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1、第七章學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點 掌握窗函數(shù)設(shè)計法 理解頻率抽樣設(shè)計法 了解設(shè)計FIR濾波器的最優(yōu)化方法 理解IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較,第七章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法,IIR數(shù)字濾波器：,可以利用模擬濾波器設(shè)計,但相位非線性,FIR數(shù)字濾波器：,可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性,因果穩(wěn)定系統(tǒng),可用FFT計算,但階次比IIR濾波器要高得多,一、線性相位FIR濾波器的特點,FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：,系統(tǒng)函數(shù)：,在 z 平面有N 1 個零點,在 z = 0 處是N 1 階極點,h(n)為實序列時，其頻率響應(yīng)：,1、線性相位條件,即群延時 是常數(shù),第二類線性
2、相位：,第一類線性相位：,線性相位是指 是 的線性函數(shù),第一類線性相位：,要使上面的公式成立必須有：,n = (N 1) /2 為h(n)的偶對稱中心,第二類線性相位 的充要條件：,n = (N 1) /2 為h(n)的奇對稱中心,2、線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的特點,系統(tǒng)函數(shù)：,由,頻率響應(yīng)：,1）h(n)偶對稱,為第一類線性相位,相位函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,2）h(n)奇對稱,相位函數(shù)：,為第二類線性相位,3、幅度函數(shù)的特點,1）h(n)偶對稱，N為奇數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,2）h(n)偶對稱，N為偶數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,,,故不能設(shè)計成高通、帶阻濾波器,,
3、3）h(n)奇對稱，N為奇數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,,,4）h(n)奇對稱，N為偶數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,,,h(n)為奇對稱時，有900相移，適用于微分器和900移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對稱時,4、零點位置,1）若 z = zi 是H(z)的零點，則 z = zi-1 也是零點,2）h(n)為實數(shù)，則零點共軛成對,線性相位濾波器的零點是互為倒數(shù)的共軛對 即共軛成對且鏡像成對,1）,零點：,2） ，即零點在單位圓上,零點：,3） ，即零點在實軸上,零點：,4） 即零點既在實軸上，又在單位圓上,零點：,二、窗函數(shù)設(shè)計法,1、
4、設(shè)計方法,,,w(n)：窗函數(shù)序列,要選擇合適的形狀和長度,以低通濾波器為例討論：,線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：,其理想單位抽樣響應(yīng)：,中心點為 的偶對稱無限長非因果序列,,,取矩形窗：,則FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)：,按第一類線性相位條件，得,,,加窗處理后對頻率響應(yīng)的影響：,時域乘積相當(dāng)于頻域卷積,而矩形窗的頻率響應(yīng)：,理想濾波器的頻率響應(yīng)：,其幅度函數(shù)：,則FIR濾波器的頻率響應(yīng)：,,,,,,,,,幅度函數(shù)：,加窗函數(shù)的影響：,不連續(xù)點處邊沿加寬形成過渡帶，其寬度（兩肩峰之間的寬度）等于窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。,在 處出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏振 蕩，振蕩的幅度和多少取
5、決于旁瓣的幅度和多少,改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。其相對比例由窗函數(shù)形狀決定，稱為Gibbs效應(yīng),2、各種窗函數(shù),窗函數(shù)的要求：,窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶,盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度 以減小肩峰和波紋,矩形窗,主瓣寬度最窄：,旁瓣幅度大,窗譜：,幅度函數(shù)：,三角形（Bartlett）窗,主瓣寬度寬：,旁瓣幅度較小,窗譜：,幅度函數(shù)：,漢寧（Hanning）窗 （升余弦窗）,主瓣寬度寬：,旁瓣幅度小,幅度函數(shù)：,海明（Hamming）窗 （改進的升余弦窗）,主瓣寬度寬：,旁瓣幅度更小,幅度函數(shù)：,布萊克曼（Blackman）窗 （二階升余弦窗）,主
