高中數(shù)學熱點題型專項訓練之 立體幾何中的向量方法

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1、 2????????????????? 2 解析?? 兩平面的一個單位法向量??n?＝?－?? ，0，?? ÷，故兩平面間的距離??d è??? 2 2?? ＝|→·n?|＝? . 第?8?講 立體幾何中的向量方法（二） 一、選擇題 1．兩平行平面?α?，β?分別經(jīng)過坐標原點?O?和點?A(2,1,1)，且兩平面的一個法 向量?n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是( ) 3 2 A. B. C.?3 D．3?2 ? 2 2? 0 2 OA 0 2 答案 B 2．已知向量?m，n?分別是直線?l?和

2、平面?α?的方向向量、法向量，若?cos〈m，n〉 1 ＝－2，則?l?與?α?所成的角為  (???)． A．30° B．60°??????????C．120°?????????D．150° 9????????????????? 9???????????????? 9??????????????? 3 1 解析 設?l?與?α?所成的角為?θ，則?sin?θ＝|cos〈m，n〉|＝2，∴θ＝30°. 答案 A → → 3．在正方體?ABCD?A?B?C?D?中，M、N?分別為棱?AA?和?BB?的中點，則?sin〈CM，

3、D?N〉 1 1 1 1 1 1 1 的值為( )． 1 4 2 2 A. B. 5 C. 5 D. 解析 設正方體的棱長為?2，以?D?為坐標原點， DA?為?x?軸，DC?為?y?軸，DD?為?z?軸建立空間直角 1 → → cos〈CM，D?N〉＝－??，sin〈CM，D?N〉＝??? ， 坐標系(如圖)，可知CM＝(2，－2,1)，D?N＝(2,2，－1)， 1 → → → → 1 4?5 1 1 9 9 答案 B 4．已知直二面角?α?l?β?，點?A∈α?，AC⊥l，C?為垂足，點

4、?B∈β?，BD⊥l，D 為垂足，若?AB＝2，AC＝BD＝1，則?CD＝( )． A．2 B.?3 C.?2 D．1 解析 如圖，建立直角坐標系?D?xyz，由已 知條件?B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)， 由?AB＝2?解得?t＝?2. 答案 C 5．如圖，在四面體?ABCD?中，AB＝1，AD＝2?3，BC＝3， π CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝2，則二面角?A－BC－D?的大小 為 ( )． A.6????????? πB.3 π 5π C.?3 5π D.?6 ＝??BC，

5、則?GB?與?EF?所成的角為(??? )． G?0，0，??÷，B(1，1，0)， E?1，1，??÷，F(xiàn)???，1，0÷， → → → 解析 二面角?A－BC－D?的大小等于?AB?與?CD?所成角的大小.AD＝AB＋BC＋ → → → → → → → → → CD.而AD2＝AB2＋CD2＋BC2－2|AB|·|CD|·cos?〈AB，CD〉，即?12＝1＋4＋9－ → → → → 1 π 2×2cos〈AB，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝2，∴AB?與?CD?所成角為3，即二面 π 角?A－BC－D?的大小為3.故選?B. 答案 B

6、6．正方體?ABCD-A?B?C?D?中，E?是棱?BB?中點，G?是?DD?中點，F(xiàn)?是?BC?上一點且?FB 1 1 1 1 1 1 1 4 A．30° B．120° C．60° D．90° 解析 如圖建立直角坐標系?D?xyz， 設?DA＝1，由已知條件 ? 1? è 2? 1? 2? ? ?3 ? è è4 ? ?????????????????? ??? 1 1? 1? è????????????????? è?? 4 2? 2? → → GB＝?1，1，－?÷，EF＝?－?，0，－?÷

7、 →?? →????? → cos〈GB，EF〉＝???GB·EF → → →  →??→ ＝0，則GB⊥EF. －8 答案?? 4???11 8．若向量?a＝(1，λ??，2)，b＝(2，－1,2)且?a?與?b?的夾角的余弦值為??，則?λ 9?? |a||b| |GB||EF| 答案 D 二、填空題 7．若平面?α?的一個法向量為?n＝(4,1,1)，直線?l?的一個方向向量為?a＝(－2，－ 3,3)，則?l?與?α?所成角的正弦值為________． n·?a 4?11 3???2×???22 解析 co

8、s〈n，a〉＝|n||a|＝ ＝－?33?. 4?11 又?l?與?α?所成角記為?θ，即?sin?θ＝|cos〈n，a〉|＝?33?. 33?. 8 9 ＝________. 8 a·b 2－λ?＋4 解析 由已知得?＝ ＝ ， 5＋λ 2· 9 ∴8 5＋λ 2＝3(6－λ?)，解得?λ?＝－2?或?λ?＝ 2 55  . 答案?? －2?或??2 知條件?A(1,0,0)，E?1，1，3÷，F(xiàn)?0，1，3÷，è 1?????? ? 2? AE＝?0，1，3÷，AF＝?－1，1，3÷，è

