2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類(lèi)匯編 選修4系列(含解析)
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1、 選修4系列 1.(2012·北京高考卷·T5·5分) 如圖. ∠ACB=90o,CD⊥AB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E.則( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 【答案】A 【解析】在中,∠ACB=90o,CD⊥AB于點(diǎn)D,所以,由切割線定理的,所以CE·CB=AD·DB。 2.(2012·湖北高考卷·T15·4分)(選修4-1:幾何證明選講) 如圖,點(diǎn)D在的弦AB上移動(dòng),,連接OD,過(guò)點(diǎn)D 作的垂線交于點(diǎn)C,則CD的最大值為
2、 . C B A D O . 第15題圖 【答案】2 【解析】(由于因此,線段長(zhǎng)為定值, 即需求解線段長(zhǎng)度的最小值,根據(jù)弦中點(diǎn)到圓心的距離最短,此 時(shí)為的中點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)重合,因此. 3.(2012·湖南高考卷·T9·4分) 在直角坐標(biāo)系xOy 中,已知曲線: (t為參數(shù))與曲線 :(為參數(shù),) 有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上,則. 【答案】 【解析】曲線:直角坐標(biāo)方程為,與軸交點(diǎn)為; 曲線 :直角坐標(biāo)方程為,其與軸交點(diǎn)為, 由,曲線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上,知. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法等.曲線與曲線的參數(shù)
3、方程分別等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,找出與軸交點(diǎn),即可求得. 4.(2012·新課標(biāo)卷·T22·10分)選修4-1:幾何證明選講 如圖,分別為邊的中點(diǎn),直線交 的外接圓于兩點(diǎn),若,證明: (1); (2) 【答案】⑴, (2) 5. (2012·新課標(biāo)卷·T23·10分) 選修4—4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的參數(shù)方程是,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸 為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的坐標(biāo)系方程是,正方形的頂點(diǎn)都在上, 且依逆時(shí)針次序排列,點(diǎn)的極坐標(biāo)為 (1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)設(shè)為上任意一點(diǎn),求的取
4、值范圍. 【答案】 (1)點(diǎn)的極坐標(biāo)為 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (2)設(shè);則 6. (2012·新課標(biāo)卷·T24·10分) 選修:不等式選講 已知函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集; (2)若的解集包含,求的取值范圍. 【答案】(1)當(dāng)時(shí), 或或 或 (2)原命題在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 7.(2012陜西高考卷·T15·4分) A.(不等式選做題)若存在實(shí)數(shù)使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】.
5、 【解析】不等式可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)1的距離之和小于等于3,因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)1的距離之和最小時(shí)即是在點(diǎn)和點(diǎn)1之間時(shí),此時(shí)距離和為,要使不等式有解,則,解得. 8. (2012陜西高考卷·T15·4分)(幾何證明選做題)如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,,垂足為F,若,,則 . 【答案】5. 【解析】.連接AD,則∽,, , 又∽,,即. 9. (2012陜西高考卷·T15·4分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)直線與圓相交的弦長(zhǎng)為 . 【答案】. 【解析】直線與圓的普通方程為,圓心到直線的距離為,所以弦長(zhǎng)為.
