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1、7/21/2020,高等數(shù)學(xué),,*三、向量的混合積,,第二節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)量積 向量積 *混合積,第七章,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動,,,,,1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,,稱,數(shù)量積,(點積) .,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),,,,,故,2. 性質(zhì),為兩個非零向量,,則有,,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),3. 運算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實上, 當(dāng)
2、,時, 顯然成立 ;,,,,,,,,,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),例1. 證明三角形余弦定理,,,,證:,則,,,,,,如圖 . 設(shè),,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,,當(dāng),為非零向量時,,由于,兩向量的夾角公式,, 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),,,,例2. 已知三點, AMB .,,,,,解:,,,則,,,求,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),為 ) .,求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的
3、質(zhì)量P (流體密度,,例3. 設(shè)均勻流速為,的流體流過一個面積為 A 的平,面域 ,,與該平面域的單位垂直向量,,,,解:,單位時間內(nèi)流過的體積,的夾角為,且,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),,二、兩向量的向量積,引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點 ,,有一個與杠桿夾角為,,,,,,,,,符合右手規(guī)則,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),1. 定義,定義,向量,,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,,,,引例中的力矩,思考: 右圖三角形面積,S,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7
4、/21/2020,高等數(shù)學(xué),2. 性質(zhì),為非零向量, 則,,,,,,,,,,3. 運算律,(2) 分配律,(3) 結(jié)合律,,(證明略),證明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),4. 向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,,,,,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),向量積的行列式計算法,,,,,( 行列式計算見 P339P342 ),,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),例4. 已知三點,角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,,,,,,,,,,,,,求三,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)
5、束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),一點 M 的線速度,例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn),,導(dǎo)出剛體上,的表示式 .,,,,,,,解: 在軸 l 上引進(jìn)一個角速度向量,使,,其,在 l 上任取一點 O,,作,,它與,則,點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為 ,,,,,,,,,,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,,,向徑,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),,*三、向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,,底面積,高,,,,,故平行六面體體積為,,則其,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2
6、020,高等數(shù)學(xué),2. 混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),3. 性質(zhì),(1) 三個非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對稱性 :,(可用三階行列式推出),,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),例6. 已知一四面體的頂點,4 ) , 求該四面體體積 .,解: 已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),例7. 證明四點,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四點共面 .,機動 目錄 上頁 下
7、頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),內(nèi)容小結(jié),設(shè),1. 向量運算,加減:,數(shù)乘:,點積:,,叉積:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),混合積:,2. 向量關(guān)系:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),思考與練習(xí),1. 設(shè),計算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,2. 用向量方法證明正弦定理:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),證: 由三角形面積公式,所以,因,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),作業(yè) P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7/21/2020,高等數(shù)學(xué),在頂點為,三角形中,,求 AC 邊上的高 BD .,解：,,,,三角形 ABC 的面積為,,2.,而,故有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,
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