高中數(shù)學熱點題型專項訓練之 二項式定理

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1、 é??????????? ù?x ú?? ＝－ 解析?? ó??(1－t)3dt＝ê－???????????????????? ＋??，故這個展開式中?x 4???????????????? 4????? 4 第?3?講 二項式定理 一、選擇題 1.óx(1－t)3dt?的展開式中?x?的系數(shù)是( ) ? 0 A．－1 B．1 C．－4 D．4 4 4 － － 1 x ? ? ? 0 4??? ＝1. 0 的系數(shù)是－ C1?－ 4 ? a? x? 3．已知?x－x÷8?展開式中常數(shù)項為?1?120

2、，其中實數(shù)?a?是常數(shù)，則展開式中各項系 答案 B 2．已知?x－?÷8?展開式中常數(shù)項為?1?120，其中實數(shù)?a?是常數(shù)，則展開式中各項系 è 數(shù)的和是( )． A．28 B．38 C．1?或?38 D．1?或?28 解析 由題意知?C4·(－a)4＝1?120，解得?a＝±2，令?x＝1，得展開式各項系 8 數(shù)和為(1－a)8＝1?或?38. 答案 C ? a? è ? 數(shù)的和是 A．28 (???)． B．38????????C．1?或?38????D．1?或?28 8 解析 由題意知?C4

3、·?(－a)4＝1?120，解得?a＝±2，令?x＝1，得展開式各項系數(shù) 和為(1－a)8＝1?或?38. 答案 C 5x－?? ÷n?的展開式的各項系數(shù)之和為?M，二項式系數(shù)之和為?N，若?M－N＝ ? 4．設(shè)? è 1?? x? 240，則展開式中?x?的系數(shù)為( )． A．－150 B．150 C．300 D．－300 解析 由已知條件?4n－2n＝240，解得?n＝4， ???? 1?? x? è r＝(－1)r54－rCrx4－? ， r＋1 4  ??????? T?＝Cr(5

4、x)4－r?－?÷ 3r 4?2 ＝1，得?r＝2，T?＝150x. 令?4－ 3r 2?3 答案 B 5．設(shè)?a∈Z?，且?0≤a<13，若?512?012＋a?能被?13?整除，則?a＝( )． A．0 B．1 C．11 D．12 解析 512?012＋a＝(13×4－1)2?012＋a?被?13?整除余?1＋a，結(jié)合選項可得?a＝12 時，512?012＋a?能被?13?整除． 答案 D S 6．在(x－?2)2?006?的二項展開式中，含?x?的奇次冪的項之和為?S，當?x＝?2時，?等 于(

5、 )． A．23?008 B．－23?008 C．23?009 D．－23?009 解析 (x－?2)2?006＝x2?006＋C1 2?006 x2?005(－?2)＋C2?x2?004(－?2)2＋…＋(－?2)2?006， 2?006 由已知條件?S＝－C1 2?006 (?2)2?006－C3 2?006 (?2)2?006－…－C2?005(?2)2?006＝－22?005·21?003 2?006 x－??? ÷18?的展開式中含?x15?的項的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)． è??? 3???x?

6、 解析?? Tr＋1＝C18x18－r?－ ÷r＝(－1)rC18?3÷rx18－2r，令?18－2r＝15，解得?r ＝2.所以所求系數(shù)為(－1)2·C18?3÷2＝17. 8．已知?(1＋x＋x2)?x＋ 3÷n?的展開式中沒有常數(shù)項，?n∈N*且??2≤n≤8，則??n＝ 解析?? ?x＋ 3÷n?展開式中的通項為 ＝－23?008. 答案 B 二、填空題 ? 1?? 7．?? ? 1?? ?1? 3 3 è 3?x? ?1? 2 è?? 答案 17 ? 1?? è x?? ________. ? 1?? è

7、 x?? T ＝Crxn－r? 3÷r x è???? 9．若(cosφ?＋x)5?的展開式中?x3?的系數(shù)為?2，則?sin?2φ?＋ ÷＝________. 2?? ∴cos2φ?＝??，故?sin?2φ?＋ ÷＝cos2φ?＝2cos2φ?－1＝－??. ??1?? r＋1 n n ＝Crxn－4r(r＝0,1,2，…，8)， 將?n＝2,3,4,5,6,7,8?逐個檢驗可知 n＝5. 答案 n＝5 ? π?? è 2?? 解析?由二項式定理得，x3?的系數(shù)為?C3cos2φ?＝2， 5 1 ? π?? 3 5 è 5

