2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 圓錐曲線與方程（含解析）

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1、圓錐曲線與方程 1.（2012·浙江高考卷·T8·5分）如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C：（a,b＞0）的在左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M。若|MF2|=|F1F2| ，則C的離心率是 A. B C. D. 【解析】如圖：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣． 直線PQ為：y＝(x＋c)，兩條漸近線為：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直線MN為：y－＝﹣(x－)， 令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝． 【答

2、案】B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，求離心率一般要先列出關(guān)于 2.（2012·四川高考卷·T8·5分）已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（ ） A、 B、 C、 D、 [答案]B [解析]設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），準(zhǔn)線方程為x=, [點(diǎn)評(píng)]本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離). 3.（2012·山東高考卷·T11·

3、5分）已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) 　(B) 　　(C)　　(D) 【答案】D 【解析】雙曲線的一條漸近線為， 即，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線焦點(diǎn)到漸近線距離為，故而拋物線方程為. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的性質(zhì)，點(diǎn)的直線的距離公式等解析幾何知識(shí)，屬于知識(shí)的綜合考察.預(yù)測(cè)明年結(jié)合拋物線的概念與性質(zhì)考查. 4.（2012·山東高考卷·T10·5分）已知橢圓C：的離心率為，雙曲線x2-y2＝1的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓c的方程為 【答案】D 【解析】雙曲線x2-y2＝

4、1的漸近線方程為，代入可得，則，又由可得，則，于是.橢圓方程為，答案應(yīng)選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考察了雙曲線與橢圓的基本性質(zhì),屬于運(yùn)算能力的考察,求圓錐曲線方程的基本方法之一就是待定系數(shù)法，就是根據(jù)已知條件得到圓錐曲線方程中系數(shù)的方程或者方程組，通過(guò)解方程或者方程組求得系數(shù)值． 5.（2012·新課標(biāo)卷·T4·5分）設(shè)是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則E的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】：C O F F P M 【解析】：由題意得（如圖所示）， 在直角中，， 又，且，

5、所以，故選C. 【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì)——離心率的計(jì)算，正確把握條件是解題的關(guān)鍵. 6.（2012·新課標(biāo)卷·T8·5分）等軸雙曲線 C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為 （A） （B） （C）4 （D）8 【答案】：C 【解析】：由題意得，設(shè)等軸雙曲線的方程為，又拋物線的準(zhǔn)線方程為. 代入雙曲線的方程得，所以， 解得，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故選C. 【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了等軸雙曲線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，計(jì)算相交弦長(zhǎng)，確定圓錐曲線的幾何性質(zhì).

6、7.（2012·湖南高考卷·T5·15分）已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為 A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.@] 【答案】A 【解析】設(shè)雙曲線C ：-=1的半焦距為，則. 又C 的漸近線為，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，，即. 又，，C的方程為-=1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運(yùn)算能力，是近年來(lái)?？碱}型. 8.（2011年四川）在拋物線上取橫坐標(biāo)為，的兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋

7、物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知的割線的坐標(biāo),設(shè)直線方程為 ，則 又 9.（2011年陜西）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 10.（2011年山東）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓 C:相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為 A． B． C． D． 【答案】A 11.（2011年全國(guó)新課標(biāo)）已知直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2

8、倍，C的離心率為 （A） （B） （C） 2 （D） 3 【答案】B 12.（2011年全國(guó)大綱）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．則= A． B． C． D． 【答案】D 13.（2011年江西）若曲線：與曲線：有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A．（，） B．（，0）∪（0，） C．[，] D．（，）∪（，+） 【答案】B 14.（2011年湖南）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為 A．4 B．3 C．2

9、D．1 【答案】C 15.（2012·四川高考卷·T15·4分）橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，的面積是____________。 [答案] [解析]根據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又 [點(diǎn)評(píng)]本題考查對(duì)橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回歸課本的新課標(biāo)理念. 16.（重慶理15）設(shè)圓C位于拋物線與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為__________ 【答案】 17.（全國(guó)新課標(biāo)理14）（14） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，

