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初一奧數(shù)數(shù)學(xué)競賽第一講?有理數(shù)的巧算
有理數(shù)運算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運算的基礎(chǔ).它要求同學(xué)們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上,能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算.不僅如此,還要善于根據(jù)題目條件,將推理與計算相結(jié)合,靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題,從而提高運算能力,發(fā)展思維的敏捷性與靈活性.
1.括號的使用
在代數(shù)運算中,可以根據(jù)運算法則和運算律,去掉或者添上括號,以此來改變運算的次序,使復(fù)雜的問題變得較簡單.
例1 計算:
分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中,由于負數(shù)的引入,符號“+”與“-”具有了雙重涵義,它既是表示加
2、法與減法的運算符號,也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號.因此進行有理數(shù)運算時,一定要正確運用有理數(shù)的運算法則,尤其是要注意去括號時符號的變化.
注意 在本例中的乘除運算中,常常把小數(shù)變成分數(shù),把帶分數(shù)變成假分數(shù),這樣便于計算.
例2 計算下式的值:
211×555+445×789+555×789+211×445.
分析 直接計算很麻煩,根據(jù)運算規(guī)則,添加括號改變運算次序,可使計算簡單.本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算.
解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(5
3、55+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000.
說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”,它是有理數(shù)巧算中的常用技巧.
例3 計算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.
分析 不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”.如果按照將第一、第二項,第三、第四項,…,分別配對的方式計算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括號”的習(xí)慣,而取“添括號”之法.
解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.
4、 下面需對n的奇偶性進行討論:
當(dāng)n為偶數(shù)時,上式是n/2個(-1)的和,所以有
當(dāng)n為奇數(shù)時,上式是(n-1)/2個(-1)的和,再加上最后一項(-1)n+1·n=n,所以有
例4 在數(shù)1,2,3,…,1998前添符號“+”和“-”,并依次運算,所得可能的最小非負數(shù)是多少?
分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性,只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān),所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符號“+”或“-”,不會改變和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2個奇數(shù),即有999個奇數(shù),所以任意添加符號“+”或“-”之后,所得的代數(shù)和總為奇數(shù),故最小非負數(shù)不小于1.
5、
現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+1,n+2,n+3之間添加符號“+”或“-”,顯然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.
這啟發(fā)我們將1,2,3,…,1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組,再按上述規(guī)則添加符號,即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.
所以,所求最小非負數(shù)是1.
說明 本例中,添括號是為了造出一系列的“零”,這種方法可使計算大大簡化.
2.用字母表示數(shù)
我們先來計算(100+2)×(100-2)的值:
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100
6、-4
=1002-22.
這是一個對具體數(shù)的運算,若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運算過程變?yōu)?
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
于是我們得到了一個重要的計算公式
(a+b)(a-b)=a2-b2, ①
這個公式叫平方差公式,以后應(yīng)用這個公式計算時,不必重復(fù)公式的證明過程,可直接利用該公式計算.
例5 計算 3001×2999的值.
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)
=30002-12=8 999 999.
例6 計算 103×97×10 009的值.
解 原式=(100+3)(100
7、-3)(10000+9)
=(1002-9)(1002+9)
=1004-92=99 999 919.
例7 計算:
分析與解 直接計算繁.仔細觀察,發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù):12 345,12 346,12 347.可設(shè)字母n=12 346,那么12 345=n-1,12 347=n+1,于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1).應(yīng)用平方差公式化簡得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,
即原式分母的值是1,所以原式=24 690.
例8 計算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).
分析 式子中2,2
8、2,24,…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方,若在(2+1)前面有一個(2-1),就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了.
解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……
=(232-1)(232+1)
=264-1.
例9 計算:
分析 在前面的例題中,應(yīng)用過公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
9、
這個公式也可以反著使用,即
a2-b2=(a+b)(a-b).
本題就是一個例子.
通過以上例題可以看到,用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處.下面再看一個例題,從中可以看到用字母表示一個式子,也可使計算簡化.
例10 計算:
我們用一個字母表示它以簡化計算.
3.觀察算式找規(guī)律
例11 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦?,請計算他們的總分與平均分.
87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.
分析與解 若直
10、接把20個數(shù)加起來,顯然運算量較大,粗略地估計一下,這些數(shù)均在90上下,所以可取90為基準數(shù),大于90的數(shù)取“正”,小于90的數(shù)取“負”,考察這20個數(shù)與90的差,這樣會大大簡化運算.所以總分為
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
+2+5+(-2)
=1800-1=1799,
平均分為 90+(-1)÷20=89.95.
例12 計算1+3+5+7+…+1997+1999的值.
分析 觀察發(fā)現(xiàn):首先算式中,從第二項開始,后項減前項的差都等于2;其次
11、算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000,于是可有如下解法.
解 用字母S表示所求算式,即
S=1+3+5+…+1997+1999. ①
再將S各項倒過來寫為
S=1999+1997+1995+…+3+1. ②
將①,②兩式左右分別相加,得
2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+…+2000+2000(500個2000)
=2000×500.
從而有 S=500 000.
說明 一般地,一列數(shù),如果從第二項開始,后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=
12、7-5=…=1999-1997,都等于2),那么,這列數(shù)的求和問題,都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決.
例13 計算 1+5+52+53+…+599+5100的值.
分析 觀察發(fā)現(xiàn),上式從第二項起,每一項都是它前面一項的5倍.如果將和式各項都乘以5,所得新和式中除個別項外,其余與原和式中的項相同,于是兩式相減將使差易于計算.
解 設(shè)
S=1+5+52+…+599+5100, ①
所以
5S=5+52+53+…+5100+5101. ②
?、凇俚?
4S=5101-1,
說明 如果一列數(shù),從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是
13、都等于5),那么這列數(shù)的求和問題,均可用上述“錯位相減”法來解決.
例14 計算:
分析 一般情況下,分數(shù)計算是先通分.本題通分計算將很繁,所以我們不但不通分,反而利用如下一個關(guān)系式
來把每一項拆成兩項之差,然后再計算,這種方法叫做拆項法.
解 由于
所以
說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項,這種方法在有理數(shù)巧算中很常用.
練習(xí)一
1.計算下列各式的值:
(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999;
(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100;
(3)1991×1999-1990×2000;
(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636;
(6)1+4+7+…+244;
2.某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦?,試計算他們的平均分?
81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.