2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 推理與證明（含解析）

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1、推理與證明 1．（2011年天津）對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D． 【答案】B 2．（2011年山東）設(shè)，，，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若（λ∈R），（μ∈R），且,則稱，調(diào)和分割，,已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B則下面說(shuō)法正確的是 A．C可能是線段AB的中點(diǎn) B．D可能是線段AB的中點(diǎn) C．C，D可能同時(shí)在線段AB上 D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上 【答案】D 3.（2011年湖北）若實(shí)數(shù)a,b滿足且，則稱a

2、與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的 A．必要而不充分的條件 B．充分而不必要的條件 C．充要條件 D．即不充分也不必要的條件 【答案】C 4.（2011年福建）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對(duì)任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質(zhì)P。 現(xiàn)給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為_(kāi)_______。（寫(xiě)出所有具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)） 【答案】①③ 5.（2011年湖南）對(duì)于,將n 表示,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí), 為0或1．記為上

3、述表示中ai為0的個(gè)數(shù)（例如：）,故, ）,則 （1）________________;（2） ________________; 【答案】2 1093 6.（2011年四川）函數(shù)的定義域?yàn)锳，若時(shí)總有 為單函數(shù)．例如，函數(shù)=2x+1（）是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)=（xR）是單函數(shù)； ②若為單函數(shù)， ③若f：AB為單函數(shù)，則對(duì)于任意bB，它至多有一個(gè)原象； ④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)． 其中的真命題是 ．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)） 答案：②③④ 解析 ：①錯(cuò)，，②③④正確 7.（2011年山東）設(shè)函數(shù),觀察:

4、 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)且時(shí)， . 【答案】 8.（2011年陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第個(gè)等式為 。 【答案】 9.（2012·陜西高考卷·T11·4分） 觀察下列不等式 ， …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 【答案】 【解析】觀察這幾個(gè)不等式可以發(fā)現(xiàn)左邊分母從1、2、3、4、5的平方依次增加1后的平方，分

5、子全是1，右邊分母是左邊最后一項(xiàng)的分母的底數(shù)，分子式左邊后兩分母底數(shù)的和，于是有： 【點(diǎn)評(píng)】該題主要考察歸納推理，從給出的幾個(gè)不等式的特征猜測(cè)出一般的規(guī)律正是歸納推理的本質(zhì)所在. 10.（2012·天津高考卷·T14·4分） 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________. 【答案】（0，1）或（1，4） 【命題透析】本題考查了函數(shù)的圖象，以兩圖象相交于兩點(diǎn)為載體，求實(shí)數(shù)的取值范圍，意在考杳考生的數(shù)形結(jié)合思想與綜合分析問(wèn)題的能力. 【思路點(diǎn)撥】先簡(jiǎn)化函數(shù)為，再在同一直角坐標(biāo)系下畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，（略），在時(shí)，有兩交點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍為（1，4），當(dāng)時(shí)

6、，有兩交點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的取值范圍為（0，1）或（1，4）. 【技巧點(diǎn)撥】畫(huà)圖尋找兩圖象有兩交點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，其次以平行線為依據(jù)或以個(gè)別特殊點(diǎn)對(duì)就的斜率值作為解題的基本點(diǎn). 11.（2012·重慶高考卷·T10·5分） 設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為 （A） （B） （C） （D） [答案]D Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ x y 0 [解析] 則滿足上述條件的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的圓內(nèi)部分Ⅰ和Ⅲ，因?yàn)榈膱D象都關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以Ⅰ和Ⅳ區(qū)域的面積相等，Ⅱ和Ⅲ區(qū)域的面積相等，即圓內(nèi)部分Ⅰ和Ⅲ的面積之和為單位圓面積的一半