10、B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_________． 【答案】 18.（2011年安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)， 下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號(hào)）. ①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn) ②如果與都是無(wú)理數(shù)，則直線不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn) ③直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn) ④直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線 【答案】①，③，⑤ 19.（2012·浙江高考卷·T21·15分）如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2

11、，1)的距離為．不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分． (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程． 【解析】 (Ⅰ)由題：； (1) 左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：． (2) 由(1) (2)可解得：． ∴所求橢圓C的方程為：． (Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． ∵A，B在橢圓上， ∴． 設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)， 代入橢圓：． 顯然． ∴﹣＜m＜且m≠0． 由上又有：＝m，＝． ∴|AB|＝||＝＝．

12、 ∵點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離為：． ∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|， 當(dāng)|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)時(shí)，(SABP)max＝． 此時(shí)直線l的方程y＝﹣． 【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) y＝﹣． 【點(diǎn)評(píng)】該題綜合考察橢圓的概念標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和橢圓（曲線與方程）的，此類問(wèn)題解決的方法是相通的，注意學(xué)習(xí). 20.（2012·四川高考卷·T21·12分） 如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。 （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。 [解析]（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），顯然有x>0,. 當(dāng)∠MBA=9

13、0°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，, ±3） 當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)；x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有tan∠MBA=,即 化簡(jiǎn)得：3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過(guò)（2，,±3） 綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1） (II)由方程消去y，可得。（*） 由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內(nèi)，設(shè) 所以 解得，m>1,且m2 設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為，由有 所以 由m>1，且m2，有 所以的取值范圍是 [點(diǎn)評(píng)]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考察思維能力、運(yùn)算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。 21.（20

14、12·新課標(biāo)卷·T20·12分）設(shè)拋物線的交點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L(zhǎng)，A為C上的一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交L于B，D兩點(diǎn). （I）若的面積為，求P的值及圓F的方程； （II）若A，B,F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)m，n距離的比值. 【命題意圖】：本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線的距離. 【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了拋物線與圓的結(jié)合點(diǎn)，并且在第二問(wèn)中體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的深度思維有一定的考查. 22.（2012·湖南高考卷·T21·13分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1

15、的點(diǎn)均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值. （Ⅰ）求曲線C1的方程； （Ⅱ）設(shè)P(x0,y0)（y0≠±3）為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得 ， 易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是，所以 . 化簡(jiǎn)得曲線的方程為. 解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為. （

16、Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過(guò)P且與圓 相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為.于是 整理得 ① 設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故 ② 由得 ③ 設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以 ④ 同理可得 ⑤ 于是由②，④，⑤三式得 . 所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等

17、數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)用直接法或定義法求出曲線的方程；第二問(wèn)設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想. 23.（2012·山東高考卷·T21·13分） 如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8. (Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值. 【解析】(21)(I)……① 矩形ABCD面積為8，即……② 由①②解得：， ∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (II)， 設(shè)，則， 由得. . 當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.

18、 ①當(dāng)時(shí)，有， ， 其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值. ②由對(duì)稱性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值. ③當(dāng)時(shí)，，， 由此知，當(dāng)時(shí)，取得最大值. 綜上可知，當(dāng)和0時(shí)，取得最大值. 一是點(diǎn)明本題體現(xiàn)了今年考綱中的哪一點(diǎn)，二是本題對(duì)明年高考命題的指導(dǎo)意義. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法以及直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.解決圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問(wèn)題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截

19、距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況靈活處理．估計(jì)明年還會(huì)這樣考查. 24.（2011年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值； （2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； （3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力。 解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線PA平

20、分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo) 原點(diǎn)，所以 （2）直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 （3）解法一： 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二： 設(shè). 設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因?yàn)镃在直線AB上，所以 從而 因此 25.（2011年安徽）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程。 本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，

21、性質(zhì)與運(yùn)算，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng). 解：由知Q，M，P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè) ① 再設(shè) 解得 ② 將①式代入②式，消去，得 ③ 又點(diǎn)B在拋物線上，所以，再將③式代入，得 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為 26．（2011年北京） 已知橢圓.過(guò)點(diǎn)（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點(diǎn). （I）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值. 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 離心率為 （Ⅱ）由題意知，.

