《橢圓及其標準方程》說

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1、 定 義 及 其 標 準 方 程第 一 課 時揭 西 縣 河 婆 中 學 韓 永 超 尊 敬 的 評 委 、 領 導 、 老 師 們 ： 大 家 好 ！ 我 是 來 自 揭 陽 市 揭 西 縣 河 婆 中 學 的 韓 永 超 ，今 天 我 要 跟 大 家 共 同 探 討 的 是 普 通 高 中 課 程 標 準實 驗 教 科 書 數(shù) 學 選 修 21第 二 章 第 一 節(jié) 橢圓 及 其 標 準 方 程 的 教 學 設 計 。 我 們 知 道 ， 新 一輪 的 高 中 課 改 其 顯 著 特 征 和 核 心 任 務 是 堅 定 不 移地 推 進 教 學 方 式 和 學 習 方 式 的 轉(zhuǎn) 變 。

2、新 課 程 強 調(diào)學 生 的 已 有 經(jīng) 驗 是 教 學 的 基 礎 ， 教 學 過 程 應 當 是師 生 之 間 溝 通 與 交 流 的 過 程 。 教 學 過 程 重 結(jié) 論 ，更 應 重 過 程 ， 應 倡 導 積 極 主 動 、 勇 于 探 索 的 學 習方 式 。 基 于 對 新 課 程 理 念 的 理 解 ， 本 節(jié) 課 力 圖 貫徹 上 述 新 課 程 理 念 ， 在 突 出 學 情 意 識 ， 過 程 意識 和 探 究 意 識 上 對 傳 統(tǒng) 教 學 內(nèi) 容 進 行 大 膽 的 創(chuàng)新 設 計 。 下 面 請 允 許 我 具 體 跟 大 家 說 說 我 這 節(jié)課 是 如 何 突

3、出 這 三 種 意 識 的 。 一 、 學 情 意 識 分 析二 、 過 程 意 識 分 析三 、 探 究 意 識 分 析橢 圓 及 其 標 準 方 程 一 、 學 情 意 識 學 生 已 經(jīng) 學 習 了 有 關 直 線 與 圓 的 知 識 ,對 曲 線 和 方 程 的 概 念 有 了 一 定 的 了 解 ， 對用 坐 標 法 研 究 幾 何 問 題 已 經(jīng) 有 了 初 步 的 認識 ， 對 探 究 點 的 軌 跡 問 題 已 有 一 定 的 知 識基 礎 和 學 習 能 力 。 這 有 利 于 學 生 實 現(xiàn) 從“ 舊 知 ” 向 “ 新 知 ” 的 遷 移 。 我 們 還 意 識 到 大

4、部 分 學 生 課 前 有 預 習的 習 慣 ， 通 過 預 習 對 本 節(jié) 的 學 習 內(nèi) 容 、 研究 問 題 的 方 法 、 要 解 決 的 問 題 已 有 了 初 步的 認 識 ,個 別 學 生 甚 至 通 過 自 學 就 能 掌 握 本節(jié) 的 內(nèi) 容 。 一 、 學 情 意 識 但 對 大 部 分 學 生 而 言 ， 畢 竟 他 們 對 這 一模 塊 內(nèi) 容 學 習 的 時 間 不 長 、 理 解 掌 握 的 程 度也 參 差 不 齊 ， 因 此 在 學 習 過 程 中 難 免 會 有 些困 難 。 具 體 可 能 會 表 現(xiàn) 在 對 用 坐 標 法 解 決 軌跡 問 題 的 具 體

5、 步 驟 掌 握 不 到 位 及 在 方 程 化 簡方 面 方 法 選 擇 不 當 ， 所 以 從 研 究 圓 到 橢 圓 ，學 生 思 維 上 會 存 在 一 些 障 礙 。 二 、 過 程 意 識1、 發(fā) 現(xiàn) 問 題 ， 引 入 新 知 -定 義 的 構 建 r o p 請 問 ： 動 點 P所 滿 足 的 幾 何 條 件 是 什 么 ? （ OP = r ）實 驗 ： 取 一 條 定 長 的 沒 有 彈 性 的 細 繩 ， 把 它 的 兩 端 都固 定 在 圖 板 的 同 一 點 處 ， 套 上 鉛 筆 ， 拉 緊 繩 子 ， 移 動筆 尖 ， 這 時 筆 尖 畫 出 的 軌 跡 是 什

