2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 第二章數(shù)列（含解析）新人教版必修5

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1、數(shù)列 1.（2012·重慶高考卷·T1·5分）在等差數(shù)列中，，則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 [答案]B [解析]從 [點(diǎn)評(píng)]考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題. 2.（2012·四川高考卷·T12·5分）設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（ ） A、 B、 C、 D、 [答案]D [解析]∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列，且 ∴ ∴ 即 得 ∴ [點(diǎn)評(píng)]本題難度較大，綜合性很強(qiáng).突出考查了等

2、差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外，隱蔽性較強(qiáng)，需要考生具備一定的觀察能力. 3.（2012·安徽高考卷·T4·5分）公比為2的等比數(shù)列{} 的各項(xiàng)都是正數(shù)，且=16，則（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答案】B 【解析】利用等比數(shù)列性質(zhì).設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則，所以，故. 【技巧點(diǎn)撥】等比數(shù)列運(yùn)算是注意整體運(yùn)算和等比數(shù)列的運(yùn)用，這樣可以提高解題效率，同時(shí)還應(yīng)該注意運(yùn)用選擇題的題型特征，廣開思路采用多種方法和技巧，快速突破.

3、 3．（2011年四川）數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且． 若，，則 A．0 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【解析】由已知知由疊加法 4．（2011年四川）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則 A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由題意,在上， 5．（2011年上海）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長(zhǎng)為的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為 A．是等比數(shù)列。 B．或是等比數(shù)列。 C．和均是等比數(shù)列。 D．和均是等比數(shù)列，且公比相同

4、。 【答案】D 6．（2011年全國(guó)大綱）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，，則 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 7．（2011年江西） 已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：，且=1．那么= A．1 B．9 C．10 D．55 【答案】A 8．（2011年福建）已知函數(shù)f（x）=e+x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是

5、 A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④ 【答案】B 9.（2012·北京高考卷·T10·5分）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1= ，S2=a3，則a2=_________，Sn=_________________. [答案]1， [解析]本題考查等差數(shù)列的基本計(jì)算，難度不大，因?yàn)? ，所以 [點(diǎn)評(píng)]等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是必須要掌握的內(nèi)容，并會(huì)熟練應(yīng)用. 10．（2011年湖南）設(shè)是等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，且， 則= ． 【答案】25 11．（2011年重慶）在等差數(shù)列中，，則__________ 【答

6、案】74 12．（2011年北京）在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=-4，則公比q=______________；____________?！? 【答案】 13．（2011年安徽）已知的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的 等差數(shù)列，則的面積為_______________. 【答案】 14.（2012·四川高考卷·T20·12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。 （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出的最大值。 [解析]取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①，得 ③ （

7、1）若a2=0, 由①知a1=0, (2)若a2, ④ 由①④得： （2）當(dāng)a1>0時(shí),由（I）知， 當(dāng) , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以，an= 所以 令 所以，數(shù)列{bn}是以為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 則 b1>b2>b3>…>b7= 當(dāng)n≥8時(shí)，bn≤b8= 所以，n=7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為 T7= [點(diǎn)評(píng)]本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查. 第一，知識(shí)層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；第二，能力層面：考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力；第三，數(shù)學(xué)思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思

8、想. 15.（2012·湖南高考卷·T19·12分） 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… [來^&源:中教網(wǎng)@~%] （1） 若a1=1，a2=5，且對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式. （2） 證明：數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列. 【解析】 解（１）對(duì)任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以 　　　　　　　　　　　　

9、 即亦即 故數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列.于是 （Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有 由知，均大于０，于是 　　　　 　　　　 即＝＝，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. （２）充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列， 則 　　　， 于是得即 　　　 由有即，從而. 因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩

10、方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證. 16.（2012·重慶高考卷·T21·12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中. （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列； （II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件. [解析] （Ⅰ）證明： （II）證明：當(dāng)n=1或n=2時(shí)，易知成立， 當(dāng)時(shí)，成立； 當(dāng)時(shí)， ①當(dāng)時(shí)，上面不等式可化為 設(shè) ②當(dāng)時(shí)，，由已證結(jié)論得： 綜上所述，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2或時(shí)等號(hào)成立. [點(diǎn)評(píng)]考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等比數(shù)列的證明，求和公式及不等式的證明，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，以及對(duì)分類討論思想、函數(shù)思想等常用數(shù)學(xué)思

11、想方法的熟練程度，充分體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)性，難度很大，平時(shí)復(fù)習(xí)中不宜過多涉及. 17.（2012·安徽高考卷·T21·13分） 數(shù)列滿足：. （I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是； （II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 【解題指導(dǎo)】本題考查數(shù)列概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題的能力，推理論證和運(yùn)算求解的能力. 【解析】（I）必要條件 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列； 充分條件 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列. 得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是. （II）由（I）得：. ①當(dāng)時(shí)，，不合題意

