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高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練第一部分知識方法篇專題9 平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講文

上傳人：san****019

文檔編號：11854555

上傳時間：2020-05-03

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第36練　不等式選講 [題型分析高考展望]　本部分主要考查絕對值不等式的解法．求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點，主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．體驗高考 1．(2016課標(biāo)全國甲)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|. (1)解　f(x)＝當(dāng)x≤－時，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)|0)?－ay.求證：2x＋≥2y＋3. (2)已知實數(shù)x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<，求證：|y|<. 證明　(1)因為x>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y ＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3， (2)因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)| ≤2|x＋y|＋|2x－y|，由題設(shè)知|x＋y|<，|2x－y|<，從而3|y|<＋＝，所以|y|<. 點評　(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力． (2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧．變式訓(xùn)練2　(1)若a，b∈R，求證：≤＋. (2)已知a，b，c均為正數(shù)，a＋b＝1，求證：＋＋≥1. 證明　(1)當(dāng)|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．當(dāng)|a＋b|≠0時，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥，所以＝≤ ＝≤＋. (2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. 題型三　柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式 (1)設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時等號成立． (2)設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．例3　(2015福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (1)求a＋b＋c的值； (2)求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤x≤b時，等號成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b. 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4，所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1) ≥2 ＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即a＝，b＝，c＝時等號成立．故a2＋b2＋c2的最小值為. 點評　(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明． (2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為 (a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件．變式訓(xùn)練3　已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a. (1)求a的值； (2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3. (1)解　因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3. (2)證明　由(1)知p＋q＋r＝3，又因為p，q，r是正實數(shù)，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3. 高考題型精練 1．如果關(guān)于x的不等式|x－3|－|x－4|－1時，不等式的解集不是空集．即實數(shù)a的取值范圍是(－1，＋∞)． 2．設(shè)x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實數(shù)λ的最小值．解　∵x>0，y>0，∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋. ∵2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立．∴[(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即實數(shù)λ的最小值是－4. 3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解　設(shè)y＝|2x－1|＋|x＋2| ＝當(dāng)x<－2時，y＝－3x－1>5；當(dāng)－2≤x<時，y＝－x＋3>；當(dāng)x≥時，y＝3x＋1≥，故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為. 因為不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，所以≥a2＋a＋2. 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范圍為[－1，]． 4．設(shè)不等式|x－2|1時，由2x<4，得1|x＋1|成立，求實數(shù)x的取值范圍．解　由柯西不等式知 [12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2] ≥(1a＋b＋c)2 即6(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2. 又∵a2＋2b2＋3c2＝6， ∴66≥(a＋2b＋3c)2， ∴－6≤a＋2b＋3c≤6， ∵存在實數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立． ∴|x＋1|<6，∴－70. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化為不等式組或即或因為a>0，所以不等式組的解集為{x|x≤－}．由題設(shè)可得－＝－1，故a＝2. 8．(2015課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．解　(1)當(dāng)a＝1時， f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0. 當(dāng)x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；當(dāng)－10，解得0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集為. (2)由題設(shè)可得，f(x)＝所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC的面積為(a＋1)2. 由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2. 所以a的取值范圍為(2，＋∞)．

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