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1、CH7 二階電路分析,由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。分析二階電路的方法仍然是建立二階微分方程，并利用初始條件求解得到電路的響應。本章主要討論含兩個動態(tài)元件的線性二階電路，重點是討論電路的零輸入響應。,1. 通過例子，掌握求解二階電路的方法、步驟。,2. 通過例子得出二階電路的一般規(guī)律。,學習方法,CH7 二階電路分析,本章目錄,7.2 RLC串聯電路的零輸入響應,7.3 RLC串聯電路的全響應,7.4 GLC并聯電路的分析,7.1 LC電路中的正弦振蕩,CH7 二階電路分析,RLC串聯電路的微分方程,圖1 RLC串聯二階電路,為了得到圖1所示RLC串聯電路的微分方程，先列出KVL方程,
2、RLC串聯電路的零輸入響應,根據前述方程得到以下微分方程,這是一個常系數非齊次線性二階微分方程。,其特征方程為,其特征根為,零輸入響應方程為,RLC串聯電路的零輸入響應,電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當R，L，C的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況,1. 時， 為不相等的實根。過阻尼情況。,3. 時， 為共軛復數根。欠阻尼情況。,2. 時， 為兩個相等的實根。臨界阻尼情況。,RLC串聯電路的零輸入響應,過阻尼情況,當 時，電路的固有頻率s1，s2為兩個不相同的實數，齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個常數K1，K2由初始條件iL
3、(0)和uc(0) 確定。,RLC串聯電路的零輸入響應,求解以上兩個方程，可以得到,由此得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。,RLC串聯電路的零輸入響應,例1 電路如圖所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應。,解：由R，L，C，計算固有頻率,圖 RLC串聯二階電路,RLC串聯電路的零輸入響應,將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個方程：,K1=6 K2=-4,,最
4、后得到電容電壓的零輸入響應為,RLC串聯電路的零輸入響應,利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應,從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。,臨界情況,當 時，電路的固有頻率s1, s2為兩個相同的實數s1=s2=s。齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個常數K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0) 確定。令t=0，得到,RLC串聯電路的零輸入響應,聯立求解以上兩個方程，可以得到,由 K1, K2的計算結果，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。,求導，再令t=0，得到,RLC串聯電路的零輸
5、入響應,例2 電路如圖所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應。,解：由R，L，C，計算出固有頻率的數值,圖RLC串聯二階電路,RLC串聯電路的零輸入響應,利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,將兩個相等的固有頻率s1=s2=-2 代入，得到,RLC串聯電路的零輸入響應,得到電感電流的零輸入響應,求解以上兩個方程得到常數K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應,RLC串聯電路的零輸入響應,根據以上兩個表達式畫出的波形曲線，如圖所示。,(a) 電
6、容電壓的波形 (b) 電感電流的波形 臨界阻尼情況,RLC串聯電路的零輸入響應,欠阻尼情況,當 時，電路的固有頻率s1，s2為為兩個共軛復數根，它們可以表示為,其中,RLC串聯電路的零輸入響應,齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中,由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應。,RLC串聯電路的零輸入響應,例3 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應。,解：由R，L，C，計算出固有頻率的數值,圖
7、1 RLC串聯二階電路,RLC串聯電路的零輸入響應,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應:,將兩個不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入得,(a) 衰減系數為3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數為3的電感電流的波形 (c) 衰減系數為0.5的電容電壓的波形 (d) 衰減系數為0.5的電感電流的波形 圖 欠阻尼情況,畫出的波形曲線，如圖(a)和(b)所示,可以看出，欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越
8、小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當例3中電阻由R=6減小到R=1，衰減系數由3變?yōu)?.5時，得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。,RLC串聯電路的零輸入響應,例4 電路如圖所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應。,解：由R，L，C計算出固有頻率的數值,圖 RLC串聯二階電路,RLC串聯電路的零輸入響應,將兩個不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入得