7、，即 [點(diǎn)評(píng)]考查線性規(guī)劃中可行域的畫(huà)法，突破常規(guī)，難度較大，需要考生有扎實(shí)的基礎(chǔ)儲(chǔ)備和靈活的轉(zhuǎn)化能力；而另一難點(diǎn)是要有敏銳的觀察力，能看到圖象的對(duì)稱性，否則問(wèn)題的求解會(huì)落入定積分的復(fù)雜運(yùn)算中.所以在復(fù)習(xí)中既要重視雙基，又要善于創(chuàng)新，在變化中尋找不變. 12.（2012·山東高考卷·T16·4分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0,1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0,0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2,1）時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)_____________. C D 【答案】 【解析】根據(jù)題意可知圓滾動(dòng)了2單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了弧度，

8、此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 另解1：根據(jù)題意可知滾動(dòng)自圓心為（2,1）時(shí)的圓的參數(shù)方程為，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即. 【點(diǎn)評(píng)】本題考察了三角函數(shù)與向量知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于知識(shí)點(diǎn)交匯處的題目.解決好本題的關(guān)鍵是充分利用圖象語(yǔ)言，屬于典型的數(shù)形結(jié)合法思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野；結(jié)合新情境考查明年還會(huì)繼續(xù). 13.（2012·湖南高考卷·T16·5分） 設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號(hào)為1,2，…，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2…xN.

9、將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到；當(dāng)2≤i≤n-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置. （1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第___個(gè)位置； （2）當(dāng)N=2n（n≥8）時(shí)，x173位于P4中的第___個(gè)位置. 【答案】（1）6；（2） 【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí), ,可設(shè)為, ,即為, ,即, x7位于P

10、2中的第6個(gè)位置,； （2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個(gè)位置. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力. 需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問(wèn)題. 14.（2012·湖南高考卷·T11·5分） 某制藥企業(yè)為了對(duì)某種藥用液體進(jìn)行生物測(cè)定，需要優(yōu)選培養(yǎng)溫度，實(shí)驗(yàn)范圍定為29℃~63℃.精確度要求±1℃.用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)選時(shí)，能保證找到最佳培養(yǎng)溫度需要最少實(shí)驗(yàn)次數(shù)為_(kāi)______. 【答案】７ 【解析】用分?jǐn)?shù)法計(jì)算知要最少實(shí)驗(yàn)次數(shù)為7. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查優(yōu)選法中的分?jǐn)?shù)法，考查基本運(yùn)算能力. 15.（2012·重慶

11、高考卷·T16·13分） 設(shè)其中，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的極值. [解析] 求導(dǎo)后利用幾何意義求得參數(shù)，然后根據(jù)極值的定義求解. （Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸， （Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得 （舍去），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3. [點(diǎn)評(píng)]考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)求極值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的考查是高考必備問(wèn)題，要熟悉他們之間的關(guān)系定理，能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解，屬中檔題. 16.（2012·山東高考卷·T18·12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，

12、∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF. （Ⅰ）求證：BD⊥平面AED； （Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值. 【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知, 即,在中，∠DAB=60°，，則為直角三角形，且.又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，向量為平面的一個(gè)法向量. 設(shè)向量為平面的法向量，則,即， 取，則，則為平面的一個(gè)法向量. ，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則 二面角F-BD-C的余弦值為.

13、 【點(diǎn)評(píng)】本題考查本題考察了線面垂直的位置關(guān)系的判斷，和利用空間向量來(lái)求二面角的余弦問(wèn)題. 明年可以結(jié)合線面平行的知識(shí)進(jìn)行考察，二面角或者線面角的形式考察空間向量的應(yīng)用. 17.（2012·湖南高考卷·T18·12分）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).[%:*中#國(guó)教~育出@版網(wǎng)] （Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積. 【解析】 解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，， Ｅ是ＣＤ的中點(diǎn)

14、，所以 所以 而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是為直線ＰＢ與平面PAE 所成的角，且. 由知，為直線與平面所成的角. 由題意，知 因?yàn)樗? 由所以四邊形是平行四邊形，故于是 在中，所以 　　　　　　　 于是 又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 　　　　　　　　　 解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為： （Ⅰ）易知因?yàn)? 所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以 (Ⅱ)由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與 所成的角和PB與所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得. 又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 . 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算.第一問(wèn)只要證明即可，第二問(wèn)算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求得高及其體積。