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1、1,教學(xué)重點(diǎn),教學(xué)過(guò)程,教學(xué)總結(jié),第七章 區(qū)間估計(jì),STAT,2,,,STAT,一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于100克，否則即為不合格。為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門(mén)負(fù)責(zé)質(zhì)量檢驗(yàn)，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報(bào)告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。 由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進(jìn)行全面的檢驗(yàn)是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)平均每袋的重量。質(zhì)檢科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，下表1是對(duì)每袋食品重量的檢驗(yàn)結(jié)果。,實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì),3,,,STAT,根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計(jì)出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量
2、在101.38109.34克之間，其中，估計(jì)的可信程度為95%，估計(jì)誤差不超過(guò)4克。產(chǎn)品的合格率在96.07%73.93%之間，其中，估計(jì)的可信程度為95%，估計(jì)誤差不超過(guò)16%。,4,,,STAT,質(zhì)檢報(bào)告提交后，企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)人提出幾點(diǎn)意見(jiàn)：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能用一個(gè)更大的樣本進(jìn)行估計(jì)？二是能否將估計(jì)的誤差在縮小一點(diǎn)？比如，估計(jì)平均重量時(shí)估計(jì)誤差不超過(guò)3克，估計(jì)合格率時(shí)誤差不超過(guò)10%。三是總體平均重量的方差是多少？因?yàn)榉讲畹拇笮≌f(shuō)明了生產(chǎn)過(guò)程的穩(wěn)定性，過(guò)大或過(guò)小的方差都意味著應(yīng)對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行調(diào)整。,5,,,STAT,本章重點(diǎn) 1、抽樣誤差的概率表述； 2、區(qū)間估計(jì)的基本原理；
3、 3、小樣本下的總體參數(shù)估計(jì)方法； 4、樣本容量的確定方法； 本章難點(diǎn) 1、一般正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； 2、t分布； 3、區(qū)間估計(jì)的原理； 4、分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。,區(qū) 間 估 計(jì),6,,,STAT,點(diǎn)估計(jì)的缺點(diǎn)：不能反映估計(jì)的誤差和精確程度 區(qū)間估計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布估計(jì)總體參數(shù)的可能區(qū)間 【例1】CJW公司是一家專營(yíng)體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個(gè)顧客樣本進(jìn)行調(diào)查以了解顧客的滿意分?jǐn)?shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對(duì)100名顧客的抽樣顯示，滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分?jǐn)?shù)的區(qū)間。
4、 8.1.1抽樣誤差 抽樣誤差：一個(gè)無(wú)偏估計(jì)與其對(duì)應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對(duì)值。 抽樣誤差 = （實(shí)際未知）,8.1總體均值的區(qū)間估計(jì)（大樣本n30）,7,,,STAT,要進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，關(guān)鍵是將抽樣誤差 求解。若 已知，則區(qū)間可表示為： 此時(shí)，可以利用樣本均值的抽樣分布對(duì)抽樣誤差的大小進(jìn)行描述。 上例中，已知，樣本容量n=100,總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，根據(jù)中心極限定理可知，此時(shí)樣本均值服從均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。 即：,8,,,STAT,8.1.2抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即， 有
5、以下關(guān)系式成立： 一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估計(jì)結(jié)果的可信程度。若事先給定一個(gè)置信度，則可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到其對(duì)應(yīng)的臨界值 。進(jìn)而計(jì)算抽樣誤差,9,,,STAT,若， 則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得， 抽樣誤差 此時(shí)抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說(shuō)，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對(duì)應(yīng)的臨界值分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計(jì)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的精確程度和把握程度。,10,,,STAT,8.1.3計(jì)算區(qū)間估計(jì)： 在CJW公司的例
6、子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為， 由于，從一個(gè)總體中抽取到的樣本具有隨機(jī)性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計(jì)算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示：,11,,,STAT,,,,,,,,,,,,,,,,3.92,3.92,,,,圖1 根據(jù)選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間,12,,,STAT,上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個(gè)區(qū)域的樣本均值3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認(rèn)為，以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。
