高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理18 (2)

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衡陽(yáng)市八中2016年下期期中考試試題 高二數(shù)學(xué)（理） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）。 1．命題“”的否定是（ ） A． B． C． D． 2．設(shè)，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A． B. C．， D． 4. 已知不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)（ ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．無(wú)法判斷 5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ） A．拋物線 B．雙曲線左支 C．一條直線 D．圓 6．雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率等于2，若它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)等于（ ） A．4 B． C． D． 7．焦點(diǎn)是，且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線的方程是（ ） A． B． C． D． 8.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 9．若圓與雙曲線的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C．2 D． 10．在上有一點(diǎn)，它到的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1) D．（－1，2） 11．在極坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，則圓心的極坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 12．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一、二象限內(nèi)依次交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的其中一條漸近線的斜率是（ ） A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）。 13．橢圓上一點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為7，則點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)__________． 14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是 . 15．已知，，，若，則 . 16．橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)__________． 三、解答題（本大題共6小題，滿分52分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）。 17．（本小題滿分8分）已知實(shí)數(shù)滿足，其中實(shí)數(shù)滿足． （1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 18．（本小題滿分8分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線極坐標(biāo)方程為，曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng)與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍． 19．（本小題滿分8分）如圖所示，已知長(zhǎng)方體中，， 是棱上的點(diǎn)，且． （1）求證：平面； （2）求與平面所成角的正弦值． 20．（本小題滿分9分）如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn). （1）求二面角的平面角的余弦值； （2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面? 若存在，確定點(diǎn)的位置并證明結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 21．（本小題滿分9分）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，軸，為垂足，點(diǎn)在線段上，滿足． （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求直線的方程． 22.（本小題滿分10分）橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)直線與橢圓交于A、C兩點(diǎn)，直線與橢圓交于B、D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形. （1）求橢圓M的方程； （2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O； （3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值. 衡陽(yáng)市八中2016年下期期中考試試題 高二數(shù)學(xué)（理） 命題人：劉美容 周彥 審題人：肖中秋 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）。 1．命題“”的否定是（ C ） A． B． C． D． 2．設(shè)，則“”是“”的（ A ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ D ） A． B. C．， D． 5. 已知不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)（ B ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．無(wú)法判斷 5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ A ） A．拋物線 B．雙曲線左支 C．一條直線 D．圓 6．雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率等于2，若它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)等于（ D ） A．4 B． C． D． 7．焦點(diǎn)是，且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線的方程是（ D ） A． B． C． D． 8.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ A ） A． B． C． D． 9．若圓與雙曲線的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（ A ） A． B． C．2 D． 10．在上有一點(diǎn)，它到的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ B ） A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1) D．（－1，2） 11．在極坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，則圓心的極坐標(biāo)為( A ) A. B. C. D. 12．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一、二象限內(nèi)依次交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的其中一條漸近線的斜率是（ B ） A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）。 13．橢圓上一點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為7，則點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 13 ． 14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是 1 . 15．已知，，，若，則 . 16．橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)__________． 三、解答題（本大題共6小題，滿分52分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）。 17．（本小題滿分8分）已知實(shí)數(shù)滿足，其中實(shí)數(shù)滿足． （1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）對(duì)由得， 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，解得，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是． 又為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是 若為真，則真且零點(diǎn)， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 （2）是的必要不充分條件 ，即，且， 設(shè)，則 又； 所以有解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 18．（本小題滿分8分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線極坐標(biāo)方程為，曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng)與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍． 解析：（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. （Ⅱ）曲線的直角坐標(biāo)方程為：， 實(shí)數(shù)的取值范圍：. 19．（本小題滿分8分）如圖所示，已知長(zhǎng)方體中，， 是棱上的點(diǎn)，且． （1）求證：平面； （2）求與平面所成角的正弦值． 解：（1）證明 如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1 所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz． ∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）． E（0，2，1），=（-2，0，1）， 又=（-2，2，-4），=（2，2，0）， ∴=4+0-4=0，且=-4+4+0=0． ∴⊥且⊥， 即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B， ∴A1C⊥平面BDE．即A1C⊥平面BED． （3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的 一個(gè)法向量．又=（0，2，-4）, ∴cos〈,〉==． ∴A1B與平面BDE所成角的正弦值為． 20．（本小題滿分9分）如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn). （1）求二面角的平面角的余弦值； （2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面? 若存在，確定點(diǎn)的位置并證明結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析：（1）為直三棱柱，，，分別為棱的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，. ，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，即，得，. 又平面的一個(gè)法向量為，， 由圖可知，二面角的平面角為銳角， 二面角的平面角的余弦值為． （2）在線段上存在一點(diǎn)，設(shè)為，使得平面． 欲使平面，由（１）知，當(dāng)且僅當(dāng)． ，． 在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)． 考點(diǎn)：（1）與二面角有關(guān)的立體幾何綜合體；（2）直線與平面垂直的判定. 【一題多解】（1）分別延長(zhǎng)，交于， ∵平面，過(guò)作于， 連接，∴， ∴為二面角的平面角， 平面中，，為的中點(diǎn)， ∴，，在中，， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值為． （2）在線段上存在一點(diǎn)，使得平面，為中點(diǎn)證明如下：∵為直三棱柱，∴， ∵由（1），平面，∴平面， ∵在平面內(nèi)的射影為，∵為中點(diǎn)， ∴，∴， 同理可證，∴平面， ∵為定點(diǎn)，平面為定平面，∴點(diǎn)唯一． 21．（本小題滿分9分）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，軸，為垂足，點(diǎn)在線段上，滿足． （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求直線的方程． 解析：（1）∵點(diǎn)在線段上，滿足，∴點(diǎn)是線段的中點(diǎn)， 設(shè)，則， ∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則，即， ∴點(diǎn)的軌跡方程為． （2）當(dāng)直線軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可得弦的中點(diǎn)在軸上，不可能是點(diǎn)，這種情況不滿足題意． 設(shè)直線的方程為， 由可得， 由韋達(dá)定理可得， 由的中點(diǎn)為，可得，解得， 即直線的方程為，∴直線的方程為． 方法二：當(dāng)直線軸，由橢圓的對(duì)稱性可得弦的中點(diǎn)在軸上，不可能是點(diǎn)，這種情況不滿足題意．設(shè)， 兩點(diǎn)在橢圓上，滿足， 由（1）-（2）可得，則， 由的中點(diǎn)為，可得，代入上式， 即直線的方程為，即， 經(jīng)檢驗(yàn)直線與橢圓相交，∴直線的方程為. 22.（本小題滿分10分）橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)直線與橢圓交于A、C兩點(diǎn)，直線與橢圓交于B、D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形. （1）求橢圓M的方程； （2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O； （3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值. 解析：（1）依題意有，又因?yàn)椋缘? 故橢圓的方程為 2分 （2）依題意，點(diǎn)滿足 所以是方程的兩個(gè)根 得 所以線段的中點(diǎn)為 同理，所以線段的中點(diǎn)為 4分 因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所? 解得，或(舍) 即平行四邊形的對(duì)角線和相交于原點(diǎn) 6分 （3）點(diǎn)滿足 所以是方程的兩個(gè)根，即 故 同理， 7分 又因?yàn)椋?，其? 從而菱形的面積為 ， 整理得，其中 9分 故，當(dāng)或時(shí)，菱形的面積最小，該最小值為 10分