6、10.(2012上海高考卷·T3·4分)函數(shù)的值域是 。 【答案】 【解析】函數(shù),因?yàn)椋?,,即函?shù)的值域?yàn)椤? 11.(2012上海高考卷·T10·4分) 如圖,在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)的直線與極軸的夾角, 若將的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成的形式,則 。 【答案】 【解析】設(shè)直線上的任一點(diǎn)為P,因?yàn)?所以 ,根據(jù)正弦定理得,即,即。 12.(2012江西高考卷·T15·4分) (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立積坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)__________。 【命題立
7、意】本題考查參數(shù)方程,考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化。 【解析】因?yàn)?,所以代入直角坐?biāo)方程整理得,所以,即極坐標(biāo)方程為。 【答案】 13.(2012遼寧高考卷·T22·10分) 選修41:幾何證明選講 如圖,⊙O和⊙相交于兩點(diǎn),過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E。證明 (Ⅰ); (Ⅱ) 。 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的基本性質(zhì),等弧所對(duì)的圓周角相等,同時(shí)結(jié)合三角形相似這一知識(shí)點(diǎn)考查.本題屬于選講部分,涉及到圓的性質(zhì)的運(yùn)用,考查的主要思想方法為等量代換法,屬于中低檔題,難度較小,從這幾年的選講部分命題趨勢(shì)看,考
8、查圓的基本性質(zhì)的題目居多,在練習(xí)時(shí),要有所側(cè)重. 14.(2012·遼寧高考卷·T23·10分) 選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)中,圓,圓。 (Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程,并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示); (Ⅱ)求出的公共弦的參數(shù)方程。 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程、普通方程與參數(shù)方程的互化、極坐標(biāo)系的組成.本題要注意圓的圓心為半徑為,圓的圓心為半徑為,從而寫(xiě)出它們的極坐標(biāo)方程;對(duì)于兩圓的公共弦,可以先求出其代數(shù)形式,然后化成參數(shù)形式,也可以直接根據(jù)直線的參數(shù)形式寫(xiě)出。
9、對(duì)于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的考查,主要集中在常見(jiàn)曲線的考查上,題目以中低檔題為主. 15. (2012·遼寧高考卷·T24·10分)選修45:不等式選講 已知,不等式的解集為。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若恒成立,求k的取值范圍。 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)、絕對(duì)值不等式及其運(yùn)用,考查分類(lèi)討論思想在解題中的靈活運(yùn)用,第(Ⅰ)問(wèn),要真對(duì)的取值情況進(jìn)行討論,第(Ⅱ)問(wèn)要真對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論從而用分段函數(shù)表示,進(jìn)而求出k的取值范圍。本題屬于中檔題,難度適中.平時(shí)復(fù)習(xí)中,要切實(shí)注意絕對(duì)值不等式的性質(zhì)與其靈活運(yùn)用。 16.(2012·江西高考卷·T1
10、6·4分)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集為_(kāi)__________。 【答案】 【命題立意】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。 【解析】原不等式等價(jià)為,方法 (1)討論: ①當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)為,即,, 此時(shí) ; ②當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)為,即,恒成立, 此時(shí) ; ③當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)為,即,, 此時(shí) , 綜上不等式的解為,所以不等式的解集為。 方法(2)利用絕對(duì)值的幾何意義,不等式的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和小于等于3的解。當(dāng)或時(shí)有,所以的解為,所以不等式的解集為。 17.(2012·湖南高
11、考卷·T10·4分)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集為_(kāi)______. 【答案】 【解析】令,則由得的解集為. 【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式解法的關(guān)鍵步驟是去絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式(組). 18.(2012湖南高考卷·T11·4分)如下圖所示,過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O相交于A,B兩點(diǎn).若PA=1,AB=2,PO=3,則圓O的半徑等于_______. 【答案】 【解析】設(shè)交圓O于C,D,如圖,設(shè)圓的半徑為R,由割線定理知 【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線定理,考查數(shù)形結(jié)合思想,由切割線定理知,從而求得圓的半徑. 19.(2012·湖北高考卷·T16·4分)(選修4-4:坐標(biāo)系與參
12、數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系. 已知射線與曲線(t為參數(shù)),相交于A,B兩點(diǎn),則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 . 【答案】 【解析】在直角坐標(biāo)系下的一般方程為,將參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為表示一條拋物線,聯(lián)立上面兩個(gè)方程消去有,設(shè)兩點(diǎn)及其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,則有韋達(dá)定理,又由于點(diǎn)點(diǎn)在直線上,因此的中點(diǎn). 20.(2012北京高考卷·T9·4分) 直線為參數(shù))與曲線為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。 【答案】2 【解析】直線的普通方程,圓的普通方程為,可以直線圓相交,故有2個(gè)交點(diǎn)。 21.(20
13、12廣東高考卷·T9·4分)不等式|x+2|-|x|≤1的解集為_(kāi)____. 【答案】 【解析】,當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),得;當(dāng)時(shí),恒成立,故不等式的解集為. 22. (2012廣東高考卷·T15·4分)(幾何證明選講選做題)如圖所示,圓O的半徑為1,A、B、C是圓周上的三點(diǎn),滿(mǎn)足∠ABC=30°,過(guò)點(diǎn)A做圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P, 則PA=_____________. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何證明選講內(nèi)容與余弦定理,意在考查學(xué)生的思維能力、運(yùn)算求解能力. 【答案】 【解析】法一:連接OA得∠AOP=,所以O(shè)P=2,PC=1, 所以,所以。 法二:延長(zhǎng)PO交圓于點(diǎn)D,
