江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 二次函數(shù)與方程、不等式

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1、江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 二次函數(shù)與方程、不等式 基礎(chǔ)知識(shí)： 一、二次函數(shù) 1． 定義：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù). 2． 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) a＞0時(shí)，開口向上 ① 開口方向 a＜0時(shí)，開口向下 ② 對(duì)稱軸方程 x＝－ 自然定義域：R ③ 定義域 指定定義域：D a＞0 y 0 x x 0 y a＜0 3． 圖象 x＝－

2、 x＝－ 4． 二次函數(shù)的解析式 ① 一般式：y＝ax2＋bx＋c ② 頂點(diǎn)式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn) ③ 交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩實(shí)根 二、二次方程 1． 當(dāng)f(x)＝ax2＋bx＋c中，f(x)＝0時(shí)，即得到二次方程 ax2＋bx＋c＝0 其解的幾何意義即為二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 2． 根的判別式△＝b2－4ac △＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； △＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相

3、等的實(shí)數(shù)根； △＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛的虛數(shù)根 3． 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理) x1＋x2＝－，x1x2＝ 4． 二次方程根的分布 根的位置<=>圖象位置<=>等價(jià)條件 ax2＋bx＋c＝0(a＞0) 若有二根x1＞1，x2＜1 則f⑴＜0 若有二根x1，x2∈(2，3) 則 f⑵＞0 f⑶＞0 △≥0 －∈(2，3) 三、一元二次不等式 y 0 x y 0 x a＞0 y 0 x x0 x1 x2 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)的解集，即函數(shù)

4、f(x)＝ax2＋bx＋c的自變量的取值范圍，使其函數(shù)值f(x)＞0(或＜0)的自變量的取值范圍. △＞0 △＝0 △＜0 例題： y 0 x 1． 選擇填空題 ① f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有 f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷ C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴ 解：由題意，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且圖象開口向上，畫出示意圖，由圖象知f⑷＞f⑴＞f⑵，選A

5、x＝2 ② 已知y＝log(x2－2x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( ) A.a＞1 B.－1＜a＜1 C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1 解：由函數(shù)的單調(diào)性的定義知： x在(－∞，0)上增大時(shí)，函數(shù)值y隨之增大，故有以下過程： x: －∞0 u＝x2－2x:＋∞0 故必有0＜a2＜1 ∴ －1＜a＜1且a≠0.選B ③ 已知函數(shù)y＝log(x2－6x＋7)，則y( ) A.有最大值沒有最小值 B.有最小值沒有最大值 C.有最大值也有最小值 D.沒有最大值也沒有最小值 解：∵ u＝x2－6x＋7

6、∈[－2，＋∞) 而定義域要求u＞0，即u∈(0，＋∞) ∴ b＝log0.5u ∴ b∈(－∞，＋∞).選D 2． 填空題 ①方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______. 解：令y1＝x2－2|x|，y2＝a 則y1＝，其函數(shù)圖象如下： 思考：a為何(范圍)值時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根？有四個(gè)實(shí)數(shù)根？有三個(gè)實(shí)數(shù)根？ ②關(guān)于x的方程x2－2ax＋9＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α、β，則(α－1)2＋(β－1)2的最小值是_______________. 解：方程有實(shí)數(shù)根， 故△＝4a2－4×9≥0

7、 ∴ a≤－3或a≥3 又α＋β＝2a，αβ＝9 ∴ y＝(α－1)2＋(β－1)2 ＝(α＋β)2－2(α＋β)－2αβ＋2 ＝4a2－4a－16 ∵ a≤－3或a≥3 ∴ y≥8(a＝3時(shí)取等號(hào)) ∴ ymin＝8 3． 已知函數(shù)y＝x2－4ax＋2a＋30的圖象與x軸無交點(diǎn)，求關(guān)于x的方程 ＝|a－1|＋1的根的范圍. 分析：由于圖象與x軸沒有交點(diǎn)， 所以△＜0，解得a的取值范圍 又對(duì)于每一個(gè)a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是變化的，可知，x是a的二次函數(shù)，又再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在有限制的區(qū)間內(nèi)的值域問題. 解：∵ y＝x2

