高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理1 (2)

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2016年春季學(xué)期天門市三校期中聯(lián)考 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷 考試時(shí)間：2016年4月28日晚 試卷滿分：150分 一、選擇題（本題每小題5分，滿分60分。請(qǐng)將唯一正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置） 1、除以9所得余數(shù)是（ ） A．1 B．8 C．－1 D．0 2、位于西部地區(qū)的、兩地，據(jù)多年的資料記載：、兩地一年中下雨天僅占和，而同時(shí)下雨的比例為，則地為雨天時(shí)，地也為雨天的概率為（ ） A． B． C． D． 3、三名同學(xué)去參加甲、乙、丙、丁四個(gè)不同的興趣小組，去那個(gè)興趣小組可以自由選擇，但甲小組至少有一人參加，則不同的選擇方案共有（ ） A．37種 B．48種 C．16種 D．18種 4、設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則( ) A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn) B．x＝1為f(x)的極小值點(diǎn) C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn) D．x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn) 5、隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布～，且則等于（ ） A． B． C．1 D．0 6、的展開式中，的系數(shù)為（ ） A． B． C． D． 7、若、，且，則下面結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 8、數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由名同學(xué)組成，現(xiàn)將這名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案有（ ）種 A． B． C． D． 9、設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（ ） 附：（隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，） A．6038 B．6587 C．7028 D．7539 10、設(shè)隨機(jī)事件A、B的對(duì)立事件為、，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A．若A和B獨(dú)立，則和也一定獨(dú)立 B．若，則 C．若A和B互斥，則必有 D．若A和B獨(dú)立，則必有 11、在右圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率是 （ ） A． B． C． D． 12、已知函數(shù)f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實(shí)數(shù) b的取值范圍是（ ） A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，） 二、填空題（本題每小題5分，滿分20分） 13、已知，則______. 14、已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則 ． 15、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________. 16、給出下列5種說法： ①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等； ②標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)也越?。? ③回歸分析研究的是兩個(gè)相關(guān)事件的獨(dú)立性； ④在回歸分析中，預(yù)報(bào)變量是由解釋變量和隨機(jī)誤差共同確定的； ⑤相關(guān)指數(shù)是用來刻畫回歸效果的，的值越大，說明殘差平方和越小，回歸模型的擬合效果越好. 其中說法正確的是________（請(qǐng)將正確說法的序號(hào)寫在橫線上）. 三、解答題（本大題滿分70分） 17、（本小題10分）已知在（其中n<15）的展開式中： （1）求二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和； （2）若展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值； （3）在（2）的條件下寫出它展開式中的有理項(xiàng). 18、（本小題12分）標(biāo)號(hào)為0到9的10瓶礦泉水. （1）從中取4瓶, 恰有2瓶上的數(shù)字相鄰的取法有多少種？ （2）把10個(gè)空礦泉水瓶掛成如圖4列的形式, 作為射擊的靶子, 規(guī)定每次只能射擊每列最下面的一個(gè)（射中后這個(gè)空瓶會(huì)掉到地下）, 把10個(gè)礦泉水瓶全部擊中有幾種不同的射擊方案？ （3）把擊中后的礦泉水瓶分送給A、B、C三名垃圾回收人員, 每個(gè)瓶子1角錢.垃圾回收人員賣掉瓶子后有幾種不同的收入結(jié)果？ 19、（本小題12分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重，大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病，為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表． 已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為， （1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； （2）是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由； （3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其它方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望以及方差． 參考公式：，其中． 下面的臨界值表僅供參考： 20、（本小題12分）某市在2015年2月份的高三期末考試中對(duì)數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N（120，25），現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[85，95），第二組[95，105），…第六組[135，145]，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （I）試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績； （Ⅱ）這50名學(xué)生中成績?cè)?25分（含125分）以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望． 