方 程 0)(2 020 zzcz)(2 020 yyby )(2 020 xxax 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 ),( zyx FFFn 問(wèn) 題 歸 結(jié) 為 求 222222 zcybxas 在 條 件 1222222 czbyax 下 的 條 件 極 值 問(wèn) 題 .設(shè) 拉 格 朗 日 函 數(shù) 222222 zcybxaF 1222222 czbyax)0,0,0( zyx 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 切 平 面 在 三 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 為 ,02xa ,02yb 02zc 令 2222 xaxaFx 02 2 ax 022

15、 2222 byybybFy 022 2222 czzczcFz 1222222 czbyax cba aax cba bby cba ccz 由 實(shí) 際 意 義 可 知 cba cccba bbcba aaM ,為 所 求 切 點(diǎn) . 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 唯 一 駐 點(diǎn) 例 11. 22 yxz 求 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 與 平 面之 間 的 最 短 距 離 .解 2261 zyxd設(shè) 為 拋 物 面 上 任 一 點(diǎn) ，則 P ),( zyxP 22 yxz 的 距 離 為022 zyx問(wèn) 題 歸 結(jié) 為 (min)22( 2 zyx約 束 條 件 : 022 zyx目 標(biāo) 函 數(shù)

16、 : 22 zyx作 拉 氏 函 數(shù) )()22(),( 222 yxzzyxzyxF 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 到 平 面 )()22(),( 222 yxzzyxzyxF .81,41,41 zyx令 22 yxz 解 此 方 程 組 得 唯 一 駐 點(diǎn) 02)22(2 yzyxFy 0)2)(22(2 zyxFz 02)22(2 xzyxFx 由 實(shí) 際 意 義 ， 最 小 值 存 在 , 241414161min d 647故 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 上 求 一 點(diǎn) , 使 該 點(diǎn) 處 的 法 線(xiàn) 垂例 12. 在 曲 面 yxz ,093 zyx 并 寫(xiě) 出 該 法 線(xiàn)

17、 方 程 .提 示 設(shè) 所 求 點(diǎn) 為 ,),( 000 zyx 則 法 線(xiàn) 方 程 為000 zzyyxx 利 用 1131 00 xy得 3,1,3 000 zyx垂 直 于 平 面 0y 0 x 1000 yxz 法 線(xiàn) 垂 直 于 平 面點(diǎn) 在 曲 面 上 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 13. 在 第 一 卦 限 內(nèi) 作 橢 球 面 1222222 czbyax 的 切平 面 使 與 三 坐 標(biāo) 面 圍 成 的 四 面 體 體 積 最 小 ,并 求 此 體 積 .提 示 設(shè) 切 點(diǎn) 為 ,),( 000 zyx )1( 222222 czbyaxzyxF 用 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 可 求 出 .),( 000 zyx 則 切 平 面 為所 指 四 面 體 圍 體 積 1202020 c zzb yya xx 000 22261 zyx cbaV V 最 小 等 價(jià) 于 f ( x, y, z ) = x y z 最 大 , 作 拉 格 朗 日 函 數(shù) 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 作 業(yè) P73 5， 6， 10， 15， 17 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束