飛機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)修正模型.ppt

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1、飛機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)修正模型,例飛機(jī)在飛行過程中，能夠收到地面上各個(gè)監(jiān)控臺(tái)發(fā)來的關(guān)于飛機(jī)當(dāng)前位置的信息，根據(jù)這些信息可以比較精確地確定飛機(jī)的位置。如圖所示，VOR是高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備的英文縮寫，它能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備連線的角度信息；DME是距離測(cè)量裝置的英文縮寫，它能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備的距離信息。圖中飛機(jī)接收到來自3個(gè)VOR給出的角度和1個(gè)DME給出的距離(括號(hào)內(nèi)是測(cè)量誤差限)，并已知這4種設(shè)備的x，y坐標(biāo)(假設(shè)飛機(jī)和這些設(shè)備在同一平面上)。如何根據(jù)這些信息精確地確定當(dāng)前飛機(jī)的位置？,問題分析 記4種設(shè)備VOR1、VOR2、VOR3、DME的坐標(biāo)為(xi, yi)(以km為單位)，i=1, 2, 3

2、, 4；VOR1、VOR2、VOR3測(cè)量得到的角度為i (從圖中可以看出，按照航空飛行管理的慣例，該角度是從北開始，沿順時(shí)針方向的角度，取值在003600之間)，角度的誤差限為i，i=1, 2, 3；DME測(cè)量得到的距離為d4 (km)，距離的誤差限為4。設(shè)飛機(jī)當(dāng)前位置的坐標(biāo)為(x, y)，則問題就是由下表的已知數(shù)據(jù)計(jì)算(x, y)。,模型1及求解,圖中角度i是點(diǎn)(xi, yi)和點(diǎn)(x, y)的連線與y 軸的夾角(以y 軸正向?yàn)榛鶞?zhǔn)，順時(shí)針方向夾角為正，而不考慮逆時(shí)針方向的夾角)，于是角度i的正切,i=1, 2, 3,,對(duì)DME測(cè)量得到的距離，顯然有,直接利用上面得到的4個(gè)等式確定飛機(jī)的坐標(biāo)

3、x, y，這時(shí)是一個(gè)求解超定(非線性)方程組的問題，在最小二乘準(zhǔn)則下使計(jì)算值與測(cè)量值的誤差平方和最小(越接近0越好)。,這是一個(gè)非線性(無約束)最小二乘擬合問題。,則需要求解,MODEL: SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS DATA: x, y, cita, sigma = 74613932.813470.0140 6293750.787140.0105 15712595.393070.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155987864.32.0; ENDDATA ! XX,YY表示飛機(jī)坐標(biāo); min = sum(VOR:

4、sqr((xx-x)/(yy-y) - tan(cita)) ) + sqr(d4 - sqrt(sqr(xx-x4)+sqr(yy-y4)) ); END,很容易寫出其LINGO程序如下：,求解該模型得到的解為(只列出部分結(jié)果)：,Local optimal solution found. Objective value: 128.0226 Variable Value Reduced Cost XX 243.4204 0.1315903E-08 YY 126.3734 0.000000,顯然，這個(gè)解的目標(biāo)函數(shù)值很大

5、(128.0226), 因此我們懷疑是一個(gè)局部最小點(diǎn)。用“LINGO|OPTIONS”菜單命令啟動(dòng)“Global Solver”選項(xiàng)卡上的“Use Global Solver”選項(xiàng)，然后求解，可以得到全局最優(yōu)解如下：,Global optimal solution found. Objective value: 0.7050440E-03 Variable Value Reduced Cost XX 980.6926 0.000000 YY 731.5666 0.000000,這個(gè)解的目標(biāo)函數(shù)值很小(0.000705)，飛機(jī)坐標(biāo)

6、為(980.6926，731.5666)。,模型2及求解,注意到這個(gè)問題中角度和距離的單位是不一致的(角度為弧度，距離為公里)，因此將這4個(gè)誤差平方和同等對(duì)待(相加)不是很合適。并且，4種設(shè)備測(cè)量的精度(誤差限)不同，而上面的方法根本沒有考慮測(cè)量誤差問題。如何利用測(cè)量設(shè)備的精度信息？這就需要看你對(duì)例中給出的設(shè)備精度如何理解。 一種可能的理解是：設(shè)備的測(cè)量誤差是均勻分布的。以VOR1為例，目前測(cè)得的角度為161.20，測(cè)量精度為0.80，所以實(shí)際的角度應(yīng)該位于區(qū)間161.20-0.80，161.20+0.80內(nèi)。對(duì)其他設(shè)備也可以類似理解。由于很小，即測(cè)量精度很高，所以在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)正切函數(shù)ta