22、 當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為 此時(shí) 當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得 當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為 由 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則 又由l與圓 所以 由于當(dāng)時(shí)， 所以. 因?yàn)? 且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2. 27.（2011年福建）已知直線l：y=x+m，m∈R。 （I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程； （II）若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為，問(wèn)直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說(shuō)明理由。 本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸

23、與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。 解法一： （I）依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m） 因?yàn)?，所以? 解得m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2） 從而圓的半徑 故所求圓的方程為 （II）因?yàn)橹本€的方程為 所以直線的方程為 由 （1）當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C相切 （2）當(dāng)，那時(shí)，直線與拋物線C不相切。 綜上，當(dāng)m=1時(shí)，直線與拋物線C相切； 當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C不相切。 解法二： （I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為 依題意，所求圓與直線相切于點(diǎn)P（0，m）， 則 解得 所以所求圓的方程為 （II）同解法一。 28.（2011年廣東） 設(shè)圓C

24、與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。 （1）求C的圓心軌跡L的方程; （2）已知點(diǎn)M，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． （1）解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知 化簡(jiǎn)得L的方程為 （2）解：過(guò)M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得 解得 因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故 ，若P不在直線MF上，在中有 故只在T1點(diǎn)取得最大值2。 29.（2011年湖北） 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，并討論的形狀與值得關(guān)系； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)

25、，對(duì)應(yīng)的曲線為；對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問(wèn)：在撒謊個(gè)，是否存在點(diǎn)，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。 解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為， 當(dāng)時(shí)，由條件可得 即， 又的坐標(biāo)滿足 故依題意，曲線C的方程為 當(dāng)曲線C的方程為是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓； 當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓； 當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓； 當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。 （II）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C1的

26、方程為 當(dāng)時(shí)， C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 對(duì)于給定的， C1上存在點(diǎn)使得的充要條件是 ② ① 由①得由②得 當(dāng) 或時(shí)， 存在點(diǎn)N，使S=|m|a2； 當(dāng) 或時(shí)， 不存在滿足條件的點(diǎn)N， 當(dāng)時(shí)， 由， 可得 令， 則由， 從而， 于是由， 可得 綜上可得： 當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得 當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得 當(dāng)時(shí)，在C1上，不存在滿足條件的點(diǎn)N。 30.（2011年湖南） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）設(shè)C2與y軸的焦點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交

27、于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E． （i）證明：MD⊥ME; （ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問(wèn)：是否存在直線l,使得?請(qǐng)說(shuō)明理由。 解 ：（Ⅰ）由題意知 故C1，C2的方程分別為 （Ⅱ）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為. 由得 . 設(shè)是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. （ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 又直線MB的斜率為， 同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 于是 由得 解得 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 又直線ME

28、的斜率為，同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為 于是. 因此 由題意知， 又由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知， 故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為 31.（2011年遼寧） 如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D． （I）設(shè)，求與的比值； （II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說(shuō)明理由． 解：（I）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè) 設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 ……………

29、…4分 當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 ………………6分 （II）t=0時(shí)的l不符合題意.時(shí)，BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即 解得 因?yàn)? 所以當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO//AN； 當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO//AN. ………………12分 32.（2011年全國(guó)大綱） 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 （Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上． 解： （I）F（0，1），的方程為， 代入并化簡(jiǎn)得