9、到,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應:,畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖所示。,圖 無阻尼情況,RLC串聯電路的零輸入響應,從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。 從以上分析
10、計算的結果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應的形式與其固有頻率密切相關，我們將響應的幾種情況畫在圖6上。,RLC串聯電路的零輸入響應,圖6,由圖6可見： 1. 在過阻尼情況，s1和s2是不相等的負實數，固有頻率出現在s平面上負實軸上，響應按指數規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負實數，固有頻率出現在s平面上負實軸上，響應按指數規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復數，固有頻率出現在s平面上的左半平面上，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數規(guī)律衰減，衰減系數 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。,RLC串聯電路的
11、零輸入響應,圖中按Ke-t畫出的虛線稱為包絡線，它限定了振幅的變化范圍。 4.在無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數，固有頻率出現在s平面上的虛軸上，衰減系數為零，振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。 顯然，當固有頻率的實部為正時，響應的振幅將隨時間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當一個電路的全部固有頻率均處于s平面上的左半平面上時，電路是穩(wěn)定的。,RLC串聯電路的零輸入響應,直流激勵下RLC串聯電路的響應,對于圖示直流激勵的RLC串聯電路，當uS(t)=US時，可以得到以下非齊次微分方程,電路的全響應由對應齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成,電路的固有頻率為,當電路的固有頻率s
12、1s2時，對應齊次微分方程的通解為,直流激勵下RLC串聯電路的響應,直流激勵下RLC串聯電路的響應,微分方程的特解為,全響應為,利用以下兩個初始條件,可以得到,對uC(t)求導，再令t=0得到,求解這兩個代數方程，得到常數K1和K2后就可得到uC(t)。,直流激勵下RLC串聯電路的響應,例5 電路如圖所示。已知 R=4，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0時，電容電 壓和電感電流的響應。,解：先計算固有頻率,直流激勵下RLC串聯電路的響應,這是兩個不相等的負實根，其通解為,特解為,全響應為,利用初始條件得到,直流激勵下RLC串聯電路的
13、響應,聯立求解以上兩個方程得到,最后得到電容電壓和電感電流的全響應,直流激勵下RLC串聯電路的響應,例6 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求t0時電容電壓的零狀態(tài)響應。,解：t0時，(t)=1V，可以作為直流激勵處理。首先計算 電路的固有頻率,直流激勵下RLC串聯電路的響應,根據這兩個固有頻率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全響應的表達式為,利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,直流激勵下RLC串聯電路的響應,求解以上兩個方程得到常數K1-1和K2-0.75，得到電容電壓的零狀態(tài)
14、響應,直流激勵下RLC串聯電路的響應,注：圖(c)和(d)表示當電阻由R=6減小到R=1，衰減系數由3變?yōu)?.5時的電 容電壓和電感電流零狀態(tài)響應的波形曲線。,注：圖(a)和(b)表示畫出的電容電壓和電感電流的波形。,圖9-7,RLC并聯電路的響應,RLC并聯電路如圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出KCL方程,,代入電容，電阻和電感的VCR方程,得到微分方程,這是一個常系數非齊次線性二階微分方程。,其特征方程為,由此求解得到特征根,當電路元件參數G,L,C的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況：,1. 時，s1,s2為兩個不相等的實根。,2. 時，s1,s2為兩個相等
15、的實根。,3. 時，s1,s2為共軛復數根。,當兩個特征根為不相等的實數根時，稱電路是過阻尼的；當兩個特征根為相等的實數根時，稱電路是臨界阻尼的；當兩個特征根為共軛復數根時，稱電路是欠阻尼的。,例7 電路如圖所示。已知G=3S,L=0.25H, C=0.5F, iS(t)=(t)A。求t0時電感電流和電容電壓的零狀態(tài)響應。,解：根據G,L,C 的量值，計算出固有頻率,,RLC并聯電路的響應,利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,求得常數K1=-2,K2=1。最后得到電感電流和電容電壓,這是兩個不相等的實根，電感電流的表達式為,例8 RLC并聯電路中，已知G=0.1S,L=1H, C=1F, iS(t)=(t)A。求t0時，電感電流的零狀態(tài)響應。 解：首先計算固有頻率,其響應為,RLC并聯電路的響應,利用零初始條件，得到,由此可得,最后得到電感電流為,RLC并聯電路的響應,畫出的電感電流波形如下所示。,衰減系數為0.05的電感電流的波形,
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