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1、2023屆一輪復習時作業(yè)65 二項式定理
一、選擇題
1. x?2y6 的展開式中，x2y4 的系數為 ??
A. 60 B. ?60 C. 240 D. ?240
2. 在 x1+x6 的展開式中，含 x3 項的系數為 ??
A. 30 B. 20 C. 15 D. 10
3. 已知 1+ax?1+x5 的展開式中 x2 的系數為 5，則 a= ??
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. ?1
4. 若 1+x1?2x7=a0+a1x+a2x2+?+a8x8，則 a1+a2+?+a7 的值是 ??
A. ?2 B. ?3 C.
2、125 D. ?131
二、填空題
5. 在 1+x7 的二項展開式中，x2 項的系數為 ?（結果用數值表示）．
6. x+1x8 的展開式中含 x2 的項的系數是 ?．
7. 若 x+12xnn≥4,n∈N* 的二項展開式中前三項的系數依次成等差數列，則 n= ?．
8. 在 2x?1x9 的展開式中，各項系數之和為 ?．
9. x+a10 的展開式中，x7 的系數為 15，則 a= ?．（用數
3、字填寫答案）
10. 在 a+bn 的二項展開式中，若奇數項的二項式系數的和為 128，則二項式系數的最大值為 ?．（結果用數字作答）
11. 在 3x?2xn 的二項展開式中，所有項的二項式系數之和為 256，則常數項等于 ?．
12. 若將函數 fx=x5 表示為 fx=a0+a11+x+a21+x2+?+a51+x5，其中 a0，a1，a2，?，a5 為實數，則 a3= ?．
13. 若 3x2?12x3n 的展開式中含有常數項，則當正整數 n 取得最小值時，常數
4、項的值為 ?．
14. 若二項式 2x+ax7 的展開式中一次項的系數是 ?70，則 limn→∞a+a2+a3+?+an= ? .
三、解答題
15. 求 x?1x6 的展開式中的常數項．
16. 已知在 1?2xn 的展開式中，所有項的二項式系數之和為 128．求：
（1）展開式中的有理項；
（2）展開式中所有項的系數的絕對值之和．
17. 已知 x+2x2n 的展開式中，只有第六項的二項式系數最大．
（1）求該展開式中的常數項；
（2）求展開式中系數最大的項為第幾項．
5、
18. 設 m,n∈N，fx=1+xm+1+xn．
（1）當 m=n=7 時，fx=a7x7+a6x6+?+a1x+a0，求 a0+a2+a4+a6 的值；
（2）若 fx 展開式中 x 的系數是 19，當 m，n 變化時，求 x2 系數的最小值．
答案
1. C
【解析】x?2y6 的展開式中第 r+1 項為 C6rx6?r?2yr，
令 r=4，可得 x2y4 的系數為 C64?24=240．
2. C
【解析】因為 1+x6 的展開式的通項為 Tr+1=C6r?xr，所以 x1+x6 的展開式中含 x3 項的系數為 C62．
3. D
【解析】展開式中
6、含 x2 的系數為 C52+aC51，解得 a=?1，故選D．
4. C
【解析】令 x=1，則 a0+a1+a2+?+a8=?2．
又因為 1?2x7 展開式的通項為 Tr+1=C7r?1r?2rxr，
所以 a0=C70?1020=1，a8=C77?1727=?128，
所以 a1+a2+?+a7=125．
5. 21
6. 56
7. 8
【解析】x+12xnn≥4,n∈N* 的二項展開式中前三項的系數依次為：1，12n，122Cn2，
由于此三個數成等差數列，
所以 2×12n=1+122Cn2，
化為：n2?9n+8=0，解得 n=8或1（舍去
7、）．
8. 1
9. 12
10. 70
11. 112
【解析】由二項式定理得，所有項的二次式系數之和為 2n，即 2n=256，所以 n=8，又二項展開式的通項為 Tr+1=C8r3x8?r?2xr=?2rC8rx83?43r，令 83?43r=0，所以 r=2，所以 T3=112．
12. 10
【解析】因為 fx=x5=1+x?15，
所以 a3=C52?12=10．
13. 1352
【解析】3x2?12x3n 展開式的通項公式為 Tr+1=Cnr?3x2n?r??12x3r=?12r?3n?r?Cnr?x2n?5r，
令 2n?5r=0，且 n∈N
8、*，r≥0，
解得 n=5，r=2 時滿足題意，
此時常數項為 ?122?35?2?C52=1352．
14. ?13
15. 由排列組合的知識可知 x?1x6 的展開式中的常數項為 C62x4?1x2=15．
16. （1） 根據題意，2n=128，得 n=7．
展開式的通項為 Tr+1=C7r2rxr2，r=0,1,2,?,7．
于是當 r=0,2,4,6 時，對應項為有理項，
即有理項為 T1=C7020x0=1，T3=C7222x=84x．T5=C7424x2=560x2，T7=C7626x3=448x3．
??????（2） 1?2x7 展開式中所有項的
9、系數的絕對值之和，
即為 1+2x7 展開式中各項系數之和．
在 1+2x7 中，令 x=1 得展開式中所有項的系數和為 1+27=37=2187．
所以 1?2x7 展開式中所有項的系數和為 2187．
17. （1） 由題意知 n2+1=6，
所以 n=10．
Tr+1=C10r2rx10?5r2（0≤r≤10，且 r∈N*），
所以當 r=2 時為常數項，T3=C10222=180．
??????（2） 設第 r+1 項系數最大，則 C1022r≥C10r?12r?1,C10r2r≥C10r+12r+1.
即 2r≥111?r,110?r≥2r+1,
解得 193≤r≤223．
因為 r∈N*，
所以 r=7，即第 8 項系數最大．
18. （1） 賦值法：分別令 x=1，x=?1，
得 a0+a2+a4+a6=128．
??????（2） m+n=19，x2 的系數為：
Cm2+Cn2=12mm?1+12nn?1=12m+n2?2mn?m+n=171?mn=171?19?nn=n?1922+3234.
所以，當 n=10 或 n=9 時，fx 展開式中 x2 的系數最小，是 81．
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2023屆一輪復習課時作業(yè)65 二項式定理（含解析）
