八上數(shù)學(xué) 試題1及答案

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1、 1、如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△DEC，點(diǎn)A、C、E在同一直線上，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為（???）． A．60°???????????????????? B．90° C．120°??????????????????????? D．150° 試題分析：由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△DEC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BCE等于旋轉(zhuǎn)角，由∠ABC=90°，∠A=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°可得∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求得結(jié)果。 ∵∠ABC=90°，∠A=30°， ∴∠ACB=180°-∠AB

2、C-∠A=60°， ∴∠BCE=180°-∠ACB=120°， ∴旋轉(zhuǎn)角度為120°， 故選C. 點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即可完成． 2、已知：等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為16，D在AB上，且DB=4，M是在AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DM+BM的最小值為（　　） A、16 B、16 2 C、20 D、24 分析：作B，B′關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DB′，DB′就是最短距離，利用勾股定理求得DB′的長(zhǎng)度即可． 解答：解：連接AB′，易得△ABB′是等腰直角三角形，

3、 ∴AB′=AB=16， ∵AD=AB-DB=12， DB′= AB′2+AD2 =20． 故選C． 1、將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE如圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F． （1）求證：AF+EF=DE； （2）若將圖①中的直角三角形ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且∠ABD=30°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立； （3）若將圖①中的直角三角形DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且∠ABD=65°，其它條件不變，如圖③，你認(rèn)為（

4、1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由． 【答案】分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，連接BF，根據(jù)HL證Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可； （2）畫出圖形，此時(shí)AF+EF≠DE，而是AF-EF=DE； （3）（1）中猜想結(jié)論不成立，關(guān)系式是AF=EF+DE，連接BF，根據(jù)HL證Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF． 解答：（1）證明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE． 連接BF． ∵在Rt△BCF和Rt△BEF中 ，

5、 ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF=EF， ∵AC=DE，CF+FA=CA， ∴AF+EF=DE； （2）解：如圖2所示， 此時(shí)AF+EF≠DE； （3）解：（1）中猜想結(jié)論不成立，關(guān)系式是AF=EF+DE．理由是： 連接BF． 在Rt△BEF和Rt△BCF中 ， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）， ∴EF=FC， ∵AC=DE， 由AF=AC+FC知：AF=DE+EF． 2、問題探究：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，為探究Rt△ABC中30°角所對(duì)的直角邊AC與斜邊AB的數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)小組成員已經(jīng)添加了輔助線

6、． （1）請(qǐng)敘述輔助線的添法，并完成探究過程； 探究應(yīng)用1：如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點(diǎn)D在線段CB上，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE，為探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系 ，組長(zhǎng)已經(jīng)添加了輔助線：取AB的中點(diǎn)F，連接EF． （2）線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；并說明理由； 探究應(yīng)用2：如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE． （3）線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是 ，并說明理由． 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含3

7、0度角的直角三角形 專題： 分析：（1）如圖1，作BC的垂直平分線PD交AB、BC于P、D，就可以得出PC=PB，∠PCB=∠B=30°，∠ACP=60°，得出△ACP是等邊三角形，就可以得出AP=AC=PB=AB，進(jìn)而得出結(jié)論； （2）如圖2，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分線的性質(zhì)就可以得出結(jié)論BE=DE； （3）如圖3，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分線的性質(zhì)就可以得出結(jié)論BE=DE． 解答：解：（

8、1）如圖1，作CB的垂直平分線分別交AB、BC于P、D， ∴PC=PB， ∴∠PCB=∠B=30°． ∵∠ACB=90°， ∴∠A=60°，∠ACP=60°， ∴∠APC=∠A=∠ACP=60°， ∴△ACP是等邊三角形， ∴AC=AP=PC． ∴AC=AP=PB=AB， 即AC=AB；． （2）BE=DE． 理由：如圖2，∵F是AB的中點(diǎn)， ∴AF=AB． ∵∠C=90°，∠ABC=30°， ∴AC=AB，∠CAB=60°． ∴AC=AF． ∵△ADE是等邊三角形， ∴AD=AE=DE，∠EAD=60°， ∴∠CAB=∠DAE， ∴∠CAB-∠3=∠DA

9、E-∠3， ∴∠1=∠2． 在△ACD和△AFE中， AC=AF ∠1=∠2 AD=AE ， ∴△ACD≌△AFE（SAS）， ∴∠C=∠AFE=90°， ∴EF⊥AB． ∵F是AB的中點(diǎn)， ∴EF是AB的垂直平分線， ∴AE=BE， ∴BE=DE． 故答案為：BE=DE； （3）BE=DE． 理由：如圖3，取AB的中點(diǎn)F，連接EF， ∴AF=AB． ∵∠C=90°，∠ABC=30°， ∴AC= AB，∠CAB=60°． ∴AC=AF． ∵△ADE是等邊三角形， ∴AD=AE=DE，∠EAD=60°， ∴∠CAB=∠DAE，