7、 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對(duì)應(yīng)的置信水平為 置信區(qū)間的估計(jì)包含兩個(gè)部分：點(diǎn)估計(jì)和描述估計(jì)精確度的正負(fù)值。也將正負(fù)值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計(jì)量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍。 總結(jié)：,13,,,STAT,8.1.4計(jì)算區(qū)間估計(jì)： 在大多數(shù)的情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值，仍然采用上述區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行總體參數(shù)的估計(jì)。,14,,,STAT,【例2】 斯泰特懷特保險(xiǎn)公司每年都需對(duì)人壽保險(xiǎn)單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取36個(gè)壽保人作為一個(gè)簡(jiǎn)單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡、保費(fèi)數(shù)量、保險(xiǎn)單的現(xiàn)金值、殘廢補(bǔ)償
8、選擇等項(xiàng)目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險(xiǎn)投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計(jì)。,15,,,STAT,上表是一個(gè)由36個(gè)投保人組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計(jì)。 分析：區(qū)間估計(jì)包括兩個(gè)部分點(diǎn)估計(jì)和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計(jì)。 解：已知 （1）樣本的平均年齡 （2）誤差邊際,16,,,STAT,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 誤差邊際 （3）90%的置信區(qū)間為39.5 2.13 即（37.37，41.63）歲。 注意 （1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，根據(jù)樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率為 （2）置信區(qū)間的長(zhǎng)度（準(zhǔn)確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的
9、大小呈反方向變動(dòng)，若要提高估計(jì)準(zhǔn)確度，可以擴(kuò)大樣本容量來(lái)達(dá)到。,17,,,STAT,8.2總體均值的區(qū)間估計(jì)：小樣本的情況 在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。 t分布的圖形和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示：,18,,,STAT,,,,,,0,,,,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,t分布（自由度為20）,t分布（自由度為10）,圖2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t分布的比較,19,,,STAT,在分布中，對(duì)于給定的置信度，同樣可以通過(guò)查表找到其對(duì)應(yīng)的臨界值，利用臨界值也可計(jì)算區(qū)間估計(jì)的誤差邊際 因此，總體均值的區(qū)間估計(jì)在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的小樣本情況下可采用下式進(jìn)行： 假定總
10、體服從正態(tài)分布；,20,,,STAT,【例3】謝爾工業(yè)公司擬采用一項(xiàng)計(jì)算機(jī)輔助程序來(lái)培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時(shí)間。為了評(píng)價(jià)這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對(duì)這種程序所需要的平均時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。以下是利用新方對(duì)名職員進(jìn)行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。 根據(jù)上述資料建立置信度為的總體均值的區(qū)間估計(jì)。（假定培訓(xùn)時(shí)間總體服從正態(tài)分布）。,21,,,STAT,解：依題意，總體服從正態(tài)分布，（小樣本），此時(shí)總體方差未知。可用自由度為（n-1）=14的t分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計(jì)。 樣本平均數(shù) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 誤差邊際 95%的置信區(qū)間為,53.87 3.78 即（50.09，57.65）
11、天。,22,,,STAT,8.3確定樣本容量 誤差邊際 其計(jì)算需要已知 若我們選擇了置信度 由此，得到計(jì)算必要樣本容量的計(jì)算公式：,23,,,STAT,【例4】在以前的一項(xiàng)研究美國(guó)租賃汽車花費(fèi)的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛中等大小的汽車，其花費(fèi)范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標(biāo)準(zhǔn)差為9.65美元。假定進(jìn)行該項(xiàng)研究的組織想進(jìn)行一項(xiàng)新的研究，以估計(jì)美國(guó)當(dāng)前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計(jì)該項(xiàng)新的研究時(shí)，項(xiàng)目主管指定對(duì)總體平均日租賃支出的估計(jì)誤差邊際為2美元，置信水平為95%。 解：依題意， 可得 將以上結(jié)果取下一個(gè)整數(shù)（90
