高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考壓軸大題突破練（一）直線與圓錐曲線（1）理
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高考壓軸大題突破練(一)直線與圓錐曲線(1) 1．(2016北京)已知橢圓C：＋＝1過A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程及離心率； (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值． (1)解 由橢圓過點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)知a＝2，b＝1. 所以橢圓方程為＋y2＝1，又c＝＝. 所以橢圓離心率e＝＝. (2)證明 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)， 則x＋4y＝4，又A(2,0)，B(0,1)， 所以直線PB的方程為y－1＝(x－0)， 令y＝0，得xN＝，從而|AN|＝2－xN＝2＋. 直線PA的方程為y－0＝(x－2)， 令x＝0，得yM＝， 從而|BM|＝1－yM＝1＋. 所以S四邊形ABNM＝|AN||BM| ＝ ＝ ＝＝2. 即四邊形ABNM的面積為定值． 2．(2016天津)設(shè)橢圓＋＝1(a>)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.已知＋＝，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率． (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直線l的斜率． 解 (1)設(shè)F(c,0)，由＋＝， 即＋＝，可得a2－c2＝3c2. 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)， 則直線l的方程為y＝k(x－2)． 設(shè)B(xB，yB)，由方程組 消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0. 解得x＝2或x＝. 由題意得xB＝，從而yB＝. 由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設(shè)H(0，yH)， 有＝(－1，yH)，＝. 由BF⊥HF，得＝0， 所以＋＝0， 解得yH＝. 因此直線MH的方程為y＝－x＋. 設(shè)M(xM，yM)，由方程組消去y， 解得xM＝. 在△MAO中，∠MOA＝∠MAO?|MA|＝|MO|， 即(xM－2)2＋y＝x＋y， 化簡得xM＝1，即＝1， 解得k＝－或k＝. 所以直線l的斜率為－或. 3．(2016課標(biāo)全國甲)已知橢圓E：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA. (1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積； (2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時，求k的取值范圍． 解 設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0. (1)當(dāng)t＝4時，E的方程為＋＝1，A(－2,0)． 由|AM|＝|AN|及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為. 因此直線AM的方程為y＝x＋2. 將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1得7y2－12y＝0， 解得y＝0或y＝，所以y1＝. 因此△AMN的面積S△AMN＝2＝. (2)由題意t>3，k>0，A(－，0)， 將直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1， 得(3＋tk2)x2＋2tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1(－)＝，得x1＝， 故|AM|＝|x1＋|＝. 由題設(shè)，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)， 當(dāng)k＝時上式不成立，因此t＝. t>3等價于＝<0， 即<0. 由此得或解得下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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