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1、五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,兩點間的距離公式:,與,,,2. 方向角與方向余弦,設有兩非零向量,任取空間一點 O ,,,,,,稱 =AOB (0 ) 為向量,,的夾角.,,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,3. 向量在軸上的投影,在8.2簡介,,,方向余弦的性質:,思考：,若 , , 是向量與三坐標面的夾角，,,例7. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,,,,例8. 設點 A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點
2、A 在第一卦限 ,,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,,,,,一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,8.2 數(shù)量積 向量積 *混合積,第八章,簡單介紹定義 及計算.,,一、兩向量的數(shù)量積,,,,1. 定義,設向量,的夾角為 ,,稱,數(shù)量積,(點積) .,在物理學中,,,,,,,,,故,2. 性質,為兩個非零向量,,則有,,,,,,,,,,,,,=,,,,,2. 性質,(1),,,,向量在數(shù)軸上的投影(簡介),x,同理可定義向量在y, z軸上的投影,(2),3. 點積的運算律,(1) 交換律,(2) 結合律,(3) 分配律,事實上, 當,時, 顯然成立 ;,,,
3、,,,,,,,,,,,,,,例1. 證明三角形余弦定理,,,,證:,則,,,,,,如圖 . 設,,,,,,,4. 數(shù)量積的坐標表示!!!,設,則,,當,為非零向量時,,由于,兩向量的夾角公式,, 得,,,,例2. 已知三點, AMB .,,,,,解:,,,則,,,求,故,為 ) .,求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度,,例3. 設均勻流速為,的流體流過一個面積為 A 的平,面域 ,,與該平面域的單位垂直向量,,,,解:,單位時間內流過的體積,的夾角為,且,,,,,,,,,,,平面域曲面域,且曲面上每一點處的流速是 非均勻的(大小方向均變化)?,,在第11章我們也能解決,這就是數(shù)
4、學的魅力.,,二、兩向量的向量積,引例. 設O 為杠桿L 的支點 ,,有一個與杠桿夾角為,,,,,,符合右手規(guī)則,,,,,,,1. 定義,定義,向量,,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,,,,引例中的力矩,右圖三角形面積,S,,2. 性質,為非零向量, 則,,,,,,,,,,3. 運算律,(2) 分配律,(3) 結合律,,(證明略),證明:,(交換律不成立!!!),4. 向量積的坐標表示式!!!,設,則,,,,,,,,,,,,,向量積的行列式計算法,,,,,( 行列式計算見上冊P355附錄1),,,,,,,例4. 已知三點,角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,,,,
5、,,,,,求三,*三、向量的混合積(簡介),1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,內容小結,設,1. 向量運算,加減:,數(shù)乘:,點積:,,叉積:,混合積:,2. 向量關系:,思考與練習,設,計算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,作業(yè) P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,預習8.5,備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,,,2 P50 題1 (4)(5),為單位向量,且,解(4),則,三式相加得:,(4)向量,則,(5)已知,且,(5),=( ).,=( ).,,,同理,則原式=,=36.,36,3.,證:,在線段AB
6、的一側有一動點P,以PB,PA為邊向外做正方,形PBCD和PAEF,M為D,E的中點(如圖).,證明:(1) PMAB;,(2) PM= AB.,,,,,,,,,,A,B,C,D,P,E,F,,M,,設,垂直屏幕向外的單位向量為,所以PMAB;,且PM= AB.,,4.,證明(1)任意三角形ABC的三條中線可構成 1 ;,B,C,A,,,,,證:(1)設ABC三邊的中點分別為D,E,F(如圖),,,,F,D,E,(2) 1 的三條中線構成的 三角形2與 ABC 相似, 并求相似比,記,則,三條中線,所以三條中線可構成三角形,記為1,,,,,(2) 1 的三條中線構成的 三角形2與 ABC 相似, 并求相似比,(2)1三條中線,所以2與 ABC 相似, 且相似比為 ,,
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