7、n的單調(diào)性成立。,于是可以得到一組不等式：,(i=1, 2, 3),也就是說，飛機(jī)坐標(biāo)應(yīng)該位于上述不等式組成的區(qū)域內(nèi)。例如，模型1中得到的目標(biāo)函數(shù)值很小，顯然滿足測(cè)量精度要求，因此坐標(biāo)(980.6926, 731.5666)肯定位于這個(gè)可行區(qū)域內(nèi)。,由于這里假設(shè)設(shè)備的測(cè)量誤差是均勻分布的，所以飛機(jī)坐標(biāo)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)上的可能性應(yīng)該也是一樣的，我們最好應(yīng)該給出這個(gè)區(qū)域的x和y坐標(biāo)的最大值和最小值。于是我們可以分別以min x、max x、min y、max y、為目標(biāo)，以上面的區(qū)域限制條件為約束，求出x和y坐標(biāo)的最大值和最小值。,以min x為例，相應(yīng)的LINGO程序?yàn)椋?MODEL: Ti

8、tle 飛機(jī)定位模型2; SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS,DATA: x, y, cita, sigma = 74613932.813470.0140 6293750.787140.0105 15712595.393070.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155987864.32.0; ENDDATA ! XX,YY表示飛機(jī)坐標(biāo); min=xx; for(VOR: (xx-x)/(yy-y) tan(cita - sigma) ); for(VOR: (xx-x)/(yy-y) sqrt(sqr(xx-x4)+sqr(yy

9、-y4)) ; END,用LINGO求解上述模型，LINGO系統(tǒng)返回的信息是這個(gè)模型沒有可行解。其實(shí)這顯然是一個(gè)不正確的信息，可能只是由于求解空間太大，LINGO沒有找到可行解。其實(shí)，我們可以想象這個(gè)問題的可行解大致就該在模型1中得到的最優(yōu)解附近，因此可以把這個(gè)解作為初始值告訴LINGO。例如，在上面程序中增加以下三行：,INIT: xx, yy = 980.6926, 731.5666; ENDINIT,此時(shí)求解，馬上就得到XX的最小值為974.8424。類似地（只需要換換目標(biāo)函數(shù)就可以了），可得到XX的最大值為982.2129，YY的最小值為717.1587，YY的最大值為733.1944

10、。 因此，最后得到的解是一個(gè)比較大的矩形區(qū)域，大致為975，982717，733。,模型3及求解,模型2得到的只是一個(gè)很大的矩形區(qū)域，仍不能令人滿意。實(shí)際上，模型2中假設(shè)設(shè)備的測(cè)量誤差是均勻分布的，這是很不合理的。一般來說，在多次測(cè)量中，應(yīng)該假設(shè)設(shè)備的測(cè)量誤差是正態(tài)分布的，而且均值為0。本例中給出的精度i可以認(rèn)為是測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(也可以是與標(biāo)準(zhǔn)差成比例的一個(gè)量，如標(biāo)準(zhǔn)差的3倍或6倍等)。 在這種理解下，用各自的誤差限i對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行無量綱化(也可以看成是一種加權(quán)法)處理是合理的，即求解如下的無約束優(yōu)化問題更合理：,其中,i=1, 2, 3,,由于目標(biāo)函數(shù)是平方和的形式，因此這是一個(gè)非

11、線性最小二乘擬合問題。相應(yīng)的LINGO程序?yàn)?仍然將迭代初值告訴LINGO)：,MODEL: TITLE 飛機(jī)定位模型3; SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS DATA: x, y, cita, sigma = 74613932.813470.0140 6293750.787140.0105 15712595.393070.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155987864.3 2.0; ENDDATA INIT: xx, yy = 980.6926, 731.5666; ENDINIT,! XX,YY表示飛機(jī)坐標(biāo); !min

12、 = sum(VOR: sqr(((xx-x)/(yy-y) - tan(cita))/sigma) ) + sqr((d4 - sqrt(sqr(xx-x4)+sqr(yy-y4)))/sigma4 ); min = sum(VOR: (((xx-x)/(yy-y) - tan(cita))/sigma)2 ) + ((d4 - ((xx-x4)2+(yy-y4)2).5 )/sigma4 )2; END,Global optimal solution found. Objective value: 2.600539 Model Title: 飛機(jī)定位模型3 Variable Value Reduced Cost XX 980.2106 0.000000 YY 727.3056 0.000000,計(jì)算結(jié)果為：,即飛機(jī)坐標(biāo)為(980.21, 727.31)，這個(gè)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值大約為2.6。,這個(gè)誤差為什么比模型1的大很多？這是因?yàn)槟Ｐ?中使用的是絕對(duì)誤差，而這里使用的是相對(duì)于精度i的誤差。分母i很小，所以相對(duì)誤差比絕對(duì)誤差大，這是可以理解的。其實(shí)，可以認(rèn)為此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)是四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的誤差平方和，只要在4以內(nèi)都是合理的。,