8、－4ax＋2a＋30的圖象與x軸無交點(diǎn)，所以△＝(－4a)2－4(2a＋30)＜0 解得：－2.5＜a＜3 ⑴當(dāng)a∈(－2.5，1]時(shí)，方程化為 x＝(a＋3)(2－a) ＝－a2－a＋6∈(] ⑵當(dāng)a∈(1，3)時(shí)，方程化為 x＝(a＋3)a＝a2＋3a∈(4，18) 綜上所述：x∈(，18) 4． 設(shè)a，b為實(shí)常數(shù)，k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的圖象與x軸都交于點(diǎn)A(1，0). ① 求a、b的值； ② 若函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，當(dāng)k變化時(shí)，求|AB|的最大值. 分析：由

9、A在曲線上，得k的多項(xiàng)式對(duì)k恒成立，即可求的a，b的值. 解：⑴由已知條件，點(diǎn)A(1，0)在函數(shù)圖象上， 故(k2＋k＋1)－2(a＋k)2＋(k2＋3ak＋b)＝0 整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a2)＝0 ∵ 對(duì)k∈R，上式恒成立 ∴ 1－a＝0且b＋1－2a2＝0 從而a＝1，b＝1 y＝(k2＋k＋1)x2－2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1) ⑵設(shè)B(α，0)，則|AB|＝|α－1| ∵(k2＋k＋1)x2-2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)＝0 的兩個(gè)根為1、α，由韋達(dá)定理 1?α＝ 整理得：(1－α)k2＋(3－α)k＋(1－α)＝0 α＝1時(shí)，得

10、2k＝0 T k＝0 α≠1時(shí)，∵ k∈R，∴ △≥0 即(3－α)2－4(1－α)2≥0 得：－1≤α≤且α≠1 綜合得：－1≤α≤ ∴ －2≤α－1≤ ∴ |AB|＝|α－1|∈[0，2] 即|AB|的最大值為2. 5． 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足 a2－bc－8a＋7＝0 …………① b2＋c2＋bc－6a＋6＝0 …………② 求a的取值范圍. 分析：如何將含有三個(gè)變量的兩個(gè)方程組成的方程組問題，轉(zhuǎn)化為只含有a的不等式，是解決本題的關(guān)鍵，仔細(xì)分析觀察方程組的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)可以利用a來表示bc及b＋c，從而用韋達(dá)

11、定理構(gòu)造出a為變量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a2－8a＋7 …………③ 由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④ 由③④得b，c為方程 x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 由于b，c∈R，所以△≥0 即：[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0 即：a2－10a＋9≤0 得：1≤a≤9 6． 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的兩個(gè)根x1、x2滿足 0＜x1＜x2＜. Ⅰ.當(dāng)x∈(

12、0，x1)時(shí)，證明x＜f(x)＜x1； Ⅱ.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝x0對(duì)稱，證明:x0＜. 分析：由于涉及方程根的問題，故需用韋達(dá)定理來分析和解決. 證明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x. 因?yàn)閤1、x2是方程f(x)－x＝0的根，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2) 當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，由于x1＜x2， x－x1＜0，x－x2＜0 得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0 即x＜f(x). 而x1－f(x)＝x1－[x－F(x)] ＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2) ＝(x1－x)[1－

13、a(x－x2)] 因?yàn)?＜x＜x1＜x2＜ 所以x1－x＞0， 1－a(x－x2)＞1－a·＞0 得 x1－f(x)＞0 即 f(x)＜x1. Ⅱ.依題意知x0＝－. 因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的根， 所以 x1＋x2＝－ x0＝－ 因?yàn)閍x2＜1，所以x0＜ 7． 若關(guān)于x的二次方程7x2－(p＋13)x＋p2－p－2＝0的兩根α、β滿足0＜α＜1＜β＜2，求實(shí)數(shù)p的取值范圍. 解：設(shè)f(x)＝7x2－(p＋13)x＋p2－p－2 根據(jù)題意得： f(0)＞0 f⑴＜0 f⑵＞0 即 p2－p－2＞0 p2－2p－8＜0 p2－3p＞0 解得：p∈(－2，－1)∪(3，4)