6、 么 圖 形 ？ (把 筆 尖 看 作動 點 P) 圖 1我 們 根 據(jù) 上 面 的 幾 何 條 件 給 圓 下 定 義 ：圓 是 到 定 點 的 距 離 等 于 定 長 的 點 的 軌 跡 。 二 、 過 程 意 識 這 時 候 動 點 P滿 足 的 幾 何 條 件 又 是 什 么 ？ 學 生 不 難 說出 動 點 到 兩 定 點 距 離 之 和 等 于 定 長 （ 常 數(shù) ） 。 F1 F2 p 現(xiàn) 在 請 同 學 們 將 細 繩 的 兩 端 拉 開 一 段 距 離 ， 分 別 固定 在 圓 板 的 兩 點 F1、 F2處 ， 移 動 筆 尖 一 周 ， 看 看 這 時 筆尖 畫 出 的

7、軌 跡 是 什 么 圖 形 ？ 圖 2兩 定 點 的 距 離 不 可 能 畫 出 橢 圓 ， 從 而 完 成 了 對 橢 圓 的 定義 ， 且 明 確 了 定 義 中 的 附 加 條 件 是 定 義 的 一 部 分 。 這 時 根 據(jù) 學 生 回 答 的 情 況 結(jié) 合教 具 的 演 示 讓 學 生 直 觀 感 知 ， 假 如繩 子 的 的 長 度 （ 常 數(shù) ） 小 于 或 等 于 所 以 我 們 將 橢 圓 定 義 為 ： 到 兩 個 定 點 的 距 離之 和 等 于 常 數(shù) 的 點 的 軌 跡 （二 、 過 程 意 識 1 2| | | |PF PF F1F2 ）設 計 意 圖 ： 充

8、分 利 用 教 具 ， 不 斷 修 正 、 完 善 對 橢圓 定 義 的 構 建 。 讓 學 生 通 過 實 驗 操 作 去 直 觀 感 知新 知 ， 又 通 過 類 比 ， 使 學 生 對 橢 圓 的 定 義 的 學 習 、理 解 水 到 渠 成 。 二 、 過 程 意 識 2、 引 導 探 究 ， 構 建 新 知 -標 準 方 程 的 建 立 在 實 際 生 活 中 ， 橢 圓 形 的 實 物 無 處 不 在 ，如 盤 子 、 油 罐 車 的 橫 截 面 ， 還 有 人 造 衛(wèi) 星 繞 地球 運 行 的 軌 跡 等 等 ， 可 見 橢 圓 與 圓 一 樣 是 無 處不 在 的 ， 因 而

9、很 有 必 要 研 究 橢 圓 的 幾 何 性 質(zhì) 。我 們 知 道 研 究 曲 線 及 其 性 質(zhì) 的 基 本 方 法 是 坐 標法 。 用 坐 標 法 研 究 曲 線 有 兩 個 基 本 環(huán) 節(jié) ， 一 是建 立 坐 標 系 ， 二 是 建 立 方 程 。 二 、 過 程 意 識 圓 有 一 般 方 程 ， 而 橢 圓 有 沒 有 一 般 方程 呢 ？ 教 材 是 怎 樣 建 系 的 ？ 教 材 為 什 么 要這 樣 建 系 ？ 要 解 決 這 個 問 題 我 們 得 探 究 一下 其 它 的 建 系 法 的 結(jié) 果 是 怎 樣 的 ？ 這 個 環(huán)節(jié) 給 學 生 充 分 的 時 間 ， 讓

10、 他 們 探 究 、 推 導 、比 較 、 交 流 。 可 以 想 象 ， 學 生 得 出 的 方 程形 式 會 比 較 復 雜 ， 大 多 數(shù) 可 能 沒 有 經(jīng) 過 配方 ， 甚 至 是 錯 誤 的 ,這 時 讓 學 生 對 不 同 的 結(jié)果 進 行 判 斷 、 比 較 、 選 擇 。 通 過 學 生 的 探 究 、 推 導 ， 老 師 的 點 撥 、 提 煉得 出 下 是 幾 種 不 同 建 系 法 對 應 的 橢 圓 的 方 程 ： 2 22 2( ) 1x a ya b 2 22 2( ) 1x a ya b 2 22 2x y 1a b 22 22 1 y xa b 圖 3a b

11、c d 二 、 過 程 意 識 二 、 過 程 意 識 從 中 可 以 看 出 ， 同 一 個 橢 圓 ， 因 建 系 的 不 同 ，所 得 的 方 程 也 不 同 ， 但 不 同 的 方 程 對 應 的 橢 圓 是不 變 的 ， 我 們 要 通 過 方 程 來 研 究 橢 圓 的 幾 何 性 質(zhì) ，那 當 然 是 方 程 的 形 式 越 簡 單 越 好 。 最 后 經(jīng) 過 分 析 、比 較 不 難 得 出 坐 標 原 點 選 在 橢 圓 的 中 心 時 得 出 的方 程 形 式 最 簡 單 ， 這 樣 的 方 程 我 們 把 它 稱 為 橢 圓的 標 準 方 程 。 其 中 a、 b、 c是