30、 設(shè) 則 由題意得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P的坐標(biāo)為滿足方程 故點(diǎn)P在橢圓C上。 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直平分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點(diǎn)為。 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四點(diǎn)在以N為圓心，NA為半徑的圓上 33.（2011年全國(guó)新課標(biāo)） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知點(diǎn)A（0，-1），B點(diǎn)在直線上，M點(diǎn)滿足，，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．

31、（I）求C的方程； （II）P為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)P處的切線，求O點(diǎn)到距離的最小值． 解： (Ⅰ)設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1). 所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2). 再由題意可知（+）??=0， 即（-x，-4-2y）??(x，-2)=0. 所以曲線C的方程式為y=x-2. (Ⅱ)設(shè)P(x，y)為曲線C：y=x-2上一點(diǎn)，因?yàn)閥=x，所以的斜率為x 因此直線的方程為，即． 則O點(diǎn)到的距離.又，所以 當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到距離的最小值為2. 34.（2011年山東） 已知?jiǎng)又本€與橢圓C: 交于P、

32、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）證明和均為定值; （Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值； （Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱， 所以 因?yàn)樵跈E圓上， 因此 ① 又因?yàn)? 所以 ② 由①、②得 此時(shí) （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 由題意知m，將其代入，得 ， 其中 即 …………（*） 又 所以 因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為 所以 又 整理得且符合（*）式， 此時(shí) 綜上所述，結(jié)

33、論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)， 由（I）知 因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知 所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為 解法二： 因?yàn)? 所以 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得 證明：假設(shè)存在， 由（I）得 因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)， 而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)， 與

34、矛盾， 所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G. 35.（2011年陜西） 如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點(diǎn)，且 （Ⅰ）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程； （Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度 解：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）P的坐標(biāo)為（xp,yp） 由已知得 ∵P在圓上，?∴???，即C的方程為 （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為， 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為 將直線方程代入C的方程，得 即 ∴???

35、?∴???線段AB的長(zhǎng)度為 注：求AB長(zhǎng)度時(shí)，利用韋達(dá)定理或弦長(zhǎng)公式求得正確結(jié)果，同樣得分。 36.（2011年上海） 已知平面上的線段及點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)到線段的距離，記作。 （1）求點(diǎn)到線段的距離； （2）設(shè)是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積； （3）寫出到兩條線段距離相等的點(diǎn)的集合，其中 ， 是下列三組點(diǎn)中的一組。對(duì)于下列三組點(diǎn)只需選做一種，滿分分別是①2分，② 6分，③8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號(hào)較小的解答計(jì)分。 。 ② 。 ③ 。 解：⑴ 設(shè)是線段上一點(diǎn)，則 ，當(dāng)時(shí)，。 ⑵ 設(shè)線段的端點(diǎn)分別為，以直線為軸，的中

36、點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 則，點(diǎn)集由如下曲線圍成 ， 其面積為。 ⑶ ① 選擇， ② 選擇。 ③ 選擇。 37.（2011年四川） 橢圓有兩頂點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），過(guò)其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q． （I）當(dāng)|CD | = 時(shí)，求直線l的方程； （II）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率。 則 的方程為 38.（2011年天津）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)

37、點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題能力與運(yùn)算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得 即 整理得（舍）， 或所以 （II）解：由（I）知 可得橢圓方程為 直線PF2方程為 A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得 解得 得方程組的解 不妨設(shè) 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 由 于是 由 即，

38、化簡(jiǎn)得 將 所以 因此，點(diǎn)M的軌跡方程是 39.（2011年浙江） 已知拋物線:＝，圓:的圓心為點(diǎn)M （Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離； （Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB，求直線的方程 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 （I）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M（0，4）到準(zhǔn)線的距離是 （II）解：設(shè)， 則題意得， 設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線

39、方程為， 即 ① 則 即， 設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 將①代入 由于是此方程的根， 故，所以 由，得， 解得 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 所以直線的方程為 40.（2011年重慶）如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為． （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 解：（I）由 解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由 得 因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以 ， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為