6、瓣寬度最寬：,旁瓣幅度最小,幅度函數(shù)：,凱澤（Kaiser）窗,：第一類變形零階 貝塞爾函數(shù),阻帶最小衰減只由窗形狀決定,過渡帶寬則與窗形狀和窗寬N都有關(guān),3、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟,給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù) 及技術(shù)指標(biāo),求出理想的單位抽樣響應(yīng),根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù),計算頻率響應(yīng) ，驗算指標(biāo)是否滿足要求,根據(jù)過渡帶寬度確定N值,求所設(shè)計的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng),公式法：,,IFFT法：,計算其IFFT，得：,對 M點等間隔抽樣：,4、線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計,2）求hd(n),4）確定N 值,3）選擇窗函數(shù)：由 確定海明窗（-53dB）,5）確定FIR濾波器的h(n)
7、,6）求 ，驗證,若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計,5、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計,其單位抽樣響應(yīng)：,理想高通的頻響：,6、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計,其單位抽樣響應(yīng)：,理想帶通的頻響：,7、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計,其單位抽樣響應(yīng)：,理想帶阻的頻響：,三、頻率抽樣設(shè)計法,1、設(shè)計方法,對理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣 作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值,,,,,內(nèi)插公式：,抽樣點上，頻率響應(yīng)嚴格相等,抽樣點之間，加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加,變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小,1、線性相位的約束,1）h(n)偶對稱，N為奇數(shù),幅度偶對稱：,相位函數(shù)：,2）h(n)偶對稱
8、，N為偶數(shù),幅度奇對稱：,相位函數(shù)：,2、頻率抽樣的兩種方法,1）第一種頻率抽樣,系統(tǒng)函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,2）第二種頻率抽樣,系統(tǒng)函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,3、線性相位第一種頻率抽樣,h(n)為實數(shù)序列時，H(k)圓周共軛對稱,又線性相位：,即：,對稱中心：,當(dāng)N為奇數(shù)時：,當(dāng)N為偶數(shù)時：,當(dāng)N為奇數(shù)時：,當(dāng)N為偶數(shù)時：,頻率響應(yīng)：,當(dāng)N為奇數(shù)時：,當(dāng)N為偶數(shù)時：,4、線性相位第二種頻率抽樣,h(n)為實數(shù)序列時，H(k)圓周共軛對稱,又線性相位：,即：,對稱中心：,當(dāng)N為奇數(shù)時：,當(dāng)N為偶數(shù)時：,當(dāng)N為奇數(shù)時：,當(dāng)N為偶數(shù)時：,頻率響應(yīng)：,當(dāng)N為奇數(shù)時：,當(dāng)N為偶數(shù)時：,,例 用頻率抽樣法設(shè)計一個
9、低通FIR DF，其截止頻率為 ，濾波器長度N=20。 解 要求設(shè)計的濾波器長度N為偶數(shù)，截止頻率 如果按照第一種抽樣方式來設(shè)計濾波器，則有： 抽樣點為,又因為截止頻率為 ， k=2時， 2
10、，來實現(xiàn)上面的FIR濾波器。 所設(shè)計濾波器的幅頻響應(yīng)如下圖所示,,,上面得到的幅頻響應(yīng)可以由h(n)的DTFT得到，也可以直接用公式計算,增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減,5、過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計,不加過渡抽樣點：,加一點：,加兩點：,加三點：,,增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，但導(dǎo)致過渡帶變寬,增加N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量,優(yōu)點：頻域直接設(shè)計,缺點：抽樣頻率只能是 的整數(shù)倍或 的整數(shù)倍+ ，截止頻率 不能任意取值,例：利用頻率抽樣法設(shè)計一個頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為0.5，抽樣點數(shù)為N=33，要求濾波器具有線性相位。,解：,按第
11、一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點,得線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)：,過渡帶寬：,阻帶衰減：-20dB,增加一點過渡帶抽樣點,令H(9)=0.5,過渡帶寬：,阻帶衰減：-40dB,增加兩點過渡帶抽樣點 且增加抽樣點數(shù)為N=65,令H(17)=0.5886,H(18)=0.1065,過渡帶寬：,阻帶衰減：-60dB,五、IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,IIR濾波器,FIR濾波器,h(n)無限長,h(n)有限長,極點位于z平面任意位置,濾波器階次低,非線性相位,遞歸結(jié)構(gòu),不能用FFT計算,可用模擬濾波器設(shè)計,用于設(shè)計規(guī)格化的選頻濾波器,極點固定在原點,濾波器階次高得多,可嚴格的線性相位,一般采用非遞歸結(jié)構(gòu),可用FFT計算,設(shè)計借助于計算機,可設(shè)計各種幅頻特性和相頻特性的濾波器,本章作業(yè)練習(xí),P370: 1,
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