9、 55 F 9．已知點?E、?分別在正方體?ABCD－A1B1C1D1?的棱?BB1，CC1?上，且?B1E＝2EB， CF＝2FC1，則面?AEF?與面?ABC?所成的二面角的正切值為________． 解析 如圖，建立直角坐標系?D－xyz，設?DA＝1?由已 1? ? ? 2? ? è ? → → ? ? è ? 設平面?AEF?的法向量為?n＝(x，y，z)， 面?AEF?與面?ABC?所成的二面角為?θ， 由 → AE n·?＝0， → AF n·?＝0  得

10、 1 y＋3z＝0， 2 －x＋y＋3z＝0. 令?y＝1，z＝－3，x＝－1，則?n?＝(－1,1，－3) 平面?ABC?的法向量為?m?＝(0,0，－1) 3?11 2 cos?θ＝cos〈n?，m?〉＝?11?，tanθ＝?3?. 答案 2 3 10．如圖，在空間直角坐標系中有棱長為?a?的正方體?ABCD－A?B?C?D?，點?M?是線 1 1 1 1 段?DC?上的動點，則點?M?到直線?AD?距離的最小值為________． 1 1

11、 解析?? 設?M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD?＝(－a,0，a)，直線?AD?的一個單位方 2?????? 2????? → 向向量?s?＝?－?? ，0，?? ，由MD?＝(0，－m，a－m)，故點?M?到直線?AD?的 2 2 → 1 1 0 1 1 距??離?? d??＝?????? → |MD?|2－|MD?·s?|2??＝ －1 1 1 0 → m2＋?a－m  2 2??a－m  2  ＝ m2－am＋??a2，根式內的二次函數(shù)當?m＝－??? ＝??時取最小值??? 2

12、－a× 2 ＋??a2＝??a2，故?d?的最小值為?? a. 答案???? a 3 1 －a a 3?a a 2 2 3 3 23 3 2× 1 1 3 2 3 3 3 3 三、解答題 ????－8???????? 3 ?4×2????3??? 3?， 11．如圖，四面體?ABCD?中，AB、BC、BD?兩兩垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F 分別為棱?BC、AD?的中點． (1)求異面直線?AB?與?EF?所成角的余弦值； (2)求?E?到平面?ACD?的距離； (3)求?EF?與平面?ACD?所成角的正弦值．

13、 解 如圖，分別以直線?BC、BD、BA?為?x、y、z?軸 建立空間直角坐標系，則各相關點的坐標為 A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)． → → (1)∵AB＝(0,0，－4)，EF＝(－2,2,2)， → → ∴|cos〈AB，EF〉|＝? ?＝ 3 ∴異面直線?AB?與?EF?所成角的余弦值為?3?. (2)設平面?ACD?的一個法向量為?n＝(x，y,1)， 則 ì??→ ín·?AC＝0， → ??n·?CD＝0，  →?????????

14、?????→ ∵AC＝(4,0，－4)，CD＝(－4,4,0)， ì4x－4＝0， ∴í ?－4x＋4y＝0， ∴x＝y(tǒng)＝1，∴n＝(1,1,1，)． → ∵F∈平面?ACD，EF＝(－2,2,2)， → |n·?EF| 2 2?3 ∴E?到平面?ACD?的距離為?d＝?|n|?＝?3＝?3?. → (3)EF?與平面?ACD?所成角的正弦值為|cos〈n，EF〉|＝ 2 3×2?3  1 ＝3 12．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐?P

15、－ABCD?中，AD∥BC，∠ABC＝90°， PA⊥平面?ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2?3，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面?PAC； ìy＝???3x， 2???3?z＝??3??x. ????????????????∴í 解得í (2)求二面角?P－BD－A?的大?。? (1)證明 如圖，建立空間直角坐標系， 則?A(0,0,0)，B(2?3，0,0)， C(2?3，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， → → ∴AP＝(0,0,3)，AC＝(2?3，6,0)， → BD＝(－2?3，2,0)． →

16、?→ →?→ ∴BD·?AP＝0，BD·?AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面?PAC. (2)解 設平面?ABD?的法向量為?m＝(0,0,1)， 設平面?PBD?的法向量為?n＝(x，y，z)， → → → 則?n·?BD＝0，n·?BP＝0.∵BP＝(－2?3，0,3)， ì－2?3x＋2y＝0， ?－2?3x＋3z＝0 m·n 1 令?x＝?3，則?n＝(?3，3,2)，∴cos〈m，n〉＝|m||n|＝2. ∴二面角?P－BD－A?的大小為?60°. 1 13．如圖，直三棱柱?ABC

17、－A1B1C1?中，AC＝BC＝2AA1，D?是棱?AA1?的中點，DC1 ⊥BD. (1)證明：DC1⊥BC. (2)求二面角?A1－BD－C1?的大小． (1)證明 由題設知，三棱柱的側面為矩形．由于?D 為?AA1?的中點， 故?DC＝DC1. 1 2 2 又?AC＝2AA1，可得?DC1＋DC2＝CC1，所以?DC1⊥ DC. 而?DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以?DC1⊥平面?BCD. 因為?BC 平面?BCD，所以?DC1⊥BC. (2)解 由(1)知?BC⊥DC1，且?BC⊥CC1，則?BC⊥平面?ACC1A1，所以?CA，