8、 答案?－ 3 5 10．設(shè)二項式?x－? ÷6(a＞0)的展開式中?x3?的系數(shù)為?A，常數(shù)項為?B.若?B＝4A， ? a?? è x? 則?a?的值是________． ?－a? 由?Tr＋1＝Cr6x6－r????1?÷r＝Cr6(－a)rx6－2r， 解析  è?x2?? 3 11．已知二項式????x＋??÷n?的展開式中各項的系數(shù)和為?256. 6 得?B＝C46(－a)4，A＝C2(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2. 答案 2 三、解答題 ??3

9、 1? è x? (1)求?n；(2)求展開式中的常數(shù)項． n n n 解 (1)由題意，得?C0＋C1＋C2＋…＋Cn＝256，即?2n＝256，解得?n＝8. ?1?r (2)該二項展開式中的第?r＋1?項為  r rè??? Tr＋1＝C8(?x)8－r·??x÷?＝C8·?x?3?，令?3?＝ 3?8－4r?8－4r 0，得?r＝2，此時，常數(shù)項為?T3＝C28＝28. 12．已知等差數(shù)列?2,5,8，…與等比數(shù)列?2,4,8，…，求兩數(shù)列公共項按原來順序 排列構(gòu)成新數(shù)列{Cn}的通項公式． 解 等差數(shù)列?2,

10、5,8，…的通項公式為?an＝3n－1， 等比數(shù)列?2,4,8，…的通項公式為?bk?＝2k?，令?3n－1＝2k?，n∈N*，k?∈N*， 即?n＝???? ＝ 2k?＋1 3 －  3 k ＋1 ＝ 0 1 Ck?3k?－Ck?3k?－1＋…＋Ck?－1  3 － k?－1 ＋Ckk?－ k ＋1  ， C0m???32m－1－C1m???32m－2＋…＋C2mm－23 n＝ 2??－1 當?k?＝2m－1?時，m∈N*， 2?－1 2?－1 3 Cn＝b2n－

11、1＝22n－1(n∈N*)．  ∈N*， 展開式中的各項系數(shù)之和等于??5??x?＋? ÷5?的展開式的常數(shù)項， 13．已知(a2＋1)n ?16?2?1?? è?x? x?＋?? ÷?5?的展開式的通項為?? Tr 1?＝?C?r5????5??x?÷? ·??? ÷??＝???5?÷?5?－?rC?r5 解?? ??5????????????????????????? è è??????????????????????????????????????????????????? è???x? è ? 2?? ，令?20－5r＝0

12、，得?r＝4，故常數(shù)項?T5＝C45×?5?＝16.又(a2＋1)n?展開式 14．已知?2＋2x÷n， 而(a2＋1)n?的展開式的系數(shù)最大的項等于?54，求?a?的值． ?16?2 1?? ?16?2??5?－?r???1???r ?16? ＋ 20－5r 16 x 的各項系數(shù)之和等于?2n，由題意知?2n＝16，得?n＝4.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知， (a2＋1)n?展開式中系數(shù)最大的項是中間項?T3，故有?C24a4＝54，解得?a＝±?3. ?1 ? è ? (1)若展開式中第?5?項，第?6?項與第?7?項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式

13、 中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)； n n n (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于?79，求展開式中系數(shù)最大的項． 解 (1)∵C4＋C6＝2C5，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7?或?n＝14， 當?n＝7?時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是?T4?和?T5. ∴T4?的系數(shù)為??C37?2÷423＝ ?1? 35  è???2  ， T5?的系數(shù)為?C47?2÷324＝70， ∴T8?的系數(shù)為?C714?2÷727＝3?432. ?1? è?? 當?n＝14?時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是?T8. ?1? è?? n n n (2)∵C0＋C1＋C2＝79，∴n2＋n－156＝0. ＋2x÷12＝?2÷12(1＋4x)12， ∵?2 ∴n＝12?或?n＝－13(舍去)．設(shè)?Tk ?1 ? ?1? è ? è?? ＋1?項的系數(shù)最大， ìCk124k≥C12－14k－1， ?C124k≥Ck12＋14k＋1. ∴í  k k  ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10. T11＝C10·??2÷2·?210·?x10＝16?896x10. ∴展開式中系數(shù)最大的項為?T11， ?1? 12?è??