12、 確 定 橢 圓 大 小 、 形 狀的 特 征 量 ， 且 滿 足 ： ， 進 一 步 分 清 兩 個 標 準 方 程 的 聯(lián) 系 和 區(qū) 別 從 而 完 成 了 對 橢 圓 標 準 方 程 的 構 建 （ 圖 3a、 b） 。 0a b 2 2 2a b c 二 、 過 程 意 識 說 明 ： 在 里 對 橢 圓 的 標 準 方 程 的 建 立 沒 有 墨 守 成規(guī) 按 教 材 給 出 的 建 系 做 ， 而 是 積 極 鼓 勵 學 生 用不 同 建 系 方 法 ， 讓 他 們 充 分 暴 露 自 然 思 維 ， 以便 了 解 學 生 的 思 維 起 點 ， 讓 他 們 在 自 己 認 為

13、簡潔 的 坐 標 系 下 建 立 橢 圓 的 方 程 。 通 過 展 示 推 導過 程 ， 比 較 化 簡 結(jié) 果 ， 讓 學 生 明 白 哪 種 坐 標 系更 合 適 ， 不 用 老 師 叮 囑 ， 在 以 后 的 建 系 中 ， 他自 然 會 注 意 到 平 衡 對 稱 對 簡 化 問 題 的 作 用 。 這樣 ， 學 生 可 以 在 對 比 、 觀 察 、 思 維 的 基 礎 上 提升 自 己 的 思 維 ， 使 新 知 識 與 舊 知 識 盡 可 能 產(chǎn) 生的 聯(lián) 系 ， 而 不 是 被 動 地 接 受 正 確 的 結(jié) 果 ， 也 就是 說 我 們 教 學 不 但 重 結(jié) 課 ， 更

14、重 過 程 。 二 、 過 程 意 識3、 練 習 鞏 固 ， 感 悟 新 知 -知 識 的 運 用 （ 1） 寫 出 適 合 下 列 條 件 的 橢 圓 的 標 準 方 程 （ 課 本 P40） a=4， b=1， 焦 點 在 x軸 上 a=4， c= ， 焦 點 在 y軸 上 如 果 該 橢 圓 上 一 點 P到 焦 點 F1的 距 離 等 于 6， 那 么 P到 另 一 個 焦 點 F2距 離 是 - （ 2） 已 知 橢 圓 兩 個 焦 點 的 坐 標 分 別 為 ， 并 且 經(jīng) 過 點 ， 則 方 程 是 -15 ( 2,0),(2,0)5 3( , )2 2 二 、 過 程 意 識

15、（ 3） 在 橢 圓 中 ， 已 知 a+b=10， c=2 ， 則 橢 圓標 準 方 程 為 - A. B. C. 或 D. 522 136 16yx 2 2 136 16y x 22 136 16yx 2 2 136 16y x 22 164 4yx 二 、 過 程 意 識（ 4） 如 圖 ： 畫 出 所 給 的 橢 圓 的 焦 點 的 位置 ， 并 說 明 理 由 。 （ 補 充 練 習 ） 二 、 過 程 意 識 說 明 ： 這 個 環(huán) 節(jié) 結(jié) 合 教 學 目 標 對 教 材 例 題 、 習題 進 行 了 重 組 和 加 工 ， 以 學 生 的 練 習 、 感 悟 為主 ， 不 預 設

16、 例 題 ， 那 個 題 目 需 要 分 析 、 講 解 由課 堂 實 際 而 定 ， 另 外 練 習 盡 可 能 體 現(xiàn) 題 形 多 樣性 和 層 次 性 ， 以 滿 足 不 同 層 次 的 學 生 的 需 要 。分 析 解 答 中 注 意 發(fā) 現(xiàn) 學 生 思 維 的 閃 光 點 ， 注 意不 同 思 維 、 方 法 的 碰 撞 。 設 計 意 圖 ： 不 同 于 以 往 ， 這 個 環(huán) 節(jié) 通 過 放 手 讓學 生 自 己 練 習 、 感 悟 ， 讓 學 生 在 “ 游 泳 中 學 會游 泳 ” ， 以 增 強 對 學 生 能 力 培 養(yǎng) 的 針 對 性 和 實效 性 。 二 、 過 程

17、意 識4、 作 業(yè) （ 1） P46習 題 2.1A組（ 1） 、 如 果 點 在 運 動 過 程 中 ， 總 滿 足 關 系 式 ： 那 么 點 M的 軌 跡 是 什 么 曲線 ？ 為 什 么 ？ 寫 出 它 的 方 程 。（ 2） 、 寫 出 適 合 下 列 條 件 的 橢 圓 的 標 準 程 ： 焦 點 在 x軸 上 ， 焦 距 為 4， 并 且 經(jīng) 過 點 P（ 3， - ） ； 焦 點 的 坐 標 分 別 為 ， a=5； a+c=10, a-c=4。 ),( yxM2 2 2 2x (y 3) x (y 3) 10 2 6(0, 4),(0,4)設 計 意 圖 ： 鞏 固 所 學