附：若X～N（μ，σ2），則P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974. 21、（本小題12分）汽車從剎車開始到完全靜止所用的時(shí)間叫做剎車時(shí)間；所經(jīng)過的距離叫做剎車距離．某型汽車的剎車距離s（單位米）與時(shí)間t（單位秒）的關(guān)系為s=5t3﹣kt2+t+10，其中k是一個(gè)與汽車的速度以及路面狀況等情況有關(guān)的量． （1）當(dāng)k=8時(shí)，且剎車時(shí)間少于1秒，求汽車剎車距離； （2）要使汽車的剎車時(shí)間不小于1秒鐘，且不超過2秒鐘，求k的取值范圍． 22、（本小題12分）已知函數(shù)f（x）=﹣alnx++x（a≠0） （I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）））處的切線與直線x﹣2y=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （Ⅲ）當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤﹣e﹣4. 高二數(shù)學(xué)理科參考答案 一、單項(xiàng)選擇 ＡＢＡＤＡ ＤＢＢＢＤ ＣＤ 二、填空題 13、1 14、 15、 16、②④⑤ 三、解答題 17、解：（1）因?yàn)楸绢}二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)就是各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 所以各項(xiàng)系數(shù)之和為 （2）（其中n<15）的展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 分別是，，． 依題意得，寫成：， 化簡得90+（n-9）(n-8)=210(n-8)， 即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因?yàn)閚<15所以n=14。 (2)展開式的通項(xiàng) 展開式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)， 0≤r≤14，所以展開式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)是： ； ； 18、解：（1）取4張紅卡, 其中有2張連在一起, 組成3個(gè)組合卡, 6張白卡排成一排, 插入3個(gè)組合卡, 有種方法, 然后在卡片上從左到右依次編號(hào), 取出紅色卡, 一種插法對(duì)應(yīng)一種取數(shù)字的方法, 所以共有35種. （2）一種射擊方案對(duì)應(yīng)于從0至9共十個(gè)數(shù)字中取2個(gè)、3個(gè)、3個(gè)、2個(gè)數(shù)字的組合, 因?yàn)槊拷M數(shù)的數(shù)字大小是固定的, 數(shù)字小的掛下面.所以共有. （3）由于A、B、C所得錢數(shù)與瓶子編號(hào)無關(guān), 他們所得錢數(shù)只與所得瓶子個(gè)數(shù)有關(guān).所以. 19、解：（1）根據(jù)在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到患心肺疾病生的概率為，可得患心肺疾病的為30人，故可得列聯(lián)表補(bǔ)充如下 （2）因?yàn)镵2=，即K2==， 所以K2≈8.333 又P（k2≥7.879）=0.005=0.5%， 所以，我們有99.5%的把握認(rèn)為是否患心肺疾病是與性別有關(guān)系的． （3）現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行胃病的排查， 記選出患胃病的女性人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3. 故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=， 則ξ的分布列： 則Eξ=1+2+3=0.9， Dξ=（0﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（2﹣0.9）2+（3﹣0.9）2=0.49 20、解：（1）由頻率分布直方圖可知[120，130）的頻率為1﹣（0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810）=0.12 所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12+1400.08=112 （2）由于根據(jù)正態(tài)分布：P（120﹣35＜X＜120+35）=0.9974 故 所以前13名的成績?nèi)吭?30分以上 根據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成績?cè)?35以上（包括135分）的有500.08=4人，而在[125，145）的學(xué)生有50（0.12+0.08）=10 所以X的取值為0，1，2，3. 所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==； 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望值為EX=0+1+2+3=1.2. 21、解：（1）當(dāng)k=8時(shí)，s=5t3﹣8t2+t+10， 這時(shí)汽車的瞬時(shí)速度為V=s′=15t2﹣16t+1， 令s′=0，解得t=1（舍）或， 當(dāng)時(shí)，， 所以汽車的剎車距離是米． （2）汽車的瞬時(shí)速度為v=s′，∴v=15t2﹣2kt+1， 汽車靜止時(shí)v=0， 故問題轉(zhuǎn)化為15t2﹣2kt+1=0在[1，2]內(nèi)有解， 又， ∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ∵，∴記，， ∵t∈[1，2]，∴，∴f（t）單調(diào)遞增， ∴，，即， 故k的取值范圍為． 22、解：（I）由已知可知f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0} （x＞0） 根據(jù)題意可得，f′（1）=2（﹣1）=﹣2 ∴﹣a﹣2a2+1=﹣2 ∴a=1或a=﹣ （II）∵= ①a＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞2a 由f′（x）＜0可得0＜x＜2a ∴f（x）在（2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2a）上單調(diào)遞減 ②當(dāng)a＜0時(shí)， 由f′（x）＞0可得x＞﹣a 由f′（x）＜0可得0＜x＜﹣a ∴f（x）在（﹣a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，﹣a）上單調(diào)遞減 （III）由（II）可知，當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值f（﹣a） 故g（a）=f（﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣3a 則g′（a）=﹣ln（﹣a）﹣4 令g′（a）=0可得﹣ln（﹣a）﹣4=0 ∴a=﹣e﹣4 當(dāng)a變化時(shí)，g’（a），g（a）的變化情況如下表 ∴a=﹣e﹣4是g（a）在（﹣∞，0）上的唯一的極大值，從而是g（a）的最大值點(diǎn) 當(dāng)a＜0時(shí)，=﹣e﹣4 ∴a＜0時(shí)，g（a）≤﹣e﹣4.