12、）即為必要的樣本容量。,24,,,STAT,說(shuō)明： 由于總體標(biāo)準(zhǔn)差 在大多數(shù)情況下 是未知的，可以有以下方法取得 的值。 （1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標(biāo)準(zhǔn)差； （2）抽取一個(gè)預(yù)備樣本進(jìn)行試驗(yàn)性研究。用實(shí)驗(yàn)性樣本的標(biāo)準(zhǔn)差作為 的估計(jì)值。 （3）運(yùn)用對(duì) 值的判斷或者“最好的猜測(cè)”，例如，通?？捎萌嗟淖鳛? 的近似值。,25,,,STAT,8.4總體比例的區(qū)間估計(jì) 8.4.1區(qū)間估計(jì) 對(duì)總體比例 的區(qū)間估計(jì)在原理上與總體均值的區(qū)間估計(jì)相同。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來(lái)進(jìn)行估計(jì)。 若， 則樣本比例近似服從正態(tài)分布。 同樣，抽樣誤差
13、類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來(lái)計(jì)算抽樣誤差,26,,,STAT,上式中， 是正待估計(jì)的總體參數(shù)，其值一般是未知，通常簡(jiǎn)單的用 替代 。 即用樣本方差 替代總體方差 。 則， 誤差邊際的計(jì)算公式為：,27,,,STAT,【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對(duì)全國(guó)范圍每?jī)?nèi)的902名女子高爾夫球手進(jìn)行了調(diào)查，以了解美國(guó)女子高爾夫球手對(duì)自己如何在場(chǎng)上被對(duì)待的看法。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，397名女子高爾夫球手對(duì)得到的球座開(kāi)球次數(shù)感到滿意。試在95%的置信水平下估計(jì)總體比例的區(qū)間。 分解： 解：依題意已知， （1）樣本比例 （2）誤差邊際,28,,,STAT,（3）95%的置信區(qū)間0.44 0
14、.0324 即（0.4076，0.4724）。 結(jié)論：在置信水平為95%時(shí)，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對(duì)得到的球座開(kāi)球數(shù)感到滿意。 8.4.2 確定樣本容量 在建立總體比例的區(qū)間估計(jì)時(shí)，確定樣本容量的原理與8.3節(jié)中使用的為估計(jì)總體均值時(shí)確定樣本容量的原理相類似。,29,,,STAT,【例6】在例中，該公司想在1997年結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行一項(xiàng)新的調(diào)查，以重新估計(jì)女子高爾夫球手的總體中對(duì)得到的球座開(kāi)球此數(shù)感到滿意的人數(shù)所占的比例。調(diào)查主管希望這項(xiàng)新的調(diào)查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來(lái)進(jìn)行，那么，樣本容量應(yīng)該為多大？ 解：依題意， 可得 將以上結(jié)果
15、取下一個(gè)整數(shù)（1515）即為必要的樣本容量。,30,,,STAT,說(shuō)明： 由于總體比例 在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法取得 的值。 （1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例； （2）抽取一個(gè)預(yù)備樣本進(jìn)行試驗(yàn)性研究。用實(shí)驗(yàn)性樣本的比例作為 的估計(jì)值。 （3）運(yùn)用對(duì) 值的判斷或者“最好的猜測(cè)”； （4）如果上面的方法都不適用，采用 。,31,,,STAT,8.5其他抽樣方法下總方差的計(jì)算 在第六章中學(xué)習(xí)到，除簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法外，在現(xiàn)實(shí)中還可運(yùn)用分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣等抽樣方法，每一次抽樣都涉及到對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)過(guò)程。 通過(guò)前面的知識(shí)，可知對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)
16、過(guò)程中比較關(guān)鍵的因素是計(jì)算總體方差。如果已知總體方差，總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的過(guò)程與前面介紹的方法相同。,32,,,STAT,8.5.1分層抽樣 在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們計(jì)算總方差是采用的公式是 在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標(biāo)志進(jìn)行分層，所形成的數(shù)據(jù)實(shí)際等同于組距式數(shù)列，在組距式數(shù)列中，總方差需要運(yùn)用方差加法定理來(lái)計(jì)算。,33,,,STAT,這就是說(shuō)，如果要計(jì)算總方差，則需分別將組間方差和平均組內(nèi)方差先計(jì)算出來(lái)。在分層抽樣下，是否真的需要由組間方差和平均組內(nèi)方差相加來(lái)計(jì)算總方差呢？ 我們來(lái)考察一下分層抽樣的實(shí)施過(guò)程： 層間抽樣：在每一層抽取 全面調(diào)查 層間方差 層內(nèi)抽樣：抽取部分樣本單位 抽
17、樣調(diào)查 層內(nèi)方差 我們說(shuō)抽樣誤差是抽樣調(diào)查這種調(diào)查方式所特有的誤差，因此上述兩部分誤差中只有由于抽樣調(diào)查所形成的層內(nèi)方差才是抽樣誤差的組成部分，而由于全面調(diào)查所形成的層間方差不是抽樣誤差的組成部分。,,,,,34,,,STAT,因此，,35,【例7】某廠有甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)保溫瓶，乙車間產(chǎn)量是甲車間的2倍?，F(xiàn)按產(chǎn)量比例共抽查了60支，結(jié)果如下。試以95.45%的可靠程度推斷該廠生產(chǎn) 的保溫瓶的平均保 溫時(shí)間的可能范圍。,36,【例8】某地一萬(wàn)住戶，按城鄉(xiāng)比例抽取一千戶，進(jìn)行彩電擁有量調(diào)查，結(jié)果如下。試 以95.45%的概率推斷該地 彩電擁有戶比率的范圍。,37,,,STAT,8.5.2整群抽樣 與分層抽樣類似，整群抽樣下，總方差的計(jì)算仍然需要分解： 同樣考察整群抽樣的實(shí)施過(guò)程： 層間抽樣：在部分層中抽取 抽樣調(diào)查 群間方差 層內(nèi)抽樣：抽取全部樣本單位 全面調(diào)查 群內(nèi)方差 類似的，只有群間方差是抽樣誤差的組成部分。,,,,,,38,,,STAT,因此，,39,【例9】某鄉(xiāng)播種某種農(nóng)作物3000畝， 分布在60塊地段上，每塊地段50畝。 現(xiàn)抽取5塊地，得資料如下?，F(xiàn)要 求以95%的概率估計(jì)這種農(nóng)作物的 平均畝產(chǎn)。,總體：R=60群 樣本：r=5群,
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