（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 專題8 立體幾何與空間向量 第55練 向量法求解空間角和距離問題練習（含解析）

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1、第55練 向量法求解空間角和距離問題 [基礎保分練] 1．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　) A．5B．6C．4D．8 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC所成的角的余弦值為(　　) A.B.C．－D．－ 3．在空間直角坐標系O－xyz中，平面OAB的一個法向量為n＝(2，－2,1)，已知點P(－1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于(　　) A．4B．2C．3D．1 4．方向向量為s＝(1,1,1)的直線l經過點A(1,0,0)，則坐標原點

2、O(0,0,0)到該直線的距離是(　　) A.B.C.D. 5．平面α的一個法向量為n＝(1，－，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為(　　) A.B.C.D. 6.如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則異面直線OA與BC的夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上，且＝，N為B1B的中點，則||為(　　) A.aB.aC.aD.a 8．P是二面角α－AB－β棱上的一點，分別在α，β平面上引射線PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN

3、＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小為(　　) A．60°B．70°C．80°D．90° 9．三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，長度分別為6,4,4，則其頂點到底面的距離為________． 10.如圖所示，已知空間四邊形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為________． [能力提升練] 1．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于(　　) A.B.C.D. 2．已知正四棱錐S－ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則A

4、E與SD所成的角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 3．已知空間向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且a，b的夾角為，O為空間直角坐標系的原點，點A，B滿足＝2a＋b，＝3a－b，則△OAB的面積為(　　) A.B.C.D. 4．過正方形ABCD的頂點A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是(　　) A．30°B．45°C．60°D．90° 5．已知∠AOB＝90°，過O點引∠AOB所在平面的斜線OC，與OA，OB分別成45°，60°角，則以OC為棱的二面角A－OC－B的余弦值為________． 6.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C

5、1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側棱C1C所成角的余弦值是________． 答案精析 基礎保分練 1．A　2.B　3.B　4.D　5.B　6.C 7．A　[以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz， 則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設M(x，y，z)， 因為點M在AC1上，且＝， 則(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)， 得x＝a，y＝， z＝，即M， 所以||＝ ＝a，故選A.] 8．D　[不妨設PM＝a，PN＝b， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F. ∵∠EPM＝∠FPN＝

6、45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴二面角α－AB－β的大小為90°.] 9. 解析　設三棱錐為P－ABC，且PA＝6， PB＝PC＝4， 以P為原點建立空間直角坐標系如圖， 則P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)， C(0,0,4)，＝(6,0,0)， ＝(－6,4,0)，＝(－6,0,4)， 設平面ABC的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則n⊥，n⊥， 所以即y＝z＝x， 所以可選平面ABC的一個法向量為n＝

7、(2,3,3)， 所以P到平面ABC的距離d＝||·|cos〈，n〉|＝＝ ＝. 10．0 解析　設＝a，＝b，＝c， 則|b|＝|c|， 〈a，b〉＝〈a，c〉＝，＝c－b， ∴·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a|·|c|cos－|a|·|b|cos＝0， ∴⊥，∴cos〈，〉＝0. 能力提升練 1．B　[設A1在底面ABC內的射影為O，過O作OH∥BC交AB于點H，以O為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)． 設△ABC的邊長為1，則A， B1， ∴＝， 平面ABC的法向量n＝(0,0,1)， 則AB1與底面ABC所成角α的正弦值 sinα＝|cos〈，n〉|＝＝.] 2．C 3．B　[||＝ ＝＝， 同理||＝， 則cos∠AOB＝ ＝＝， 從而有sin∠AOB＝， ∴△OAB的面積S＝×××＝，故選B.] 4．B　[建立如圖所示的空間直角坐標系， 設AB＝1，易得平面APB的一個法向量為n1＝(0,1,0)，平面PCD的一個法向量為n2＝(0,1,1)， 故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝， 故所求二面角的大小是45°.] 5．－　6. 7