18、CB， → → CC1?兩兩相互垂直．以?C?為坐標原點，CA的方向為?x?軸的正方向，|CA|為單 位長，建立如圖所示的空間直角坐標系?C－xyz.由題意知?A1(1,0,2)，B(0,1,0)， D(1,0,1)，C1(0,0,2)． → → → 則A1D＝(0,0，－1)，BD＝(1，－1,1)，DC1＝(－1,0,1)． 設?n＝(x，y，z)是平面?A1B1BD?的法向量，則 ì? → ín·?BD＝0， D ??n·?A→?＝0， 1  ìx－y＋z＝0， 即í????????????可取?n＝(1,1,0)． ?z＝0，

19、 同理，設?m＝(x，y，z)是平面?C1BD?的法向量，則 ì? → ím·?BD＝0， → ??m·?DC?＝0， 1  ìx－y＋z＝0， 即í????????????可取?m＝(1,2,1)． ?－x＋z＝0， n·?m 3 從而?cos〈n，m〉＝|n|·?|m|＝?2?. 故二面角?A1－BD－C1?的大小為?30°. 14．如圖，已知?AB⊥平面?ACD，DE⊥平面?ACD，△ACD?為等邊三角形，AD＝DE＝ 2AB，F(xiàn)?為?CD?的中點． (1)求證：AF∥平面?BCE； (2)求證：平面?BC

20、E⊥平面?CDE； (3)求直線?BF?和平面?BCE?所成角的正弦值． 解 方法一： (1)證法一：取?CE?的中點?G，連接?FG、BG. ∵F?為?CD?的中點，∴GF∥DE?且?GF＝??DE， 又?AB＝??DE，∴GF＝AB.又?DE＝2AB， 又?AB＝??DE＝ME， 1 2 ∵AB⊥平面?ACD，DE⊥平面?ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 1 2 ∴四邊形?GFAB?為平行四邊形，則?AF∥BG. ∵AF?平面?BCE，BG?平面?BCE， ∴

21、AF∥平面?BCE. 證法二：取?DE?的中點?M，連接?AM、FM， ∵F?為?CD?的中點，∴FM∥CE. ∵AB⊥平面?ACD，DE⊥平面?ACD，∴DE∥AB. 1 2 ∴四邊形?ABEM?為平行四邊形，則?AM∥BE. ∵FM、AM?平面?BCE，CE、BE?平面?BCE， ∴FM∥平面?BCE，AM∥平面?BCE. 又?FM∩AM＝M，∴平面?AFM∥平面?BCE. ∵AF?平面?AFM， ∴AF∥平面?BCE. (2)證明：∵△ACD?為等邊三角形，F(xiàn)?為?CD?的

22、中點， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面?ACD，AF?平面?ACD，∴DE⊥AF. 又?CD∩DE＝D，故?AF⊥平面?CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面?CDE. ∵BG?平面?BCE， ∴平面?BCE⊥平面?CDE. 設?AD＝DE＝2AB＝2a，則?FH＝CFsin45°＝????2a， (3)在平面?CDE?內，過?F?作?FH⊥CE?于?H，連接?BH， ∵平面?BCE⊥平面?CDE，∴FH⊥平面?BCE. ∴∠FBH?為?BF?和平面?BCE?所成的角． 2 BF＝?AB2＋AF2＝?a2＋

23、 3a 2 ＝2a， 在? FHB?中，sin∠FBH＝FH BF?? 4 2 ＝ . ∴直線?BF?和平面?BCE?所成角的正弦值為  2 4  . 方法二： 設?AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標系?A－xyz，則?A(0,0,0)，C(2a,0,0)， B(0,0，a)，D(a，?3a,0)，E(a，?3a,2a)． ∵F?為?CD?的中點，∴F???a，?? a，0÷. ?3 3 ? 2 è2 ?

24、 →＝??3 a，?? a，0÷，→＝(a，???3a，a)，→＝(2a,0，－a)， AF BE BC (1)證明： 3?? 2 2 è???????????? ∵AF＝1(BE＋BC)，AF?平面?BCE，∴AF∥平面?BCE. (2)證明：∵→＝???a，? a，0÷，→＝(－a，???3a,0)，→＝(0,0，－2a)， AF CD ED 2 ?3 3 ? 2 è?2 ? AF???CD AF???ED AF???CD???AF???ED AF ∴→·→＝0，→·→＝0，∴→⊥→，→⊥→. ∴

25、→⊥平面?CDE，又?AF∥平面?BCE， ∴平面?BCE⊥平面?CDE. BE BC (3)設平面?BCE?的法向量為?n＝(x，y，z)，由?n·→＝0，n·→＝0?可得 x＋?3y＋z＝0,2x－z＝0，取?n＝(1，－?3，2)． →?? ?3 3 ? →|·|n| 2a·2???2? 4 又BF＝??a， a，－a÷，設?BF?和平面?BCE?所成的角為?θ?，則 2 è2 ? → |BF·n| 2a 2 sinθ?＝ ＝ ＝ . |BF ∴直線?BF?和平面?BCE?所成角的正弦值為????2 4 .