14、連接AD、OA,則,因?yàn)镺A=OD,所以,又因?yàn)?所以,所以PA=AD,在中,由余弦定理得,,故. 23.(2012·安徽高考卷·T13· 4分)在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線的距離是 【答案】 【命題立意】本題考查極坐標(biāo)中的點(diǎn)與直線的距離。 【解析】圓的圓心, 直線;點(diǎn)到直線的距離是. 24.(2012·天津高考卷·T12·4分)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),其中p>0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為. 過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作的垂線,垂足為E. 若|EF|=|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則p = _________. 【答案】 2 【解析】消去參數(shù)得拋物線方程為,準(zhǔn)線方程為,因M為拋物線上一
15、點(diǎn),所以有,又,所以三角形為等邊三角形,則,解得。 25.(2012天津高考卷·T13·4分)如圖,已知AB和AC是圓的兩條弦,過(guò)點(diǎn)B作 圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D. 過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,F(xiàn)B=1,EF=,則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)___________. 【答案】 【解析】如圖連結(jié)BC,BE,則∠1=∠2,∠2=∠A ,又∠B=∠B,∽,,代入數(shù)值得BC=2,AC=4,又由平行線等分線段定理得,解得CD=. 26.(2012·江蘇高考卷·T21·10分)[選修4 - 1:幾何證明選講] (10分)如圖,是圓的直徑,為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)
16、,連結(jié)并延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連結(jié). 求證:. 【答案】證明:連接。 ∵是圓的直徑,∴(直徑所對(duì)的圓周角是直角)。 ∴(垂直的定義)。 又∵,∴是線段的中垂線(線段的中垂線定義)。 ∴(線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)。 ∴(等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì))。 又∵為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn), ∴(同弧所對(duì)圓周角相等)。 ∴(等量代換)。 【考點(diǎn)】圓周角定理,線段垂直平分線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)。 【解析】要證,就得找一個(gè)中間量代換,一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角,相等;另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線,從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到
17、線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到。從而得證。本題還可連接,利用三角形中位線來(lái)求證。 27.(2012·福建高考卷·T21·7分)選修4-2:矩陣與變換 設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值. (Ⅱ)求A2的逆矩陣. 【答案】本題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想. 28. (2012·福建高考卷·T22·7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為幾點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線上兩點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為(2,0),,
18、圓C的參數(shù)方程。 (Ⅰ)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn),求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)判斷直線與圓C的位置關(guān)系。 【答案】 29. (2012·福建高考卷·T23·7分)選修4-5:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1]. (Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若a,b,c∈R,且 【答案】本題主要考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想. 30.(2012·江蘇高考卷·T22·10分)[選修4 - 2:矩陣與變換] (10分)已知矩陣的逆矩陣,求矩陣的特征值. 【解】∵,∴。 ∵
19、,∴。 ∴矩陣的特征多項(xiàng)式為。 令,解得矩陣的特征值。 【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算,矩陣的特征值。 【解析】由矩陣的逆矩陣,根據(jù)定義可求出矩陣,從而求出矩陣的特征值。 31. (2012·江蘇高考卷·T23·10分)[選修4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (10分)在極坐標(biāo)中,已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),圓心為直線與極軸的交點(diǎn),求圓的極坐標(biāo)方程. 【解】 ∵圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn), ∴在中令,得。 ∴圓的圓心坐標(biāo)為(1,0)。 ∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn), ∴圓的半徑為。 ∴圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)?!鄨A的極坐標(biāo)方程為。 【考點(diǎn)】直線和圓的極坐標(biāo)方程。 【解析】根據(jù)圓圓心為直線與極軸
20、的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo);根據(jù)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)求出圓的半徑。從而得到圓的極坐標(biāo)方程。 32. (2012·江蘇高考卷·T24·10分)[選修4 - 5:不等式選講] (10分)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足:求證:. 【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)。 【解析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證。 【證明】 ∵, 由題設(shè)∴?!?。 33.(2011年福建)本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個(gè)選考題,每題7分,請(qǐng)考生任選2題做答,滿(mǎn)分14分,如果多做,則按所做的前兩題計(jì)分,做答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑,并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。 (1)(本小題滿(mǎn)分7分)選修4-2:矩陣與