12、； ②當(dāng)時(shí)，， ， . 當(dāng)時(shí)，與同號(hào)， 由， . 當(dāng)時(shí)，存在，使與異號(hào). 與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾，得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 【規(guī)律總結(jié)】安徽高考理科對(duì)數(shù)列的考查一般以等差等比數(shù)列求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和為主要形式，淡化遞推公式的運(yùn)用，有時(shí)也結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、不等式強(qiáng)化綜合性，增加難度，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題.十分注重推理能力的考察，但推理能力不再是數(shù)列遞推，而是常用邏輯中的充分必要條件，安徽高考已經(jīng)不止一次這樣考察了，2010年對(duì)數(shù)列的考查是這樣的，今年也是，這一點(diǎn)要引起我們的重視. 18．（2011年江蘇）設(shè)Ｍ部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)都

13、成立 （1）設(shè)的值； （2）設(shè)的通項(xiàng)公式 本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。 解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)， 即， 從而 所以的值為8。 （2）由題設(shè)知，當(dāng) ， 兩式相減得 所以當(dāng)成等差數(shù)列，且也成等差數(shù) 列 從而當(dāng)時(shí)， （*） 且， 即成等差數(shù)列， 從而， 故由（*）式知 當(dāng)時(shí)，設(shè) 當(dāng)，從而由（*）式知 故 從而，于是 因此，對(duì)任意都成立，又由可知， 解得 因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由

14、 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 19．（2011年安徽） 在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力. 解：（I）設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列，其中則 ① ② ①×②并利用 （II）由題意和（I）中計(jì)算結(jié)果，知 另一方面，利用 得 所以 20．（2011年北京） 若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=． （Ⅰ）寫出一個(gè)滿足，且

15、〉0的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011； （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列， 所以. 所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 ……

16、 a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證。 （Ⅲ）令 因?yàn)? …… 所以 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足， 當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An， 使得 21．（2011年福建） 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=。 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析

17、式。 本小題主要考查等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，滿分13分。 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3，所以A=3。 因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值， 所以 又 所以函數(shù)的解析式為 22．（2011年廣東） 設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n， 解： （1）由 令， 當(dāng) ①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng) （2）當(dāng)時(shí)，（欲證） ， 當(dāng) 綜上所述 23．（2011年湖北）

18、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，N*，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差數(shù)列，是判斷：對(duì)于任意的N*，且，，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論． 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。（滿分13分） 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí)， 數(shù)列為：a，0，…，0，…； 當(dāng)時(shí)，由已知（）， 于是由可得， 成等比數(shù)列， ， 綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （II）對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下：

19、 當(dāng)r=0時(shí)，由（I）知， 對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列， 當(dāng)，時(shí)， 若存在，使得成等差數(shù)列， 則， 由（I）知，的公比，于是 對(duì)于任意的，且 成等差數(shù)列， 綜上，對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列。 24．（2011年遼寧） 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解： （I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得 解得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （II）設(shè)數(shù)列，即， 所以，當(dāng)時(shí)，

20、 所以 綜上，數(shù)列 25．（2011年全國(guó)大綱） 設(shè)數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) 解： （I）由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 （II）由（I）得 ， 26．（2011年全國(guó)新課標(biāo)） 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且． （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式． （II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解： （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以． 由條件可知c>0，故． 由得，所以． 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=． （Ⅱ?）

21、 故 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為 27．（2011年山東） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解：（I）當(dāng)時(shí)，不合題意； 當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意； 當(dāng)時(shí)，不合題意。 因此 所以公式q=3， 故 （II）因?yàn)? 所以 所以 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 綜上所述， 28．（2011年上海）

22、 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（），將集合 中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 。 （1）求； （2）求證：在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：⑴ ； ⑵ ① 任意，設(shè)，則，即 ② 假設(shè)（矛盾），∴ ∴ 在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 ⑶ ， ，， ∵ ∴ 當(dāng)時(shí)，依次有，…… ∴ 。 29．（2011年四川） 設(shè)為非零實(shí)數(shù)， （1）寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由； （II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解析：（1） 因?yàn)闉槌?shù)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （

23、2） （2）（1） 30．（2011年天津） 已知數(shù)列與滿足：， ，且 ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （III）設(shè)證明：． 本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. （I）解：由 可得 又 （II）證明：對(duì)任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入①，可得 即 又 因此是等比數(shù)列. （III）證明：由（II）可得， 于是，對(duì)任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得

24、 從而 所以，對(duì)任意， 對(duì)于n=1，不等式顯然成立. 所以，對(duì)任意 31．（2011年浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a（）,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及 （2）記，，當(dāng)時(shí)，試比較與的大?。? 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分類討論思想。滿分14分。 （I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由 得 因?yàn)?，所以所? （II）解：因?yàn)?，所? 因?yàn)椋? 當(dāng)， 即 所以，當(dāng) 當(dāng) 32．（2011年重慶） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足 （I）若成等比數(shù)列，求和； （II）求證：對(duì) （I）解：由題意， 由S2是等比中項(xiàng)知 由解得 （II）證法一：由題設(shè)條件有 故 從而對(duì)有 ① 因，由①得 要證，由①只要證 即證 此式明顯成立. 因此 最后證若不然 又因矛盾. 因此 證法二：由題設(shè)知， 故方程（可能相同）. 因此判別式 又由 因此， 解得 因此 由，得 因此