10、∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2， ∴∠1=∠3． 在△ACD和△AFE中， AC=AF ∠1=∠3 AD=AE ， ∴△ACD≌△AFE（SAS）， ∴∠C=∠AFE=90°， ∴EF⊥AB． ∵F是AB的中點(diǎn)， ∴EF是AB的垂直平分線， ∴AE=BE， ∴BE=DE． 故答案為：BE=DE． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形 2、如圖：已知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一個(gè)含30°的直角三角形DEF

11、的最小內(nèi)角所在的頂點(diǎn)D與直角三角形ABC的頂點(diǎn)C重合，當(dāng)△DEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，較長(zhǎng)的直角邊和斜邊始終與線段BA交于G，H兩點(diǎn)（G，H可以與B，A重合） （1）如圖（1），當(dāng)∠BCF等于多少度時(shí)，△BCG≌△ACH？請(qǐng)給予證明； （2）如圖（2），設(shè)GH=x，陰影部分（兩三角形重疊部分）面積為y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，并求出最大值．（結(jié)果保留根號(hào)） 分析：（1）在△BCG和△ACH中，已經(jīng)知道一組邊和一組角相等，只要∠BCF=∠ACH即可，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，即可求出． （2）作CM⊥AB，可根據(jù)AC、BC求出CM，然后根據(jù)三角形面積公式解答． 解：（1）在等腰

12、直角三角形ABC中，AC=BC，∠A=∠B=45°， 當(dāng)∠ACH=∠BCG時(shí)，△BCG≌△ACH． 又因?yàn)椤螱CH=30°， 所以∠BCF=∠ACH=30°． （2）作CM⊥AB于M， 因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，AC=BC=2， 所以AB=2，因此CM=． 所以S△GCH=，即y=x． 當(dāng)G和B重合、或H和A重合時(shí)，面積最大，如圖：作HK⊥BC與K， 在Rt△BHK中，因?yàn)锽H=x， 所以BK=HK=x， 又∵在RT△CHK中，∠HCK=30°， ∴CK=KH=x， 因此BC=BK+CK，即， 解之得：x=， 此時(shí)y==． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形全等以及

13、直角三角形的相關(guān)知識(shí)，難易程度適中． 如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BD到A，使DA=DF，延長(zhǎng)BF交AC于E， （1）試說明：△FBD≌△ACD； （2）試說明：△ABC是等腰三角形； （3）試說明：CE=BF． 證明：（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD， ∵∠BDC=90°， ∴∠BDC=∠ADC=90°， ∵在△FBD和△ACD中，， ∴△FBD≌△ACD（SAS）； （2）∵△FBD≌△ACD， ∴∠DBF=∠DCA， ∵∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠A=90°， ∴∠DBF+∠A

14、=90°， ∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°， ∵BF平分∠DBC， ∴∠ABF=∠CBF， ∵在△ABE和△CBE中，， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AB=CB， ∴△ABC是等腰三角形； （3）∵△FBD≌△ACD， ∴BF=AC， ∵△ABE≌△CBE， ∴AE=CE=AC， ∴CE=BF． 分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的直角邊相等可得BD=CD，再利用“邊角邊”證明△FBD和△ACD全等即可； （2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DBF=∠DCA，再根據(jù)∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利

15、用“角邊角”證明△ABE和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CB，從而得證； （3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合題但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4、已知，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，直線l過點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作l的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)． （1）觀察圖（1），你能發(fā)現(xiàn)EF、AE、BF三者之間的一種數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)你將它寫出來； （2）在圖（2）中，上面的關(guān)系成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說

16、明理由； （3）當(dāng)直線l繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)EF=BF-AE？在圖（3）中畫出直線l及AE和BF（不必證明）． 【答案】分析：（1）由題中條件可知ABFE是矩形，且AB∥EF，則∠EAC=∠ECA=∠CAB=45°，所以AE=EC；同理可得BF=FC，即可得EF=AE+BF； （2）由AAS可以確定△AEC≌△CFB（AAS），得到AE=CF，EC=FB，即得 EF=AE+BF． （3）當(dāng)l繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)到AB之間位置時(shí)EF=BF-AE． 解答：解：（1）EF=AE+BF． （2）成立；（3分） 證明：∵∠EAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°， ∴∠EAC=∠F

17、CB， 又∵∠AEC=∠CFB=90°，且AC=BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）．（6分） ∴AE=CF，EC=FB．（7分） ∴EF=AE+BF．（8分）（3）如右圖．（9分） 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形全等的判定，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定直角三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 如圖，已知在等腰直角三角形中，，?平分，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使， 【小題1】求證：； 【小題2】延長(zhǎng)交于，且，求證：； 【小題3】在【小題4】的條件下，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)． 試探索，,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【小題1】證明：∵， 又∵； ∴， 【小題2】∴，∴ 又∵平分，∴ 又∵，∴， 又∵ ∴，∴ ∴ 【小題3】，,之間的數(shù)量關(guān)系為： 連結(jié)CG，∵，H是邊的中點(diǎn)， ∴是的中垂線， ∴???????在中有： ∴?解析: p;【解析】略 11