21、變換 設(shè)矩陣(其中a>0,b>0). (I)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1; (II)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C’:,求a,b的值. (2)(本小題滿(mǎn)分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直接坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為 . (I)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系; (II)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值. (3)(本小題滿(mǎn)分7分)選修4-5:不等式選講 設(shè)
22、不等式的解集為M. (I)求集合M; (II)若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大?。? (1)選修4—2:矩陣與變換 本小題主要考查矩陣與交換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿(mǎn)分7分。 解:(I)設(shè)矩陣M的逆矩陣,則 又,所以, 所以 故所求的逆矩陣 (II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn), 它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn), 則 又點(diǎn)在曲線上, 所以,, 則為曲線C的方程, 又已知曲線C的方程為 又 (2)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)
23、化思想。滿(mǎn)分7分。 解:(I)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo),得P(0,4)。 因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿(mǎn)足直線的方程, 所以點(diǎn)P在直線上, (II)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上,故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為, 從而點(diǎn)Q到直線的距離為 , 由此得,當(dāng)時(shí),d取得最小值,且最小值為 (3)選修4—5:不等式選講 本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿(mǎn)分7分。 解:(I)由 所以 (II)由(I)和, 所以 故 34.(2011年遼寧)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正
24、半軸為極軸的極坐標(biāo) 系中,射線l:θ=與C1,C2各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)=0時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)=時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)重合. (I)分別說(shuō)明C1,C2是什么曲線,并求出a與b的值; (II)設(shè)當(dāng)=時(shí),l與C1,C2的交點(diǎn)分別為A1,B1,當(dāng)=時(shí),l與C1,C2的交點(diǎn)為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積. 解: (I)C1是圓,C2是橢圓. 當(dāng)時(shí),射線l與C1,C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0),因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2,所以a=3. 當(dāng)時(shí),射線l與C1,C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0,b),因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合,所以b=1. (II
25、)C1,C2的普通方程分別為 當(dāng)時(shí),射線l與C1交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為,與C2交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí),射線l與C1,C2的兩個(gè)交點(diǎn)A2,B2分別與A1,B1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),因此, 四邊形A1A2B2B1為梯形. 故四邊形A1A2B2B1的面積為 35.(2011年遼寧)選修4-5:不等式選講 已知函數(shù)=|x-2|x-5|. (I)證明:≤≤3; (II)求不等式≥x2x+15的解集. 解: (I)因?yàn)镋C=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA, 所以CD//A
26、B. (II)由(I)知,AE=BE,因?yàn)镋F=FG,故∠EFD=∠EGC 從而∠FED=∠GEC. 連結(jié)AF,BG,則△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓 解: (I) 當(dāng) 所以 (II)由(I)可知, 當(dāng)?shù)慕饧癁榭占? 當(dāng); 當(dāng). 綜上,不等式 …………10分 36.(2011年全國(guó)新課標(biāo))選修4-1:幾何證明選講 如圖,D,E分別為的邊AB,
27、AC上的點(diǎn),且不與的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根. (I)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓; (II)若,且求C,B,D,E所在圓的半徑. 解: (I)連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中, AD×AB=mn=AE×AC, 即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓. (Ⅱ)m=4, n=6時(shí),
28、方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH.因?yàn)镃,B,D,E四點(diǎn)共圓,所以C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH. 由于∠A=900,故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= (12-2)=5. 故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5 37.(2011年全國(guó)新課標(biāo))選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),M為上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿(mǎn)足,點(diǎn)P的軌跡為曲線. (I)求的方程; (II)在以O(shè)為極點(diǎn),x
29、軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|. 解: (I)設(shè)P(x,y),則由條件知M().由于M點(diǎn)在C1上,所以 即 從而的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) (Ⅱ)曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為. 射線與的交點(diǎn)的極徑為, 射線與的交點(diǎn)的極徑為. 所以. 38.(2011年全國(guó)新課標(biāo))選修4-5:不等式選講 設(shè)函數(shù),其中. (I)當(dāng)a=1時(shí),求不等式的解集. (II)若不等式的解集為{x|,求a的值. 解: (Ⅰ)當(dāng)時(shí),可化為 . 由此可得 或. 故不等式的解集為 或. (Ⅱ) 由得 此不等式化為不等式組 或 即 或 因?yàn)?,所以不等式組的解集為 由題設(shè)可得= ,故
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