18、知 識 ， 形 成 技 能 ， 為 下 節(jié) 課 的 教法 、 學 法 的 確 定 提 供 依 據(jù) 。 二 、 過 程 意 識 5、 歸 納 小 結(jié) ， 內(nèi) 化 新 知 我 們 最 后 選 擇 了 坐 標 原 點 在 橢 圓 的中 心 去 建 系 是 因 為 得 出 的 方 程 形 式 最 簡單 ， 由 這 種 建 系 方 法 得 到 的 方 程 叫 橢 圓的 標 準 方 程 。 在 用 橢 圓 的 標 準 方 程 解 決問 題 時 ， 要 注 意 分 清 不 同 的 “ 型 ” 和“ 形 ” ， 要 注 意 定 義 的 靈 活 運 用 。 二 、 過 程 意 識 設 計 意 圖 ： 這 個 環(huán)

19、 節(jié) 不 是 對 這 節(jié) 課 所 學知 識 的 簡 單 羅 列 ， 而 是 通 過 思 想 方 法 的滲 透 以 及 對 學 生 在 分 析 、 探 究 的 過 程 中出 現(xiàn) 的 問 題 的 剖 析 ， 來 加 深 學 生 對 所 學知 識 的 理 解 ， 使 本 節(jié) 課 的 知 識 得 到 進 一步 內(nèi) 化 。 三 、 探 究 意 識1、 對 橢 圓 定 義 的 探 究 借 助 實 驗 ， 讓 學 生 從 實 踐 中 體 會 橢 圓 上 的 點 所 滿 足 的條 件 ， 逐 漸 把 圖 形 語 言 轉(zhuǎn) 化 為 文 字 語 言 。 當 學 生 定 義 不 準確 、 不 嚴 謹 時 ， 不 是

20、否 定 學 生 ， 而 是 保 護 學 生 的 自 尊 心 ，保 留 學 生 的 自 信 心 ， 繼 續(xù) 設 計 情 境 ， 引 導 學 生 自 主 探 索 。 三 、 探 究 意 識2、 對 橢 圓 標 準 方 程 的 探 究 在 這 節(jié) 課 的 教 學 設 計 中 ， 我 沒 有 墨 守 成 規(guī) 按教 材 給 出 的 建 系 方 法 探 究 方 程 ， 而 是 鼓 勵 學 生 用不 同 的 建 系 方 法 去 建 立 方 程 。 三 、 探 究 意 識3、 課 外 探 究（ 1） 如 圖 4， 將 圓 上 所 有 的 點 的 縱 坐 標 壓 縮 為 原 來的 一 半 ， 橫 坐 標 不 變

21、 ， 所 得 的 曲 線 是 什 么 曲 線 ？ 壓縮 為 原 來 的 ， ， ， ， （ ） 呢 ？（ 探 究 工 具 ， 手 段 不 限 ）（ 2） 如 果 已 知 圓 的 方 程 為 ， 你 能 分 別 求 出 按 （ 1） 壓 縮 后 所 得 的 曲 線 的 方 程 嗎 ？13 14 15 1n n ,n 2N 2 2x y 16 三 、 探 究 意 識 設 計 意 圖 ： 通 過 創(chuàng) 造 性 的 使 用教 材 ,一 方 面 使 針 對 教 材 內(nèi) 容 所開 展 的 探 究 性 活 動 成 為 一 種 真實 的 可 能 ； 另 一 方 面 通 過 這 樣的 設 計 可 逐 漸 培 養(yǎng)

22、學 生 自 主 學習 、 自 我 探 索 的 良 好 習 慣 ， 并最 終 從 根 本 上 轉(zhuǎn) 變 學 生 的 學 習方 式 ， 同 時 為 對 學 生 數(shù) 學 學 習的 過 程 性 評 價 找 到 一 種 比 較 好的 形 式 和 一 個 很 好 的 落 腳 點 。課 外 探 究 (2) 三 、 探 究 意 識 各 位 專 家 、 老 師 ， 我 認 為 我 這 節(jié) 課的 教 學 設 計 具 有 以 上 三 方 面 的 特 色 ， 還有 其 它 方 面 比 如 這 節(jié) 課 的 教 學 目 標 及 難重 點 等 方 面 ， 請 各 位 評 委 、 老 師 看 看 我的 教 案 ， 謝 謝 ！